Математический анализ (работа 6)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ХПИ»

Кафедра «Вычислительной техники и програмирования»

Расчётно–графическое задание

по курсу «Теория алгоритмов и вычислительные методы»

Харьков – 2005

Исходные данные:

Вариант №

y>0>

y>1>

y>2>

y>3>

y>4>

y>5>

h

x>0>

64

-0.02

0.604

0.292

-0.512

-1.284

-2.04

0.5

0.3

Задача 1

Исходные данные вводятся в ЭВМ как абсолютно точные числа и представляются в ней в виде чисел с плавающей точкой с относительной погрешностью в одну миллионную. Введенные данные x>0> и y>0> служат основой формирования двух векторов x=(x>0>, x>1>, …, x>n>) и y=(y>0>, y>1>, …, y>n>) по рекуррентным формулам:


Вычислить скалярное произведение с := (x, y) по алгоритму:

с := 0; i := 0;

while i < n + 1 do c := c + x>i> · y>i>;

и оценить аналитически и численно инструментальную абсолютную и относительную погрешности.

Решение

Поскольку данные представляются в ЭВМ в виде чисел с плавающей точкой с относительной погрешностью, то

x>0> = x>0>(1+δ)

y>0> = y>0>(1+δ)

C>0> = x>0>y>0>(1+δ)



П
ри i = 1

При i = 2

x>2> = x>0>3(1+δ)5

y>2> = y>0>(1+δ)3

C>2> = x>0>y>0>(1+δ)5 + x>0>2(1+δ)7 + x>0>3y>0>(1+δ)10

При i = 3

x>3> = x>0>4(1+δ)7

y>3> = (1+δ)5

C>3> = x>0>y>0>(1+δ)6 + x>0>2(1+δ)8 + x>0>3y>0>(1+δ)11 + x>0>4(1+δ)14

При i = 4

x>4> = x>0>5(1+δ)9

y>4> = y>0>(1+δ)7

C>4> = x>0>y>0>(1+δ)7 + x>0>2(1+δ)9 + x>0>3y>0>(1+δ)12 + x>0>4(1+δ)15 + x>0>5y>0>(1+δ)18



Выявим закономерность изменения C>i>:

При расчете C>n> без учета погрешности исходных данных и погрешности вычисления, получим

Обозначим эту сумму как S>1>.

Тогда абсолютная погрешность S>2>



а относительная погрешность



Оценим инструментально относительную и абсолютные погрешности при n = 10

S>1> = 0.0923071

S>2> = 1.45914·10-6

S>3> = 1.58075·10-5

Задача 2

Для функции g(x), заданной своими значениями в шести точках, составить таблицу всех повторных разностей. Преобразовать функцию g(x) с помощью линейного преобразования x = a + b * k в функцию G(k) с целочисленным аргументом k. В качестве проверки правильности заполнения таблицы вычислить аналитически конечную разность Δng(x) = ΔnG(k) для n = 5.

Решение

Составим таблицу всех повторных разностей:

k

x

y

Δy

Δ2y

Δ3y

Δ4y

Δ5y

0

0.3

0.02

-1.576

0.044

-0.136

0.66

-0.54

1

1.1

-1.556

-1.532

-0.092

0.524

0.12

—

2

1.9

-3.088

-1.624

0.432

0.644

—

—

3

2.7

-4.712

-1.192

1.076

—

—

—

4

3.5

-5.904

-0.116

—

—

—

—

5

4.3

-6.02

—

—

—

—

—



Найдем формулу перехода от x к k:

В
ыполним проверку, вычислив аналитически конечную разность

Δng(x)= ΔnG(k) для n = 5:

Конечные разности, вычисленные аналитически и таблично Δng(x) = ΔnG(k) для n = 5 совпали, следовательно, таблица повторных разностей составлена верно.

Задача 3

Таблично заданную функцию G(k) с целочисленным аргументом представить в виде разложения по факториальным многочленам (z(n) = z · (z-1) · (z-2) · … · (z - n + 1)) и преобразовать его в степенные многочлены G(z) и G(x).

Решение

Представим функцию G(k) в виде разложения по факториальным многочленам:



Преобразуем функцию G(k) в степенной многочлен G(z):

Выполним проверку при k = 1:



0.604=0.604

Так как результаты совпали, значит степенной многочлен G(z) представлен правильно.

Преобразуем функцию G(k) в степенной многочлен G(x). Зная, что получим:





Проверим вычисления при x = 0.8:



0.6045128 ≈ 0.604

Так как результаты совпали, то вычисления сделаны верно.

Задача 4

Вывести аналитическое выражение суммы для функции целочисленного аргумента G(z). Проверить правильность вычисления полученного выражения прямым суммированием табличных значений G(k), k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 (m = 5).

Решение.

Для вычисления значения суммы используем функцию G(z) в виде разложения по факториальным многочленам, полученным в задаче 3:



г
де

Для проверки, просуммируем значения G(k) из таблицы:

-0.02 + 0.604 + 0.292 - 0.512 - 1.284 - 2.04 = - 2.96

- 2.96 = - 2.96

Так как результаты вычисления аналитического выражения и суммы табличных значений G(k) совпали, значит аналитическое выражение для суммы выведено правильно.

Задача 5

Составить таблицу упорядоченных разделенных разностей для g(x). Проверить правильность таблицы для разделенной разности [x>0>; x>1>; x>2>; x>3>] по формуле ее аналитического представления.

Решение

Составим таблицу упорядоченных разделенных разностей для g(x):

x>i>

g(x>i>)

[x>i>; x>i>>+1>]

[x>i>; x>i>>+1>; x>i>>+2>]

[x>i>; x>i>>+1>; x>i>>+2>; x>i>>+3>]

[x>i>; x>i>>+1>; x>i>>+2>; x>i>>+3>; x>i>>+4>]

[x>i>; x>i>>+1>; x>i>>+2>; x>i>>+3>; x>i>>+4>;x>i>>+5>]

0.3

-0.02

1.248

-1.872

0.592

0.0533333

-0.1567999

0.8

0.604

-0.624

-0.984

0.6986666

-0.3386666

—

1.3

0.292

-1.608

0.064

-0.0213333

—

—

1.8

-0.512

-1.544

0.032

—

—

—

2.3

-1.284

-1.512

—

—

—

—

2.8

-2.04

—

—

—

—

—

Для проверки правильности заполнения таблицы разделенных разностей, вычислим разделенную разность пятого порядка по формуле ее аналитического представления:

Так как результаты вычислений совпали, значит, таблица разделенных разностей составлена правильно.

Задача 6

Получить интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона, проходящие через первые четыре точки таблично заданной функции G(x), и сравнить их степенные представления.

Решение

Для нахождения интерполяционного многочлена Лагранжа используем формулу

где n = 3.

Проведем проверку вычислений, подставив x=0.8 в интерполяционный многочлен Лагранжа, получим y>1>=0.604

Интерполяционный многочлен Ньютона находится по формуле:

l>n>(x) = g>0> + (x-x>0>)[x>0>;x>1>] + (x-x>0>)(x-x>1>)[x>0>;x>1>;x>2>] + … +

+(x-x>0>)(x-x>1>)∙ …∙(x-x>n-1>)[x>0>;x>1>;x>2>;…;x>n>]

П
одставив в формулу g>i> и x>i >получим:

Интерполяционные многочлены Ньютона и Лагранжа совпадают.

Проведем проверку вычислений, подставив x=0.8 в интерполяционный многочлен Ньютона, получим y>1>=0.604



Задача 7.

Вывести выражения для вычисления второй производной в точке x=x>3> в виде функций:



где ∆ng(0) и g(x>n>) для n = 0,1,…,5 соответственно значения разностей в точке x = x>0> и ординаты g(x>n>) = g>n> из задачи N2. Значения производной вычисленные по выведенным формулам, сравнить с вычисленным значением производной, найденной путем дифференцирования интерполяционного многочлена G(x):

Решение

Для вычисления производной воспользуемся оператором д
ифференцирования:




Выражение для вычисления производной в точке x>0> имеет вид:

Для того, чтобы преобразовать его к выражению для вычисления производной в точке x>3>, применим оператор сдвига:




Д
ля того, чтобы перейти от функции к функции воспользуемся формулой:

П
олучим выражения для ∆2y>0>:

∆5y>0 >= -y>0> + 5y>1> – 10y>2> + 10y>3> – 5y>4> + y>5>

∆4y>0 >= y>0> - 4y>1> + 6y>2> - 4y>3> + y>4>

∆3y>0 >= -y>0> + 3y>1> – 3y>2> + y>3>

∆2y>0 >= y>0> - 2y>1> + y>2>




Подставим эти значения в функцию:

Сравним это значение с вычисленным значением производной путем дифференцирования интерполяционного многочлена G(x):

при x>3> = 1.8




Значения производной равны, следовательно, вычисления сделаны верно.

Задача 8

Методом наименьших квадратов для таблично заданной g(x) получить аппроксимирующие степенные полиномы нулевой, первой, второй и третьей степеней (P>i>(x), i = 0, 1, 2, 3) и изобразить их на одном графике.

Решение.

Составим таблицу степеней x и xy

i

x

y

x2

x3

x4

x5

x6

xy

x2y

x3y

1

0.3

-0.02

0.09

0.027

0.0081

0.00243

0.000728999

-0.006

-0.0018

-0.00054

1

0.8

0.604

0.64

0.512

0.4096

0.32768

0.262144

0.4832

0.38656

0.309247

1

1.3

0.292

1.69

2.197

2.8561

3.71293

4.8268

0.3796

0.493479

0.641523

1

1.8

-0.512

3.24

5.832

10.4976

18.8956

34.0122

-0.9216

-1.65888

-2.98598

1

2.3

-1.284

5.29

12.167

27.9840

64.3634

148.035

-2.9532

-6.79236

-15.6224

1

2.8

-2.04

7.84

21.952

61.4656

172.103

481.89

-5.712

-15.9936

-44.782

6

9.3

-2.96

18.79

42.687

103.22

259.405

669.026

-8.73

-23.5666

-62.4401



Составим системы уравнений:

Откуда a>0> = -0.93621; a>1> = 3.89576; a>2> = -2.8954; a>3> = 0.488001

А
ппроксимирующий степенной полином 3-й степени имеет вид:

P>3>(x) = -0.93621 + 3.89576x – 2.8954x2 + 0.488001x3

Откуда a>0> = -0.0710314; a>1> = 0.989486; a>2> = -0.624589;

Аппроксимирующий степенной полином 2-й степени имеет вид:



P>2>(x) = -0.0710314 + 0.989486x – 0.624589x2

Откуда a>0> = 0.974118; a>1> = -0.946742;

Аппроксимирующий степенной полином 1-й степени имеет вид:

P>1>(x) = 0.974118 – 0.946742x

6a>0> = -2.96

Откуда a>0> = -0.493333;

Аппроксимирующий степенной полином 0-й степени имеет вид:

P>0>(x) = -0.0493333

И
зобразим полученные полиномы на графике:

Задача 9

Для аппроксимирующего полинома третьей степени P>3>(x) получить аналитические выражения ΔnP>3>(x), n = 0, 1, 2, 3, 4 и все конечно-разностные разностные кривые изобразить на одном графике.



Решение

Обозначим на графике все конечно-разностные кривые:


P>3>(x)

ΔP>3>(x)

Δ2P>3>(x)


Δ3P>3>(x)

Δ4P>3>(x)


Задача 10

Вывести квадратурные формулы для вычисления определенных интегралов с пределами [0, 1] и [-1, 1] от подынтегральных функций f(t), принадлежащих классу степенных многочленов степеней 0, 1, 2, 3. Вывод проделать для трех случаев использование в квадратурных формулах численных значений подынтегральных функций:

в
) заданы значения функции в точках, обеспечивающих получение формул наивысшей алгебраической степени точности.

Решение

Значение определенного интеграла найдем, исходя из формулы:



где w>1>, w>2> — некоторые коэффициенты

t

>1>, t>2 >—> >точки, плавающие внутри интервала интегрирования.

С

оставим систему уравнений

w(t) = (t-t>1>)(t-t>2>) = C>0> + C>1>t + C>2>t2 = 0

C>2> = 1



Домножив уравнения на соответствующие коэффициенты получим:

2C>0> + 2/3 = w>1> (C>0> + C>1>t>1> + t>1>2) + w>2> (C>0> + C>1>t>1> + t>2>2)

2C>0>+ 2/3 = 0

C>0> = -1/3

П

одставляя полученные значения в первую систему, получим:

Квадратурная формула:

Задача 11

С помощью квадратурных формул, полученных в задаче 10, вычислить определенный интеграл от степенного представления интерполяционного многочлена Лагранжа (Ньютона), полученного в задаче № 6 в пределах от x>0> до x>0> +3h, и сравнить его с аналитически вычисленным значением определенного интеграла по первообразным многочлена.

Решение

Используем степенное представление интерполяционного многочлена Лагранжа из задачи 6

Для перехода к интегралу с канонической формой используем линейное преобразование: x = α + βt.

Составим систему уравнений:

Подставив x = 1.05 + 0.75t, получим многочлен Лагранжа от переменной t:

L
(t) = 0.24975t3 - 0.80325t2 - 0.49575t + 0.537253



Учитывая, что dx = βdt, получим:

Применим квадратурную формулу, полученную в задаче №10

Д
ля сравнения вычислим аналитически значение интеграла:

Так как результаты совпали, значит, вычисления произведены верно.

Задача 12

Оценить погрешность определенного интеграла от функции sin(x) в пределах [0,2/3π] по квадратурной формуле наивысшей алгебраической степени точности, полученной в задаче № 10в, по сравнению с аналитически точным. Проделать то же самое над усеченным степенным рядом, представляющим sin(x), в который x входит со степенью не выше третьей.

Решение

П
ерейдем от пределов [0,2/3 π] к пределу [-1,1]: для этого воспользуемся линейным преобразованием x= α + βt . Составить систему



Учитывая, что dx = βdt, получим:



Применим квадратурную формулу:

Вычислим аналитически:

Найдем погрешность вычисления:

Проделаем те же операции над усеченным степенным рядом, представляющем sin(x):



Перейдем от пределов [0; 2π/3] к пределам [-1; 1], для этого используем линейное преобразование x = α +βt. Составим систему уравнений:

Учитывая, что dx = βdt, получим

П
рименим квадратурную формулу, получим

Н
айдем погрешность вычисления

Задача 14

Степенными полиномами Чебышева T>i> относительно переменной x (|x| < 1) являются решениями линейного разностного уравнения второго порядка:

T>i+2> - 2x T>i+1> + T>i> = 0,

с начальными условиями T>0> = 1 и T>1> = x.

Найти аналитическое выражение и вычислить значения полинома Чебышева i-й степени, если и i = 4. Проверить вычисления непосредственно по заданной рекуррентной формуле. Найти положение нулей и экстремумов у многочленов Чебышева в общем виде и для заданных выше x и i. Оценить модуль максимально возможного значения полинома в точках экстремумов.

Р
ешение.

Исходя из того, что

x>i> = |y>i>| надо найти T>4> т.е. для i = 4

Из T>i>>+2> - 2xT>i>>+1> + T>i> = 0 следует, что

T>2> = 2xT>1> - T>0>

T>3> = 2xT>2> - T>1> = 2x(2xT>1> - T>0>) - T>1>

T>4> = 2xT>3> - T>2> = 2x(2x(2xT>1> - T>0>) - T>1>) - 2xT>1> + T>0> = 8x3T>1> - 4x2T>0> - 4xT>1> + T>0>

Подставим значение T>0> = 1 и T>1> = x

T>4> = 8x4 - 4x2 - 4x2 + 1 = 8x4 - 8x2 + 1

Найдем значения x:



T>4> = 0.99980

Проверим по заданной рекуррентной формуле:

T>2> = 2·0.00490·0.00490 - 1 = -0.9999

T>3> = 2·0.00490·(-0.9999) - 0.00490 = -0.01469

T>4> = 2·0.00490·(-0.01469) + 0.9999 = 0.99980

Нули функции находятся, как решения биквадратного уравнения:

8x4 - 8x2 + 1 = 0, где

x>1> = 0.9238795

x>2> = -0.9238795

x>3> = 0.3826834

x>4> = -0.3826834

Чтобы найти экстремумы найдем

Задача 16

Выравнивание по всей длине с течением времени температуры T(x, t) на тонком однородном хорошо теплоизолированном стержне описывается дифференциальным уравнением в частных производных с начальным распределением температуры (в градусах Цельсия) по длине стержня в 6 равномерно расположенных с шагом h точках.

T(x>0>, 0) = T>0>, T(x>1>, 0) = T>1>, …, T(x>5>, 0) = T>5>; (T>i> = 100·y>i> ˚C).

На концах стержня в точках x>-1> и x>6> удерживается нулевая температура.

Применяя конечно-разностное представление производных по пространственной переменной x, свести уравнение в частных производных к системе дифференциальных уравнений в обыкновенных производных относительно температуры T.

Р
ешение.

Получаем систему диф. уравнений:

Учитывая начальные условия, получим систему уравнений:

Задача 17.

Используя метод Ньютона-Рафсона, найти с относительной погрешностью в одну миллионную нуль многочлена Чебышева T>i>(x), полученного в задаче 14. В качестве начального приближения к корню взять

В качестве x>i> берутся |y>i>| из таблицы исходных данных.

Решение.

Из задачи 14 возьмем полином Чебышева T>4> = 8x4 - 8x2 + 1. В качестве начального приближения к корню возьмем x>нач>, вычисленное по формуле

Т.к. 8x4 - 8x2 + 1 = 0, то можем сказать, что f(x>нач> + α) = 0



Воспользуемся DERIVE для нахождения корня с необходимой точностью:

получим такие значения: 0.38234, 0.382689, 0.382683, 0.382683, 0.382683.

На третьей итерации получаются значения корня с нужной точностью.

Задача 19

Скорость изменения переменной x(t) во времени равна функции от этой переменной f(x). Найти аналитическое выражение последней от времени, начиная с t = 0, если в начальный момент x(0) = 0. В качестве f(x) взять степенной многочлен P>2>(x), полученный в задаче 8. Протабулировать полученное решение с шагом h = 0.1 в интервале [0, 0.5].

Решение

P>2>(x) = -0.0710314 + 0.989486x – 0.624589x2
= f(x)

Исходя из начальных условий, т.к. dx/dt = f(x), имеем

Т.к. x = F(t), то:

Протабулируем x(t) на интервале [0; 0.5] c шагом h = 0.1:

t = 0 x = 0

t = 0.1 x = -0.0622648

t = 0.2 x = -0.137833

t = 0.3 x = -0.230872

t = 0.4 x = -0.347464

t = 0.5 x = -0.496850

Задача 20

Методом Эйлера в интервале [0, 0.5] с шагом h = 0.1 получить решение нелинейного дифференциального уравнения:

dx/dt = a + bx + cx2,

x(0) = 0

Коэффициенты a, b, c взять из P>2>(x), полученного в задаче 8.

Решение

y
= P>2>(x)

P>2>(x) = -0.0710314 + 0.989486x – 0.624589x2

Общая формула для решения

x = x>0 >+ h·P>2>(x>0>, t>0>)

x>1> = 0 + 0.5· (-0.0710314) = -0.0355156

x>2> = -0.0355156 + 0.5·(-0.0710314 + 0.989486 (-0.0355156)1 –

-0.624589· (-0.03551562) = -0.053854

x>3> = -0.053854 + 0.5· (-0.0710314 + 0.989486 (-0.053854)1 –

- 0.624589 (-0.053854)2) = -0.0636315

x>4> = -0.0636315 + 0.5· (-0.0710314 + 0.989486 (-0.0636315)1 –

-0.624589 (-0.0636315)2) = -0.0689304

x>5> = -0.0689304 + 0.5 (-0.0710314 + 0.989486 (-0.0689304)1 –

-0. 0.624589 (-0.0689304)2) =--0.071827

Задача 23

Проверить заданную систему из трех векторов на линейную зависимость. При обнаружении линейной зависимости поменять местами первые компоненты векторов x1,x2 и выполнить повторную проверку. Из исходных данных векторы формируются так:

x>1 >= (y>0>,y>1>,y>2>); x>2>=(y>3>,y>4>,y>5>); x>3>=(h,x>0>,0).

На базе линейно независимой системы векторов x>1>, x>2>, x>3 >методом Грама-Шмидта построить ортонормированную систему трех векторов:

y>1 >= (y>11>,y>21>,y>31>); y>2>=(y>12>,y>22>,y>32>); y>3>=(y>13>,y>23>,y>33>).

На основе полученной системы векторов сформировать квадратную матрицу T = (y>1>,y>2>, y>3>). Вычислить det(T) и получить матрицы — обратную T-1 и транспонированную T’. Найти произведение T-1 · T, T · T’. Сделать выводы о свойствах матрицы T.

Решение

Исходные векторы x>1 >= (-0.02,0.604,0.292); x>2>=(-0.512,-1.284,-2.04);

x>3>=(0.5,0.3,0).

Составим матрицу и проверим ее на линейную зависимость:

det (A·AT) = 0.23591 > 0, значит система линейно независима.

Найдем векторы v>1>, v>2>, v>3>

v>1> = x>1>

v>2> = x>2> + a>21>·v>1>

v>3> = x>3> + a>32>·v>2> + a>31>·v>1>

v>1> = (-0.02, 0.604, 0.292);

v>2> = (-0.572423, 0.54078, -1.15782);

v3 = (0.471405, 0.104651, -0.184183).

Матрица T:



det(T) = -1



Ортонормированная матрица T состоит из собственных векторов. Определитель матрицы T равен 1. Если транспонировать ортогональную матрицу то она будет равна обратной. T’ = T-1. Это значит, что если умножить T·T’ = E — получим единичную матрицу.

Задача 24

Считая числа –1, -2, -3 собственными значениями, а векторы у>1>, у>2>, у>3> из задачи 23 – собственными векторами некоторой матрицы А, найдите проекторы этой матрицы ( Р>1>, Р>2>, Р>3>), саму матрицу А и ей обратную А>-1>. Получить характеристическое уравнение матрицы А и подтвердить правильность всех промежуточных вычислений.

Решение

Найдем проекторы матрицы А:

Найдем обратную матрицу А-1:

Характеристическое уравнение матрицы А имеет вид:

-x3-6x2-11x-6=0;

Корни характеристического уравнения – собственные значения матрицы

x>1>= -1; x>2>= -2; x>3>= -3

Задача 25

Решить систему алгебраических уравнений А·x = b, где А- матрица коэффициентов из задачи 24, x = (x1, x2, x3) – векторы решения, b = (3, 2, 1) – вектор правых частей. Решение получить, используя обратную матрицу, полученную из задачи 24.

Р
ешение