Филлотаксис и последовательность Фибоначчи
Филлотаксис и последовательность Фибоначчи
В. Березин
Реальные соцветия подсолнуха два семейства логарифмических спиралей Спирали одного семейства закручиваются к центру против хода часовой стрелки, другого — по ходу. В ботанике такое сочетание двух семейств спиралей называют филлотаксисом (в переводе с греческого слово это означает «устройство листа»).
Оказывается, числа спиралей в соцветиях подсолнечника приближенно равны двум соседним членам так называемой последовательности Фибоначчи: 34 и 55 или 89 и 144.
Филлотаксис подсолнечника — одна из многих неожиданных встреч с последовательностью Фибоначчи. Впервые с ней столкнулся в прошлом столетии французский математик Эдуард Люка. Читая книгу «Искусство абака» знаменитого итальянского математика эпохи Возрождения Леонардо Пизанского, известного больше по прозвищу Фибоначчи, и решая одну из задач Леонардо, Люка составил последовательность 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ..., в которой
F>n> = F>n–1> + F>n–2>.
Неожиданная встреча с этой последовательностью состоится сейчас и у нас. Предположим, что α2 = 1 – α.
Выразим значения степеней α3, α4, α5, ... через 1 = α0 и α:
|
α3 = |
α·α2 = 2α – 1, |
|
α4 = |
2 – 3α, |
|
α5 = |
5α – 3, ... |
Вы узнали в коэффициентах последовательность Фибоначчи, начиная с члена F>1>? По-видимому, и для любого n можно записать формулу
αn = (–1)n (F>n–1> – F>n>α),
где F>n–1> и F>n> — члены последовательности Фибоначчи. Докажем это методом математической индукции:
|
αn+1 = αn·α |
= (–1)n (F>n–1>α – F>n>α2) = (–1)n (F>n–1>α – F>n>(1 – α)) = |
|
= (–1)n (–F>n> + (F>n–1> + F>n>)α) = (–1)n+1 (F>n> – F>n+1>α). |
У уравнения α2 = 1 – α два корня — положительный α = (√5 – 1)/2 и отрицательный α = –(√5 + 1)/2. Как мы убедились,
|
|
(–1)n α>1>n = F>n–1> – F>n>α>1>, |
|
|
|
|
|
(–1)n α>2>n = F>n–1> – F>n>α>2>. |
Решая эту систему относительно F>n>, получаем, что
|
F>n> = |
1 √5 |
( |
1 + √5 2 |
) |
n |
– |
( |
1 – √5 2 |
) |
n |
. |
И этот результат довольно неожидан — последовательность целочисленная, а общий её член выражается через квадратные радикалы.
Следующую неожиданность получим, если вычислим
|
F>n> F>n+1> |
= |
√5 – 1 2 |
. |
Это знаменитое «золотое сечение» (о нём см., например, «Квант», 1973, №8, с.22 и далее). Прямоугольный предмет с таким отношением сторон наиболее приятен для глаза.
Существует много формул, связывающих между собой члены последовательности Фибоначчи. Вот некоторые из них:
|
n |
n |
|||
|
F>n+2> = 1 + |
∑ |
F>k>, F>2n> = |
∑ |
F>2k–1>, |
|
k=1 |
k=1 |
|
n |
2n–1 |
|||
|
F>2n+1> = 1 + |
∑ |
F>2k>, F>2n–2> = –1 + |
∑ |
(–1)k–1 F>k>, |
|
k=1 |
k=1 |
|
2n–1 |
||||||||
|
F |
2 2n |
= |
∑ |
F>k>F>k+1>, F>2n–1> = F |
2 n |
+ F |
2 n–1 |
. |
|
k=1 |
Выкладывание этой скромной по размеру статьи преследует несколько целей. Во-первых, «всякое может быть». Возможно, эту публикацию увидит школьник, впервые услышавший о числах Фибоначчи и желающий узнать о них побольше. Он сможет здесь найти названия книг для дальнейшего чтения. Во-вторых, данная статья упоминалась в другой, уже выложенной статье о сопряжённых числах, и я постарался (в меру сил), чтобы тем, кто добрался до тамошнего списка дополнительной литературы, не пришлось далеко ходить. :) И наконец, главное: этот файл содержит линк на видеоролик, в котором рассказывается и про подсолнух, и про прямоугольник, «приятный глазу», и про золотое сечение. В общем, почти видеоверсия данной статьи. А то, что закадровый комментарий на английском, так это и неплохо — лишний повод поупражняться в языке.
Список литературы
Для подготовки данной применялись материалы сети Интернет из общего доступа