Випадкова величина
ТЕМА
ВИПАДКОВА ВЕЛИЧИНА
1 Випадкова величина. Функція розподілу випадкової величини
Зіставимо кожну
елементарну подію конкретного випробування
з деяким числом. Наприклад, розглянемо
випробування, що полягає в підкиданні
монети. Маємо простір елементарних
подій – множину з двох можливих рівно
ймовірних наслідків випробування: >1>
– випадання "решки" та >2
>– випадання
герба. Введемо до розгляду функцію =
f(),
що визначається за формулами: f(>1>)=0,
f(>2>)=1.
Це – числова функція (випадкова величина),
яка залежить від випадку. Позначимо її
через
:
Для значень, яких у
результаті випробувань може рівно
ймовірно набувати функція
,
застосуємо символи
та
.
Відповідно з нашою угодою, вони дорівнюють
і
У загальному випадку
задовільної випадкової величини
позначатимемо її однією з грецьких
літер ,,...,
а значення, яких вона набуває літерами
латинської абетки: х, y,..... Відповідність
між цими значеннями та ймовірностями,
з якими їх набуває така функція
,
зручно задати у вигляді табл. 1, що
називається законом розподілу дискретної
випадкової величини:
Таблиця 1
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
... |
|
У випадку зазначеної конкретної випадкової величини, пов’язаної з випадінням сторін підкинутої монети, табл. 1 конкретизується у вигляді табл. 2:
Таблиця 2
|
|
0 |
1 |
|
|
1/2 |
1/2 |
Цю закономірність
можна також наочно представити на
площині xOy, розмістивши на горизонтальній
осі значення
і
,
а на вертикальній осі, що доцільно було
перемістити з її традиційного положення
– відповідні їм ймовірності (рис. 1). При
цьому графік функції
складається тільки з двох точок (,
)
і (,
).
В інших точках горизонтальної осі
функція
взагалі принципово не визначена.
Ще більш наочно закон розподілу дискретної випадкової величини зображається специфічною функцією
що називається функцією
розподілу випадкової величини
.
Рисунок 1
У відповідності з її визначенням, вона дає в точці x ймовірність того, що випадкова величина розташована на осі Ox зліва від цієї точки x. Зокрема, для випадкової величини, заданої законом розподілу в табл. 2, ця функція має складний вигляд із різними представленнями на різних інтервалах
На рис. 2 наведено її графік з двома неусувними розривами 1-го роду.
Рисунок 2
Розглянемо ще один
приклад введення випадкової величини.
Нехай є мішень – круг радіуса а, влучення
до якого гарантовано. Як випадкову
величину, що позначимо як
,
візьмемо відстань від центра мішені до
точки влучення. Ймовірність того, що ця
випадкова величина набуває різних
значень r
від нуля до а,
обчислюється за формулою геометричної
ймовірност:
При цьому функція розподілу
графік якої зображено на рис. 3, має вигляд
Рисунок 3
Модифікуємо попередній приклад: нехай всередині круга радіуса а, влучення до якого гарантовано, проведено два концентричні кола (рис. 4) з радіусами a/3 і 2a/ В залежності від відстані точки влучення від центра мішені стрілець одержує 10, 5 чи 1 бал, відповідно.
Рисунок 4
За випадкову величину,
що позначимо як
,
візьмемо тепер кількість очок, набраних
при пострілі по мішені. Її можливі
значення: 10, 5, 1. Обчислимо ймовірності
випадків прийняття цих значень величиною
,
,
При цьому закон
розподілу випадкової величини
має вигляд табл. 3:
Таблиця 3
|
|
1 |
5 |
10 |
|
|
5/9 |
1/3 |
1/9 |
За цим законом розподілу
випадкової величини
знаходимо функцію її розподілу та
будуємо її графік (рис. 5).
Рисунок 5
Властивості функції розподілу:
1. F(x) – неубутна функція. Дійсно, якщо x>1><x>2> (рис. 6).
Рисунок 6
F(x>2>)=P(<x>2>)=P(<x>1>)+P(x>1><<x>2>)>P(<x>1>)=F(x>1>); F(x>1>)<F(x>2>);
2. F(+)=1; F(-)=0; F(+)=P(<)=1;
P(-<<)=1; F(-)=0;
P(<)=P() - P()=F>>() - F>>().
Якщо функція розподілу в деякій точці =а має неусувний розрив 1-го роду – стрибок на величину р, (рис. 7) то Р(=а)=р.
Рисунок 7
Дійсно, розглянемо [а, b), b a+0.
P(=а)=
.
Найбільш важливими типами випадкових величин є дискретні і неперервні випадкові величини, які будуть розглянуті більш докладно.
2 Дискретна випадкова величина
Випадкова величина називається дискретною, якщо її можливі значення можна перенумерувати.
Нехай х>1>,х>2>,…,х>n> – можливі значення дискретної випадкової величини в порядку зростання.
Випадкові події [=x>1>], [=x>2>], …[=x>n>] утворять повну систему елементарних подій. При цьому
,
Закон розподілу дискретної випадкової величини можна задати таблицею (табл. 1) чи геометрично – точками на площині (x>i>, p>i>); або ламаною, що з'єднує ці точки та називається багатокутником розподілу (рис. 8):
Рисунок 8
Цьому закону розподілу
є відповідною функція розподілу
F>>(x)=P(<x)=
або
де
Її графік наведено на рис. 9
Рисунок 9
Як видно з рис. 9, функція
розподілу дискретної випадкової величини
є кусково неперервною. У точці х>i>
вона зростає на величину
.
При цьому
.
3 Найважливіші закони розподілу дискретних випадкових величин
Біноміальний розподіл. Розглядається серія з n випробувань, у кожному з яких подія А відбувається або не відбувається. Ймовірність появи події А в кожному випробуванні постійна і не залежить від результатів інших випробувань. Це схема Бернуллі:
Р(А)=р;
.
Як випадкову величину,
яку позначимо
,
розглянемо кількість появ події А у n
випробуваннях. Не важко перевірити, що
ймовірність появи події
визначається формулою Бернуллі у вигляді
;
(1)
де
– кількість сполучень з
елементів по
(1).
Відповідний цїй формулі закон розподілу випадкової величини називається біноміальним, тому що його коефіцієнти збігаються з коефіцієнтами членів розкладання бінома Ньютона (p+q)n (табл. 4).
Таблиця 4
|
>n> |
0 |
1 |
… |
k |
… |
n |
|
p>n> |
qn |
npqn-1 |
… |
|
… |
pn |
Розподіл Пуассона.
Якщо в біноміальному розподілі випадкової
величини кількість випробувань
і наслідків
дуже велика, знаходження ймовірностей
за формулою Бернуллі (1) стає обтяжливим
у зв’язку з необхідністю обчислення
факторіалів великого порядку. У цьому
випадку було отримано наслідки формули
Бернуллі, один з яких полягає у наступному.
Нехай кількість випробувань
необмежено зростає, але так, щоб її
добуток на ймовірність появи події A
в кожному випробуванні, тобто
,
залишався скінченою величиною порядку
одиниці. Це передбачає дуже мале значення
ймовірності
,
отже розглядаються дуже рідкі події та
дуже довгі серії випробувань. При
формалізації відзначених умов у формулі
Бернуллі (1) можна перейти до границі
або остаточно отримати
формулу Пуассона для ймовірності появи
разів дуже рідкої події A
у практично нескінченних випробуваннях
Розподіл випадкової
величина
за цією формулою називається законом
Пуассона (законом рідкісних подій).
Число
називається параметром розподілу. Цей
закон можна подати у вигляді:
Таблиця 5
|
|
0 |
1 |
… |
k |
… |
p |
e- |
e- |
… |
|
… |
Розглянемо типову задачу, що приводить до розподілу Пуассона. Нехай подія А означає відмову складного пристрою протягом малого проміжку часу. Причиною відмови є вихід з ладу будь-якої деталі. Режим роботи пристрою не змінюється з часом, відмова окремих деталей відбувається незалежно одна від одної, причому за одиницю часу "в середньому" відбувається відмовлень.
При цих допущеннях з великим ступенем точності виконуються такі умови:
1. Ймовірність появи відмови на проміжку часу (0, Т) така сама, як і на задовільному проміжку довжиною T (t,t+T).
2. Появи відмовлень на проміжках часу, що не перекриваються, незалежні.
Ймовірність появи відмовлення за нескінченно малий проміжок часу визначається за формулою:
р(А)= t+o(t), t0.
4. Імовірність появи більше однієї відмови є о(t), t0.
Розіб'ємо інтервал
(t,t+T) на n рівних частин
.
Розглядатимемо реєстрацію відмови як окреме випробування
При цьому приходимо до розподілу Пуассона для кількості відмовлень за час Т
Геометричний закон розподілу. Проводиться серія випробувань до першої появи події А. Ймовірність появи події А в кожному випробуванні дорівнює р і не залежить від інших випробувань.
Як випадкову величину
розглядатимемо кількість проведених
випробувань, необхідних для першої
появи події А. Очевидно, що закон розподілу
цієї випадкової величини можна подати
таблицею:
Таблиця 6
|
|
1 |
2 |
3 |
… |
k |
|
P |
P |
qp |
q2p |
… |
qk-1p |