Эрмитовы операторы

Эрмитовы операторы

Содержание

Линейные операторы

Линейные уравнения

Эрмитовы операторы

Линейные операторы

Пусть M и N — линейные множества. Оператор L, преобразующий элементы множества M в элементы множества N, называется линейным, если для любых элементов f и g из M и комплексных чисел λ и μ справедливо равенство

L(λ+ μg) = λLf + μLg (1)

При этом множество M = M_>L> называется областью определения оператора L. Если Lf = f при всех f Є M, то оператор L называется тождественным (единичным) оператором. Единичный оператор будем обозначать через I.

Линейные уравнения

Пусть L — линейный оператор с областью определения M_>L> . Уравнение

Lu = F (2)

называется линейным неоднородным уравнением. В уравнении (2) заданный элемент F называется свободным членом (или правой частью), а неизвестный элемент и из M_>L> — решением этого уравнения.

Если в уравнении (2) свободный член F положить равным нулю, то полученное уравнение

Lu = 0 (3)

называется линейным однородным уравнением, соответствующим уравнению (2).

В силу линейности оператора L совокупность решений однородного уравнения (3) образует линейное множество; в частности, и = 0 всегда является решением этого уравнения.

Всякое решение и линейного неоднородного уравнения (2) (если оно существует) представляется в виде суммы частного решения и_>о> этого уравнения и общего решения ŭ, соответствующего линейного однородного уравнения (3)

и = и_>о> + ŭ.

Отсюда непосредственно выводим: для того чтобы решение уравнения (2) было единственным в M_>L>, необходимо и достаточно, чтобы соответствующее однородное уравнение (3) имело только нулевое решение в M_>L>_> >. Пусть однородное уравнение (3) имеет только нулевое решение в M_>L>. Обозначим через R_>l> область значений оператора L, т.е. (линейное) множество элементов вида {Lf}, где f пробегает M_>L>. Тогда для любого F Є R_>l> уравнение (2) имеет единственное решение и Є M_>L> , и, таким образом, возникает некоторый оператор, сопоставляющий каждому элементу F из R_>l> соответствующее решение уравнения (2). Этот оператор называется обратным оператором к оператору L и обозначается через L^-1, так что

и = L^-1F. (4)

Оператор L^-1, очевидно, является линейным и отображает R_>l> на M_>L>. Непосредственно из определения оператора L^-1, а также из соотношений (2) и (4) вытекает:

L L^-1F = F, F Є R_>l>_> >; L^-1Lu = u, и Є M_>L>,

т.е. L L^-1=I, L^-1L = I.

Если линейный оператор L имеет обратный L^-1, то системы функций {φ_>k>} и {Lφ_>k>} одновременно линейно независимы. (При этом, естественно, предполагается, что все φ_>k> принадлежат M_>L>_>.>)

Рассмотрим линейное однородное уравнение

Lu = λu, (5)

где λ — комплексный параметр. Это уравнение имеет нулевое решение при всех λ. Может случиться, что при некоторых λ оно имеет ненулевые решения из M_>L>. Те комплексные значения λ, при которых уравнение (5) имеет ненулевые решения из M_>L>, называются собственными значениями оператора L, а соответствующие решения — собственными элементами (функциями), соответствующими этому собственному значению. Полное число r, 1 ≤ r ≤ ∞, линейно независимых собственных элементов, соответствующих данному собственному значению λ, называется кратностью этого собственного значения; если кратность r = 1, то λ называется простым собственным значением.

Если кратность r собственного значения λ оператора L конечна и u_>1>,...,и_>2> — соответствующие линейно независимые собственные элементы, то любая их линейная комбинация

u_>0> = c_>1>u_>1> + c_>2>u_>2> + ... + c_>r>u_>r>

также является собственным элементом, соответствующим этому собственному значению, и приведенная формула дает общее решение уравнения (5). Отсюда вытекает: если решение уравнения

Lu = λ u + f (6)

существует, то его общее решение представляется формулой

и = и* +∑с_>k>и_>k>, (7)

где и* — частное решение (6) и с_>k>, k = l,2,...,r, — произвольные постоянные.

Эрмитовы операторы

Линейный оператор L, переводящий M_>L>СL_>2>(G) в L_>2>(G), называется эрмитовым, если его область определения M_>L> плотна в L_>2>(G) и для любых f и g из M_>l> справедливо равенство

(Lf,g) = (f,Lg ).

Выражения (Lf, g) и (Lf, f) называются соответственно билинейной и квадратичной формами, порожденными оператором L.

Для того чтобы линейный оператор L был эрмитовым, необходимо и достаточно, чтобы порожденная им квадратичная форма (Lf, f), f Є M_>l>, где M_>l> плотна в L_>2>(G), принимала только вещественные значения.

Линейный оператор L, переводящий M_>l> С L_>2>(G) в L_>2>(G), называется положительным, если M_>l> плотна в L_>2>(G) и

(Lf, f) ≥ 0, f Є M_>l> .

В частности, всякий положительный оператор эрмитов.

Теорема. Если оператор L эрмитов (положительный), то все его собственные значения вещественны (неотрицательны), а собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство. Пусть λ_>0> — собственное значение, u_>0> — соответствующая нормированная собственная функция эрмитова оператора L, L u_>0> = λ_>0>u_>0>. Умножая скалярно это равенство на u_>0>, получим

(Lu_>0>, u_>0>) = (λ_>0> u_>0>, u_>0>) = λ_>0> (u_>0>, u_>0>) λ_>0>|| u_>0>||² = λ_>0>. (8)

Но для эрмитова (положительного) оператора квадратичная форма (Lf, f) принимает только вещественные (неотрицательные) значения, и, стало быть, в силу (7) λ_>0> — вещественное (неотрицательное) число.

Докажем, что любые собственные функции и_>1> и и_>2>, соответствующие различным собственным значениям λ_>1> и λ_>2>, ортогональны. Действительно, из соотношений

Lu_>1> = λ_>1> и_>1>, Lu_>2> = λ_>2>и_>2>,

из вещественности λ_>1> и λ_>2 >и из эрмитовости оператора L получаем цепочку равенств

λ_>1>(и_>1>,и_>2>) = (λ и_>1>,и_>2>) = (Lи_>1>,и_>2>) = (и_>1>,Lu_>2>) = (и_>1>,λ_>2>и_>2>) = =λ_>2>(и_>1>,и_>2>),

т.е. λ_>1>(и_>1>,и_>2>) = λ_>2>(и_>1>,и_>2>). Отсюда, поскольку λ_>1 >≠ λ_>2>, вытекает, что скалярное произведение (и_>1>,и_>2>) равно нулю. Теорема доказана.

Предположим, что множество собственных значений эрмитова оператора L не более чем счетно, а каждое собственное значение конечной кратности. Перенумеруем все его собственные значения: λ_>1>,λ_>2>,..., повтори λ_>k> столько раз, какова его кратность. Соответствующие собственные функции обозначим через и_>1>,и_>2>,… так, чтобы каждому собственному значению соответствовала только одна собственная функция и_>k>:

Lu_>k> = λ_>k> , и_>k>, k = 1,2,...

Собственные функции, соответствующие одному и тому же собственному значению, можно выбрать ортонормальными, используя процесс ортогонализации Шмидта. Всякая ортонормальная система {φ_>k>} состоит из линейно независимых функций. Всякая система ψ_>1>,ψ_>2>,... линейно независимых функций из L_>2>(G) преобразуется в ортонормальную систему φ_>1>,φ_>2>, — следующим процессом ортогонализации Шмидта:

φ_>1 >= ψ_>1 >/||ψ_>2 >|| , φ_>2 >= ψ_>2 >– (ψ_>2, >φ_>1>) φ_>1 >/ || ψ_>2 >– (ψ_>2, >φ_>1>) φ_>1 >||

φ_>k>_> >= ψ_>k>_> >– (ψ_>k>_>, >φ_>k>_>-1>)φ_>k>_>-1 >– … – (ψ_>k>_>,>φ_>1>)φ_>1 >/ || ψ_>k>_> >– (ψ_>k>_>, >φ_>k>_>-1>)φ_>k>_>-1 >– … – – (ψ_>k>_>,>φ_>1>)φ_>1>||

При этом опять получаются собственные функции, соответствующие тому же самому собственному значению. По доказанной теореме собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Таким образом, если система собственных функций {и_>к>} эрмитова оператора L не более чем счетна, то ее можно выбрать ортонормальной:

(Lu_>k>,u_>i> ) = λ_>k>(и_>k>,u_>i>) = λ_>k>δ_>ki>

Список литературы

1. Владимиров B.C., Жаринов В. В. Уравнения математической физики: Учебник для вузов. — М.: Физмат-лит, 2000.

2. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — Изд. 5-е. — М.: Наука, 1985.

3. Никольский СМ. Математический анализ.—Изд. 5-е. — М.: Физмат-лит, 2000.