Решение экономических задач
Задание 1
Предприятию для изготовления наборов елочных украшений необходимо изготовить их составные части - шар, колокольчик, мишура. Эти данные представлены в таблице:
|
Наименование составных частей |
Виды наборов |
|||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
Шар |
5 |
6 |
8 |
10 |
|
Колокольчик |
3 |
4 |
6 |
0 |
|
Мишура |
0 |
3 |
5 |
8 |
В свою очередь для изготовления этих составных частей необходимы три вида сырья - стекло (в г), папье-маше (в г), фольга (в г), потребности в котором отражены в следующей таблице
|
Вид сырья |
Составные элементы |
||
|
Шар |
Колокольчик |
Мишура |
|
|
Стекло |
5 |
0 |
0 |
|
Папье-маше |
0 |
4 |
0 |
|
Фольга |
3 |
0 |
75 |
Требуется:
1) определить потребности в сырье для выполнения плана по изготовлению комплектов первого, второго, третьего и четвертого вида в количестве соответственно x>1>, x>2,> x>3 >и x>4 >штук;
2) провести подсчеты для значений x>1 >= 500, x>2> = 400, x>3 >= 300 и x>4>=200.
Решение: составим условия для определения числа деталей в зависимости от числа и вида наборов. Пусть n>1>, n>2> и n>3> - число шаров, колокольчиков и мишуры, соответственно.
Тогда условия будут выглядеть следующим образом:
n>1> = 5x>1> + 6x>2> + 8x>3> + 10x>4>
n>2> = 3x>1> + 4x>2> + 6x>3>
n>3> = 3x>2> + 5x>3> + 8x>4>
Составим условия определяющие потребности в сырье в зависимости от вида деталей. Пусть y>1>, y>2> и y>3> - потребности в стекле, папье-маше и фольге, соответственно:
y>1> = 5n>1>
y>2> = 4n>2>
y>3> = 3n>1> + 75n>3>
Теперь подставим вместо n>i> - полученные ранее равенства.
y>1> = 5· (5x>1> + 6x>2> + 8x>3> + 10x>4>) = 25x>1> + 30x>2> + 40x>3> + 50x>4>
y>2> = 4· (3x>1> + 4x>2> + 6x>3>) = 12x>1> + 16x>2> + 24x>3>
y>3> = 3· (5x>1> + 6x>2> + 8x>3> + 10x>4>) + 75· (3x>2> + 5x>3> + 8x>4>) = 15x>1> + 243x>2> + 399x>3> + 630x>4>
Проведем подсчеты для значений
x>1 >= 500, x>2> = 400, x>3 >= 300 и x>4>=200.
y>1> = 25 * 500 + 30 * 400 + 40 * 300 + 50 * 200 = 46500 г.
y>2> = 12 * 500 + 16 * 400 + 24 * 300 = 19600 г.
y>3> = 15 * 500 + 243 * 400 + 399 * 300 + 630 * 200 = 350400 г.
Задание 2
Пусть a>ij>> - >количество продукции j, произведенной предприятием i, а b>i>> - >стоимость всей продукции предприятия i исследуемой отрасли. Значения a>ij> и b>i>> >заданы матрицами A и В соответственно. Требуется определить цену единицы продукции каждого вида, производимой предприятиями отрасли. В ходе выполнения задания необходимо составить систему уравнений, соответствующую условиям, и решить ее тремя способами (матричный метод, метод Крамера, метод Гаусса).
,
Решение:
Составим систему уравнений:
Матричное уравнение выглядит следующим образом:
A · X = B
Домножим слева каждую из частей уравнения на матрицу A-1
A-1 · A · X = A-1 · B; E · X = A-1 · B; X = A-1 · B
Найдем обратную матрицу A-1
Δ = 12 * 9 * 1 + 6 * 8 * 10 + 15 * 5 * 11 - 15 * 9 * 8 - 6 * 5 * 1 - 12 * 10 * 11 = - 1017
;
=
X
=·
=
=
Решим систему методом Крамера
Δ = - 1017
Δ>1> =
=
231 * 9 * 1 + 238 * 8 * 10 + 216 * 5 * 11 - 216 * 9 * 8 - 238 * 5 * 1
- - 231 * 10 * 11 = - 9153
Δ>2> =
=
12 * 238 * 1 + 6 * 8 * 216 + 15 * 231 * 11 - 15 * 238 * 8 - 6 * 231 *
1 - 12 * 216 * 11 = - 7119
Δ>3> =
=
12 * 9 * 216 + 6 * 231 * 10 + 15 * 5 * 238 - 15 * 9 * 231 - 6 * 5 *
216 - 12 * 10 * 238 = - 11187
x>1> = Δ>1/>Δ = - 9153/ (- 1017) = 9
x>2> = Δ>2/>Δ = - 7119/ (- 1017) = 7
x>3> = Δ>3/>Δ = - 11187/ (- 1017) = 11
Решим систему методом Гаусса
=>
=>
=>
=>
=>
=
>
Задание 3
Найти частные производные первого и второго порядков заданной функции:
Решение:
Задание 4
Задана функция
спроса
,
где p>1>, p>2>
- цены на первый и второй товары
соответственно. Основываясь на свойствах
функции спроса, определить: какой товар
является исследуемым, а какой альтернативным
и эластичность спроса по ценам исследуемого
и альтернативного товаров. В процессе
решения отметить, какими являются данные
товары - взаимозаменяемыми или
взаимодополняемыми.
Решение: эластичность спроса по цене равна первой производной от функции спроса:
эластичность отрицательная, следовательно, первый товар - исследуемый.
эластичность положительная, следовательно, второй товар - альтернативный.
Товары являются товарами заменителями, т.к рост цен на альтернативный товар приводит к росту спроса.
Задание 5
В таблице приведены данные о товарообороте магазина за прошедший год (по месяцам). Провести выравнивание данных по прямой с помощью метода наименьших квадратов.
Воспользовавшись найденным уравнением прямой, сделать прогноз о величине товарооборота через полгода и год. Сопроводить задачу чертежом, на котором необходимо построить ломаную эмпирических данных и полученную прямую.
Проанализировав чертеж, сделайте выводы.
|
Месяц |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
Товарооборот, (тыс. р) |
18 |
5,6 |
30,5 |
59,3 |
59,3 |
42 |
96,4 |
72,6 |
56,8 |
52 |
38,6 |
33 |
Решение:
Рассчитаем параметры уравнения линейной парной регрессии.
Для расчета параметров a и b уравнения линейной регрессии у = а + bx решим систему нормальных уравнений относительно а и b (она вытекает из метода наименьших квадратов):
По исходным данным рассчитываем х, у, ух, х2, у2.
|
t |
y |
x |
yx |
x2 |
y2 |
|
|
1 |
18,0 |
1 |
18 |
1 |
324,00 |
33,662 |
|
2 |
5,6 |
2 |
11,2 |
4 |
31,36 |
36,089 |
|
3 |
30,5 |
3 |
91,5 |
9 |
930,25 |
38,516 |
|
4 |
59,3 |
4 |
237,2 |
16 |
3516,49 |
40,943 |
|
5 |
59,3 |
5 |
296,5 |
25 |
3516,49 |
43,37 |
|
6 |
42,0 |
6 |
252 |
36 |
1764,00 |
45,797 |
|
7 |
96,4 |
7 |
674,8 |
49 |
9292,96 |
48,224 |
|
8 |
72,6 |
8 |
580,8 |
64 |
5270,76 |
50,651 |
|
9 |
56,8 |
9 |
511,2 |
81 |
3226,24 |
53,078 |
|
10 |
52,0 |
10 |
520 |
100 |
2704,00 |
55,505 |
|
11 |
38,6 |
11 |
424,6 |
121 |
1489,96 |
57,932 |
|
12 |
33,0 |
12 |
396 |
144 |
1089,00 |
60,359 |
|
Итого |
564,1 |
78 |
4013,8 |
650 |
33155,51 |
564,13 |
;
;
;
;
Уравнение регрессии:
=
31,235 + 2,427 · х
Рассчитаем
по данному уравнению значения для
и запишем их в дополнительный столбец
исходных данных.
Найдем прогноз на полгода вперед:
=
31,235 + 2,427 * 18 = 74,921 тыс. руб.
Найдем прогноз на год вперед:
=
31,235 + 2,427 * 24 = 89,483 тыс. руб.
Полученные графики говорят о плохом отражении исходных данных уравнением прямой. Возможно это связанно с наличием сезонности в товарообороте. Тогда прямая линия является уравнением тренда.
Задание 6
Исследовать на экстремум следующую функцию:
;
Решение:
Найдем первые частные производные и определим точки потенциальных экстремумов.
=
4x3 + 2xy2; 4x3
+ 2xy2 = 0; 2x (2x2
+ y2);
2x = 0 или (2x2 + y2) = 0; точка (0, 0)
=
4y3 +
2x2y;
4y3 +
2x2y =
0; 2y (x2
+ 2y2);
2y = 0 или (x2 + 2y2) = 0; точка (0, 0)
Найдем вторые производные и их значения в точке (0; 0)
=
12x2 +
2y2;
12 * 02
+ 2 * 02
= 0 = А
=
2xy; 2 * 0 * 0 = 0 = B
=
12y2 +
2x2;
12 * 02
+ 2 * 02
= 0 = C
Δ = AC - B2 = 0
Следовательно, вопрос об экстремуме остается открытым.
Точка (0; 0) возможный экстремум функции.
Задача 7
Пусть функция полезности задана как
где x и y - количество товаров А и В, приобретаемых потребителем, а значения функции полезности численно выражают меру удовлетворения покупателя. При данной стоимости единицы товаров А и В, общая сумма, выделяемая покупателем на их покупку, составляет 140 рублей. При каком количестве товаров А и В полезность для потребителя максимальна. А = 21, В = 37.
Решение: полезность максимальна при равенстве первых производных:
=
;
=
;
=
;
=
Ограничение стоимости задается неравенством 21x + 37y ≤ 140
Составим систему.
;
;
;
Максимальная полезность будет достигнута при потреблении 2,14 ед. А и 2,57 ед.в.
Задание 8
Заданы функции
спроса и предложения в зависимости от
количества товара Q:
и
.
Под функциями спроса и предложения
будем понимать функциональную зависимость
цены от количества товара на рынке.
Определить излишки потребителя и излишки
производителя при равновесном состоянии
спроса и предложения.
и
,
Решение: найдем равновесное состояние спроса и предложения:
D (Q)
= S (Q);
=
;
;
-
t2
- 6t + 300 = 0
t>1> = - 25,12 и t>2> = 16,72, t>1> - не удовлетворяет условию
;
Q = 279,56 ед.
При этом цена составит: Р = 6 * 16,72 = 100,32 ден. ед.
Излишки потребителя равны площади фигуры ограниченной сверху кривой спроса, снизу равновесной ценой и слева нулевым выпуском. Найдем излишки потребителя:
S>потр> =
-
100,32 · 279,56 =
-
28045,46 =
= 300 * 279,56 - 5/14 * 279,56 - 28045,46 = 55722,7
Излишки производителя равны площади фигуры ограниченной сверху равновесной ценой, слева нулевым выпуском и снизу кривой предложения. Найдем излишки производителя:
S>произв>
= 100,32 · 279,56 -
= 28045,46 -
=
= 28045,46 - 4 * 16,723 = 9348,6
Литература
Н.Ш. Кремер. Высшая математика для экономистов. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.
Н.Ш. Кремер. Практикум по высшей математике для экономистов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.
И.А. Зайцев. Высшая математика. - М.: Высшая школа, 1998.
Математический анализ и линейная алгебра. Учебное методическое пособие. Под ред. Н.Ш. Кремера. - ВЗФЭИ, 2006.