Разностные схемы для уравнений параболического типа
Разностные схемы для уравнений параболического типа
1. Решение задачи Коши
Рассмотрим задачу Коши для уравнения теплопроводности
>
>,
>
>,>
>
>
>,
(3.5)
с условием на прямой t=0
>
>,
>
>.
(3.6)
Требуется
найти функцию >
>,
которая при
>
> и >>
удовлетворяла бы уравнению (3.5), а при >
>
выполняла бы условие (3.6).
Будем считать,
что задача (3.5), (3.6) имеет в верхней
полуплоскости единственное решение >>,
непрерывное вместе со своими производными
>
>, i=1,
2 и >
>,
k=1,
2, 3, 4.
Запишем
задачу (3.5), (3.6) в виде >
>.
Для этого достаточно положить
>
>
>
>
Будем далее
считать, что t
изменяется в пределах >
>.
В рассматриваемом случае
>
>,
Г − объединение прямых t=0 и t=T.
Выберем
прямоугольную сетку и заменим
область >
> сеточной
областью >
>.
К области >> отнесем
совокупность узлов >
>,
где
>
>,
>
>,
>
>,
>
>,
>
>,
>
>,
>
>.
Заменим
задачу >> разностной
схемой вида >
>.
Обозначим через >
> точное
значение решения задачи >> в
узле >
>,
а через >
> –
соответствующее приближенное решение.
Имеем
>
>
>
>
Для замены
выражений >
>и
>
>воспользуемся
формулами численного дифференцирования.
Имеем:
>
>,
(3.7)
>
>,
(3.8)
>
>,
(3.9)
>
>
(3.10)
Назовем
некоторую совокупность узлов, привлекаемых
для замены задачи >> в
узле >>,
разностной схемой
>
>, шаблоном.
Наиболее употребительные шаблоны
изображены на рис. 3:
Рис. 3. Явный и неявный шаблоны
Рассмотрим явный двухслойный шаблон. Для него
>
>(3.11)
Здесь мы воспользовались формулами (3.7) и (3.10) и обозначили
>
>.
Введем обозначение
>
>
(3.12)
Теперь на
основании формул (3.11), (3.12) можно записать
разностную схему для задачи >
>:
>
>,
(3.13)
где разностный
оператор >
>определяется
по правилу
>
>
Аналогично, если использовать неявный двухслойный шаблон, можно получить такую разностную схему:
>
>,
(3.14)
где
>
>
>>
На основании формул (3.11) и (3.13) можно записать
>
>,
где >
>
Аналогично, используя (3.11), (3.10), (3.14), получим
>
>,
>
>.
Выясним
порядок аппроксимации разностных схем
(3.13) и (3.14). В качестве
>
>
возьмем линейное множество всех пар
ограниченных функций
>
>.
Норму
в
>
> определим
правилом
>
>
Пусть >
>,
где r
и s –
некоторые положительные числа.
Предположим,
что для >
>
и >
>
верны оценки
>
>,
>
>.
Тогда легко получить
>
>,
(3.15)
>
>.
(3.16)
Для параболических уравнений, как мы увидим далее, в случае схемы (3.13) можно взять S=2, а в случае схемы (3.14) можно взять S=1.
Из формул
(3.15), (3.16) следует, что разностные схемы
(3.13), (3.14) аппроксимируют задачу >
> с
погрешностью порядка S
относительно
h.
Разностная
схема (3.13) позволяет по значениям решения
на нулевом слое, то есть по значениям >
>
вычислить значения на первом слое
>
> . Для
этого достаточно в (3.13) положить n =
0 и
произвести вычисления,
носящие рекурсионный характер.
Потом по значениям >
> можно
аналогично при n = 1
вычислить значения >
> и
т.д. В силу этого разностную схему (3.13)
называют явной.
Разностная
схема (3.14) такими свойствами не обладает.
Действительно, если мы в (3.14) положим n = 0,
то в левой части полученной формулы
будет линейная комбинация из значений >
>,
в правой части будут значения известной
функции >
> и
>
>.
Для вычисления значений на первом слое
>
>
в этом случае необходимо решать
бесконечную систему линейных уравнений.
По этой причине схему (3.14) называют
неявной.
2. Устойчивость двухслойных разностных схем
Определим
норму в пространстве
>
>
по правилу
>
>.
Рассмотрим
явную разностную схему (3.13). Выясним,
при каких значениях r,
>
>
возможна устойчивость этой схемы.
Для доказательства устойчивости надо показать, что разностная схема однозначно разрешима и при любых
>>, >
>
имеет место
оценка >
>,
где
М –
постоянная, не зависящая от >
>
и >
>
и
>
>.
Разностная схема (3.13) – явная, и поэтому ее однозначная разрешимость очевидна.
Перепишем
формулу >
>
в виде
>
>,
>
>,
(3.17)
>
>.
Пусть выполнено условие
>
>
или >
>.
(3.18)
Тогда из (3.17) получим:
>
>,
или
>
>.
(3.19)
Неравенство
(3.19) означает, что при >
>, >
> не
превосходит >
>,
то
есть
>
>
не
возрастает
с увеличением n.
Это свойство
однородной разностной схемы принято
называть
принципом
максимума.
Положим в (3.19) >
>.
Это даст
>
>,
>
>,
>
>.
Заметим,
что >
> есть
число, независящее от m и
n.
Просуммировав последние неравенства
и, учитывая, что >>,
получим
>
>
(3.20)
где обозначено
>
>
На основании (3.20) можно записать
>
>
или >
>.
Таким образом,
разностная схема (3.13) при выполнении
условия (3.18), налагаемого на
>
> и h,
устойчива. Условие (3.18) весьма жестко,
ибо из него следует, что
>
>.
(3.21)
Это приводит
к тому, что если мы желаем сохранить
устойчивость, то при вычислениях по
схеме (3.13) шаг по времени
>
> приходится
выбирать очень малым.
Обратимся теперь к разностной схеме (3.14), соответствующей шаблону, изображенному на рис. 4,
Рис. 4. Неявный двухслойный шаблон
и перепишем ее в виде
>
>
(3.22)
Посмотрим,
какие надо проделать вычисления, чтобы,
используя формулы (3.22), можно было
вычислить, например, значения >> на
первом временном слое со значениями >
> на
нулевом временном слое. Положив в
формулах (3.22) n=0,
получим:
>
>
(3.23)
Формулы
(3.23) представляют собой бесконечную
систему линейных уравнений относительно
неизвестных >
> .
Решение таких
систем является сложной и трудоемкой
задачей, поэтому разностные схемы (3.14)
неудобны для задач Коши на бесконечных
отрезках и применяется редко. Однако
если отрезок оси x,
на котором рассматривается задача Коши,
конечен, то есть >
>,
а на прямых x=a
и x=b
дополнительно заданы некоторые
ограничения на решение >>,
то разностные схемы вида (3.14) оказываются
весьма эффективными. В
частности, можно показать, что такие
схемы являются абсолютно устойчивыми,
то есть устойчивыми при любых значениях
>
>.
Если, например,
на отрезках прямых x=a и x=b,
заданы условия >
>, >
>,
то вид системы (3.23) существенно изменится:
>
>
(3.24)
Формулы
(3.24) представляют собой систему M+1
алгебраических уравнений относительно
>
>.
Матрица этой системы трехдиагональна и
ее можно решить методом прогонки. Отсюда
ясно, что реализация неявных разностных
схем требует больших вычислительных
затрат для вычисления решения на одном
временном слое, но таких слоев может
быть немного из-за того, что в этом случае
отсутствуют ограничения на соотношение >
>.
Если пользоваться явной разностной
схемой, то вычисление решения на следующем
слое осуществляется по рекурсионному
правилу
и связано с минимальными вычислительными
затратами, однако из-за ограничения
>
>
число временных слоев в случае явных схем может быть существенно большим по сравнению с числом временных слоев для неявных схем.
Рассмотрим
теперь вопрос о сходимости схемы (3.13).
Эта схема аппроксимирует задачу (3.5),
(3.6) с погрешностью порядка >
> и
устойчива при
>
>.
Поэтому схема (3.13),
по теореме об аппроксимации и устойчивости,
будет сходящейся. При этом погрешность
для приближенного решения будет величиной
порядка >
>.