Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива
Исходные данные к курсовому проекту
Рассматривается последний этап посадки космического аппарата (КА) на планету. При построении математической модели предположим:
посадка осуществляется по нормали к поверхности планеты, планета неподвижна и в районе посадки плоская;
на КА действуют сила тяжести G=mg, причем g=const и сила тяги
,
где с=const,
а β
– секундный расход массы m,
;аэродинамические силы отсутствуют.
Уравнения движения КА могут быть представлены в виде:
;
;
,
где h
– текущая высота;
или в нормальной форме:
;
;
;
.
Здесь введены обозначения:
;
;
;
;
.
Граничные условия имеют вид:
;
;
;
;
,
причем Т заранее неизвестно.
Требуется найти программу управления
u*(t),
обеспечивающую мягкую посадку при
минимальном расходе топлива, то есть
.
Исходные данные для расчетов
|
Начальная масса КА
|
Начальная высота
|
Начальная скорость
|
Отношение силы тяги к
начальной массе
|
|
500 |
190 |
2,65 |
42,5 |
|
|
|
,
кг.
,
км.
,
км/с
=190000 м.
=2650 м/сУскорение силы тяжести для планеты g=1,62 м/с2, величина с=3000 м/с.
Задание к курсовому проекту
Составить гамильтониан Н, воспользовавшись необходимыми условиями оптимальности для задачи Майера.
Из условия максимизации Н по u найти оптимальное управление.
Получить каноническую систему уравнений и в результате прийти к краевой задаче, для которой в момент t=0 заданы компоненты x>0>, x>1>, x>2>, а в момент t=T компоненты x>1>, x>2>, ψ>0>.
Из условия Н(Т)=0 получить соотношение для определения неизвестного времени Т.
Произвести анализ необходимых условий оптимальности, начав с исследования возможности существования особого вырожденного управления, то есть случая, когда функция переключения
.
Доказать, что К>u> не может обратиться в нуль на конечном интервале времени и, следовательно, особого управления в данной задаче не существует.
Показать, что К>u> есть монотонная функция t.
Рассмотреть четыре возможных случая:
а) K>u>>0
для всех
;
б) K>u><0
для всех
;
в) K>u>>0
для
,
K>u><0
для
;
г) K>u><0
для
,
K>u>>0
для
.
Показать, в каких случаях (из физических соображений) мягкая посадка невозможна, в каком из реализуемых случаев расход топлива меньше.
Получить программу оптимального управления, когда до некоторого момента t>1> управление отсутствует u*=0, а начиная с t=t>1>, управление равно своему максимальному значению u*=u>max>, что соответствует минимальному расходу топлива.
Решить каноническую систему уравнений, рассматривая ее для случаев, когда
и управление u*=0,
и когда
,
u*=u>max>.
Приравнивая х>1>(Т) и х>2>(Т) нулю, получить два уравнения относительно t>1> и Т. Таким образом, краевую задачу свести к системе, состоящей из двух нелинейных уравнений относительно двух неизвестных t>1>, Т. Составить программу расчета. Получив решение этой системы, решить полностью исходную задачу программирования оптимального управления мягкой посадкой КА на планету. В заключение следует построить фазовую траекторию спуска КА и определить конечную массу m(Т).
Выполнение задания курсового проекта
Нам известно, что
,
где с – сила тяги двигателя,
m – масса космического аппарата;
– ускорение аппарата.
То есть, масса · ускорение = сумме сил, действующих на аппарат.
β – секундный расход массы
m:
.
Расход массы обеспечивает
силу тяги двигателя (P=c·β),
ее можно менять в пределах
.
можно
найти из исходных данных – выразив из
отношения силы тяги к начальной массе
P>max>/m(0):
;
;
кг/с.
Наш критерий оптимизации
.
Введем принятые в исходных данных
обозначения:
;
.
Начальный момент времени t=0, конечный момент времени – момент посадки КА (момент столкновения с планетой) t=T.
;
Тогда критерий оптимизации:
;
.
(Здесь
.)
Теперь необходимо написать уравнение состояния системы. Для этого нужно ввести переменные состояния и входную переменную.
Порядок дифференциального уравнения n=3, отсюда 3 уравнения состояния:
;
;
.
Выберем управление:
;
Подставляем уравнения состояния, получим:
так как
и
,
отсюда
;
;
.
Критерий оптимизации:
.
Введем переменные х>0> и х>n>>+1> (то есть х>4>).
,
где t
– текущее время.
.
Тогда основные уравнения состояния:
Составим гамильтониан Н:
;
.
Оптимальному управлению соответствует максимум функции Гамильтона в заданной области возможных управлений. Причем этот максимум равен нулю.
То есть нужно добиться максимума этой функции, меняя u>1>. Это и будет оптимальное управление.
Для функций ψ>i>
тоже получим сопряженные уравнения,
которые имеют вид
:
–
так как функция не зависит от х>0>,
следовательно производная равна нулю;
–
аналогично, так как функция не зависит
от х>1>.
Итак, нужно найти максимум гамильтониана:
Функция переключения:
Используя для вычислений Mathcad, получим оптимальное управление:
Таким образом оказалось, что оптимальное управление должно осуществляться на предельных ресурсах. То есть либо двигатель должен быть совсем выключен (при K>u><0), либо включен на максимальную мощность (при K>u>>0).
Посмотрим, как меняется функция переключения К>u> во времени:
;
Для определения ψ>1> и ψ>2> решаем сопряженные уравнения:
,
следовательно, ψ>1>
= const,
обозначим ψ>1>=с>1>.
,
следовательно,
,
где c>2
>= const.
Итак,
Масса КА всегда положительна,
а с=3000 = const
– величина постоянная, поэтому производная
имеет всегда постоянный (один и тот же)
знак. То есть величина K>u>
либо всё время монотонно возрастает,
либо всё время монотонно убывает. А это
означает, что она может пройти через
ноль только один раз.
Рассмотрим четыре возможных случая:
а) K>u>>0
для всех
;
б) K>u><0
для всех
;
в) K>u>>0
для
,
K>u><0
для
;
г) K>u><0
для
,
K>u>>0
для
.
В случаях б) (когда двигатель КА выключен на всем протяжении посадки) и в) (когда двигатель включен на максимальную мощность до какого-то момента времени t=t*, а затем полет происходит с выключенным двигателем до самой посадки) – говорить о мягкой посадке не приходится. Эти варианты означают падение КА на планету. Поэтому оптимальными (и вообще допустимыми) их считать нельзя.
Следовательно, остаются два реализуемых варианта – а) и г). И оптимальное управление предполагает либо всё время включенный на максимальную мощность двигатель, либо полет с выключенным двигателем до какого-то момента t=t*, а затем полет с двигателем, включенным на максимальную мощность до момента посадки. Естественно, что во втором случае (г) расход топлива меньше, так как часть пути проделывается с выключенным двигателем.
Поэтому оптимальным управлением в данной ситуации можно считать полет с выключенным двигателем, затем происходит включение двигателя и полет продолжается с двигателем, включенным на максимальную мощность.
Итак, оптимальному управлению соответствует
На первом участке полета, на котором u>1>=0:
;
;
;
;
;
.
Рассмотрим второй участок полета u>1>=7,083:
Зададимся условием, что при t=t* (в момент включения двигателя):
;
;
.
На отрезке полета со включенным двигателем:
;
так как
,
запишем:
.
Теперь, зная х>3>, можно выразить х>2>:
.
Теперь, зная х>2> выразим х>1>:
;
На отрезке пути h(t):
В момент посадки t=T
высота и скорость должны быть равны
нулю, то есть
и
.
На основании этого утверждения приравняем
х>1>(T)
и х>2>(Т)
нулю и получим таким образом два уравнения
относительно t*
и T.
Таким образом, краевая задача у нас
свелась к системе, состоящей из двух
нелинейных уравнений относительно двух
неизвестных t*
и Т:
Из второго уравнения системы выразим момент времени, на котором включается двигатель:
;
Подставим это выражение в первое уравнение системы, получим уравнение для нахождения времени полета T (оно же время посадки):
Для расчета времени полета Т воспользуемся программой Mathcad. На следующем листе приведены эти вычисления1:
Теперь, зная Т и t*, можно определить конечную массу космического аппарата m(T):
кг.
Можно рассчитать высоту h (t*), на которой КА должен включить двигатели:
м.
Таким образом, включение двигателей происходит на 3317-ой секунде полета на высоте около 67 км. от поверхности планеты. Тот же результат мы наблюдаем и на графике.
1 Все дальнейшие вычисления также производились в программе Mathcad