16. Позиционные системы счисления
Значение арифметического выражения: 918 + 354 – 9 – записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?
Демонстрационный вариант Единый государственный экзамен ЕГЭ 2017 г. – задание №16
Решение:918 + 354 – 9 = 32×18 + 354 – 32 = 354 + 336 – 32
Число 3n записывается в троичной системе, как единица и n нулей.
Ответ: 34
Значение арифметического выражения: 98 + 35 – 9 – записали в систем счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?
Демонстрационный вариант Единый государственный экзамен ЕГЭ 2016 г. – задание №16
Решение:98 + 35 – 9 = 32×8 + 35 – 32 = 316 + 35 – 32
Число 3n записывается в троичной системе, как единица и n нулей.
Ответ: 3
В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 129 записывается как 1004. Укажите это основание.
Решение:| 3 | 2 | 1 | 0 | ||
| 129= | 1 | 0 | 0 | 4 | N |
N3 + 4 = 129
N3 = 125
N = 5
Ответ: 5
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 27 оканчивается на 3.
Решение:27 = …3N
27-3 = 24
24 делится на N и N больше чем 3.
4,6,8,12,24
Ответ: 4,6,8,12,24
Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные натуральные числа, не превосходящие 17, запись которых в троичной системе счисления оканчивается на две одинаковые цифры?
Решение:| 1 | 0 | |||
| 1 | 1 | 3 | = | 4 |
| 1 | 0 | |||
| 2 | 2 | 3 | = | 8 |
| 2 | 1 | 0 | |||
| 1 | 0 | 0 | 3 | = | 9 |
| 2 | 1 | 0 | |||
| 1 | 1 | 1 | 3 | = | 13 |
| 2 | 1 | 0 | |||
| 1 | 2 | 2 | 3 | = | 17 |
Ответ: 4,8,9,13,17
Укажите, сколько всего раз встречается цифра 1 в записи чисел 12, 13, 14, …, 31 в системе счисления с основанием 5.
Решение:12 = 225
| 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
| 22 | 23 | 24 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 40 | 41 |
| 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 |
| 42 | 43 | 44 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 110 | 111 |
Ответ: 13
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 63 оканчивается на 23.
Решение:2 разряда
63 = 23N
2N+3 = 63
N=30
3 разряда
63=X23N
XN2+2N+3 = 63
N(XN+2) = 60
5(2.5+2) = 60
N=5
Ответ: 5,30
Десятичное число, переведенное в восьмеричную и в девятеричную систему, в обоих случаях заканчивается на цифру 0. Какое минимальное натуральное число удовлетворяет этому условию?
Решение:Число делится на 8 и 9/
8.9 = 72
Ответ: 72
Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 70 трехзначна.
Решение:| 2 | 1 | 0 | ||
| 70 = | X | Y | Z | N |
XN2+YN+Z = 70
Если N=4, X,Y,Z<4;
3.42+3.4+3 = 53 < 70
4 недостаточно, что это следующее число = 5
Ответ: 5
Сколько значащих цифр в записи десятичного числа 357 в системе счисления с основанием 7?
Решение:357 / 7 = 51, остаток 0
51 / 7 = 7, остаток 2
7 / 7 = 1, остаток 0
357 = 10207
Ответ: 4
Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием 6 начинается на 4?
Решение:25 > 46 = 4
25 > 406 = 24
25 > 416 = 25
Ответ: 2,24,25
Какое десятичное число при записи в системе счисления с основанием 5 представляется как 12345?
Решение:12345 = 1.53 + 2.52 + 3.5 + 4 = 125 + 50 + 15 + 4 = 194
Ответ: 194
Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в двоичной системе счисления оканчивается на 101?
Решение:25 > 1012 = 5
25 > 11012 = 13
25 > 101012 = 21
Ответ: 5,13,21
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 31 оканчивается на 4.
Решение:31 = …4N
31-4 = 27
27 делится на N и N больше чем 4.
9, 27
Ответ: 9, 27
Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в троичной системе счисления оканчивается на 21?
Решение:25 > 213 = 7
25 > 1213 = 16
25 > 2212 = 25
Ответ: 7,16,25
Укажите, сколько всего раз встречается цифра 2 в записи чисел 13, 14, 15, …, 23 в системе счисления с основанием 3.
Решение:13=1113
| 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 |
| 111 | 112 | 120 | 121 | 122 | 200 | 201 | 202 | 210 | 211 | 212 |
Ответ: 13
Найдите основание системы счисления, в которой выполнено сложение: 144 + 24 = 201.
Решение:4 + 4 = 1
8 – 7 = 1
Ответ: 7
Найдите десятичное число x, такое что 20 < x < 30, запись которого в системе счисления с основанием 3 заканчивается на 11.
Решение:a113 = 4+a.32
20 < 4+9.a < 30
Если a=1, 4+9=13; 13 < 20
Если a=2, 4+9.2=22;
20 < 22 < 30
Ответ: 22
Запись числа 2B16 в некоторой системе счисления выглядит так: 111N. Найдите основание системы счисления N
Решение:2B16 = 111N
2B16 = 2.16 + B = 32 + 11 = 43
43 = 111N
N2 + N + 1 = 43
N2 + N – 42 = 0
N=6, N=-7
Ответ: 6
Запись числа 2105 в некоторой системе счисления выглядит так: 313N. Найдите основание системы счисления N.
Решение:2105 = 313N
2105 = 2.52 + 1.5 = 50 + 5 = 55
55 = 313N
3N2 + N + 3 = 55
N = 4
Ответ: 4
Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 50 трехзначна
Решение:50 = 3024
Ответ: 4
К записи натурального числа в восьмеричной системе счисления справа приписали два нуля. Во сколько раз увеличилось число? Ответ запишите в десятичной системе счисления.
Решение:XY8 = X.8 + Y
XY008 = X.83 + Y.82 = 82.(X.8+Y)
Ответ: 64
Запись числа 338 в системе счисления с основанием N содержит 3 цифры и оканчивается на 2. Чему равно максимально возможное основание системы счисления?
Решение:338 = XY2N
XN2+YN+2 = 338
XN2+YN = 336
N.(XN+Y) = 336
16.(1.16+5)=16.21 = 336
Ответ: 16
Запись числа 256 в системе счисления с основанием N содержит 3 цифры и оканчивается на 4. Чему равно минимально возможное основание системы счисления?
Решение:256 = XY4N
XN2 + YN + 4 = 256
N.(XN+Y) = 252
Если N=6, 6(5.6+5)=210<252
N=7
Ответ: 7
Решите уравнение 425+x=11223.
Ответ запишите в четверичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.
425 + x = 11223
(20+2) + x = 27+9+6+2
x = 22
22 = ?4
22 / 4 = 5, остаток 2
5 / 4 = 1, остаток 1
Ответ: 112
В некоторой системе счисления записи десятичных чисел 68 и 94 заканчиваются на 3. Определите основание системы счисления.
Решение:68 – 3 = 65
94 – 3 = 91
91 = 7.13
65 = 5.13
Ответ: 13
Запись числа N в системе счисления c основанием 6 содержит две цифры, запись этого числа в системе счисления c основанием 5 содержит три цифры, а запись в системе счисления c основанием 11 заканчивается на 1. Чему равно N? Запишите ответ в десятичной системе счисления.
Решение:N = XY6 = X.6 + Y = > N ≤ 35
N = ABC5 = A.25 + B.5 + C = > N ≥ 30
N = …111 => N-1 делится на 11
11.3 = 33
Ответ: 33
Сколько единиц в двоичной записи числа 42014 + 22015 – 9?
Решение:24028 + 22015 – 9
Ответ: 2015
Сколько единиц в двоичной записи числа 8125 – 4156 + 2632 – 7?
Решение:2632 + 2375 – 2312 – 7
Ответ: 373
Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 4350 + 8340 – 2320 – 12?
Решение:21020 + 2700 – 2320 – 12
Ответ: 324
Значение арифметического выражения: 920 + 360 – 15 записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?
Решение:920 + 360 – 15
360 + 340 – 15
Ответ:
Некоторое число X из десятичной системы счисления перевели в системы счисления с основаниями 16, 8, 4, 2. Часть символов при записи утеряна. Позиции утерянных символов обозначены знаком *:
X= E*16 = *5*8 = ***14 = *****1**2
Определите число X.
Решение(Э. Аян, Казань):X= Ea16 = 14.16+a = 224+a, где 0<a<16
Исходя из равенства X=***14 можем сделать вывод, что число Х делится на 4 с остатком 1. Следовательно, переменная а принимает одно из следующий значений: 5, 9, 13.
При а=5, Х=229
При а=9, Х=233
При а=13, Х=237
Х=*****1**2, следовательно число 233 нам не подходит, так как при переведении его в двоичную систему третий справа бит равен 0, в то время как 229 и 237 подходят.
Х=*5*8, следовательно при переведении Х в восьмеричную систему навторой бит должен принять значение 5.
Х=22910=3458
Х=23710=3558
Ответ: 237