Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n
Терема Ферма. Бесконечный спуск для нечётных показателей n.
Получены другие формулы для решений уравнения Пифагора x^2+y^2=z^2, отличные от формул древних индусов, и делающие возможным доказательство для всех нечётных значений показателя n тем же способом бесконечного спуска Ферма, что и для n=4.
Ферма (потом Эйлер) доказывали
эту теорему для частного случая n = 4
способом бесконечного спуска с помощью
формул древних индусов: x=
a
-
b,
y=2ab,
z=
a+
b.
Другие формулы: x
=
+ b,
y
=
+ a,
z
=
+ a
+ b
(1).
В (1) a
и b
любые взаимно простые
положительные целые числа, одно из них
– чётное, другое – нечётное. Пусть a
– чётное, b
– нечётное: a=2c,
b=d,
откуда
=2cd.
После подстановки значений a и b в (1) получим:
X = d(2c+d); Y= 2c(c+d); Z=
2c(c+d)+ d
(2),
где c и d любые целые положительные числа; c,d и их суммы взаимно просты;
X,Y,Z – взаимно простые тройки решений уравнения Пифагора. Если определены и целы c и d, то определены и целы все три числа X,Y,Z.
Предположим, что уравнение Ферма
x
+
y=
z
имеет тройку целых положительных решений
x,y,z
при нечётном целом положительном
значении показателя n,
n>2.
Запишем это уравнение следующим образом:
(x
)+
(y)=
(z)
(4).
Так как рассматривается возможность существования целых решений уравнений Ферма и (4) , то должно выполняться следующее условие:
x=
X;
y=
Y;
z=
Z;
где X,Y,Z
из (2) (5).
Чтобы числа x,y,z были целыми, из всех трёх чисел X,Y,Z должны извлекаться целочисленные корни степени n (n – нечётное положительное целое число):
x
=
=
(
);
y
=
=
(
);
z
=
.
Для упрощения достаточно
рассмотреть два целых числа
и
( n
– нечётное ):
=
=
и
=
=
.
Подкоренные выражения содержат сомножители не имеющие общих делителей, кроме 1, поэтому каждый сомножитель должен являться целым числом в степени n:
d
= g;
2 c
= h,
следовательно,
=
;
=
.
Так как x,
– целые, x
– по условию, а
– из-за нечётн. n,
то g+
h=
k,
где k
– целое.
Тройка решений g,h,k
удовлетворяет уравнению
Ферма, но все три числа меньше числа x
первой тройки решений, потому что
наибольшее число k
из g,h,k
меньше
,
так как
=g
,
а
<x,
так как x=().
Число k
заведомо меньше числа z.
Повторим те же рассуждения для второй тройки решений g,h,k, начиная с (4):
(g)+
(h)=
(k);
g
==(
);
h
==(
);
k
=.
=
=
и
=
=
.
d
= p;
2 c
= q,
следовательно,
=
;
=
.
p+
q=
r,
где r
– целое число. Все три числа p,q,r
меньше числа
из второй тройки
решений и r<k.
Таким же образом получается 4-я тройка
решений, 5-я и т.д. до
.
При данных конечных целых положительных числах x,y,z не может существовать бес-конечной последовательности уменьшающихся целых положительных троек решений. Ряд натуральных чисел конечен. Отсюда целых положительных троек решений для целых положительных нечётных (и всех простых) значений показателя n (n>2) не существует.
Для чётных n=2m
не кратных 4:
(x)
+(y)=(z),
m
– нечётное. Если нет целых
троек решений для показателя
m,
то их нет и для 2m
(это показал Эйлер). Для
n=4
и n=4k
(k=1,2,3…)
уже доказано, что целых положительных
троек решений не существует.
А. Ф. Горбатов