Математика (работа 4)

Канашский филиал

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

По математике

Вариант 3

Студента 1 курса экономического факультета

Шифр: 04653033 Учебная группа: 53-06

Работа выслана в Чувашский госуниверситет

«____» ____________2006 г.

Передана на кафедру «Экономики и управления»

Оценка___________ «___» _____________2006г.

Преподаватель: Бычков Владимир Порфирьевич

Возвращена в деканат______________________

Математика

Вариант 3

Даны вершины А(х>1>;у>1>) ,В(х>2>;у>2>), С(х>3>;у>3>) треугольника. Требуется найти: 1)длину стороны ВС; 2)площадь треугольника; 3)уравнение стороны ВС; 4)уравнение высоты проведенной из вершины А; 5)длину высоты проведенной из вершины А; 6)уравнение биссектрисы внутреннего угла>> ;

7)угол > > в радианах с точностью до 0,01; 8)систему неравенств определяющих множество точек треугольника. Сделать чертеж.

вариант 3: А(5;-1), В(1;-4), С(-4;8).

Решение:

1)Длина стороны ВС:

> > > >;

2)Длина стороны АВ:

> > ;

Скалярное произведение векторов > >>

>>

Угол > > :

>>cos > >=>> ; > >=arcos 0,2462=75,75>>;

3) Уравнение стороны ВС:

>>

>>; > >; > >; > >; > >;

4) Уравнение высоты, проведенной из вершины А:

> >; > >;

Условие перпендикулярности двух прямых:

> >; > >;

> >; > >; > >; > >;

5) Длина высоты, проведенной из вершины А:

> >

6) > >

>> > >

>>

>>

>>

Уравнение прямой АС:

>>

>>

>> > >

Уравнение биссектрисы внутреннего угла > >:

>>

7) Угол > > в радианах с точностью до 0,01:

>>

8) Уравнение стороны ВС:

>>

Уравнение стороны АС:

>>

Уравнение стороны АВ:

>>

Система неравенств, определяющих множество внутренних точек треугольника.

>>

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

>>Задание 13.

Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(4;1) на расстоянии 4 единиц от точки В(-4;0).

Решение:

Уравнение пучка прямых, проходящих через точку А:

>>

По условию задачи > >

>>

Искомые прямые:

>>

Задание 23.

Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки F(8;0) вдвое больше, чем от прямой Х-2=0. Сделать чертеж.

Решение:

>>

По условию задачи: > >

>>

>> - уравнение гиперболы с центром в точке > > и полуосями > >

>>

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

Задание 33.

Составить уравнение параболы и ее директрисы, если известно что парабола проходит через точки пересечения прямой > > с окружностью > >и ось > >является осью симметрии параболы. Сделать чертеж.

Решение.

Рассмотрим уравнение окружности:

>>

Найдем точки пересечения окружности и прямой.

>>

Координаты точек пересечения окружности и прямой > >т.к. парабола симметрична относительно ОХ, то уравнение имеет вид > > учитывая что > > найдем параметр p

>>

Таким образом, уравнение параболы > >

Уравнение директрисы параболы: > >

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

Задание 43.

Дано уравнение параболы f(x;y)=0. Сделать параллельный перенос осей координат так, чтобы в новой системе координат XO>1>Y уравнение параболы приняло вид X2=aY или Y2=aX. Построить обе системы координат и параболу.

>>

Решение:

>>

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

Задание 53

Даны вершины А>1>>1>;Y>1>;Z>1>),. А>2>>2>;Y>2>;Z>2>), А>3>>3>;Y>3>;Z>3>), А>4>>4>;Y>4>;Z>4>)

пирамиды. Требуется найти: 1) длину ребра А>1>А>2>; 2)Угол между ребрами А>1>А>2 А>1>А>4>; 3)угол между ребром А>1>А>2> и гранью А>1>А>2> А>3>; 4) площадь грани А>1>А>2> А>3>; 5) объем пирамиды; 6) уравнение высоты, опущенной из вершины А>4> на грань А>1>А>2> А>3>; 7) уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенной из вершины А>4> на грань А>1>А>2> А>3>, и вершину А>1> пирамиды.

A>1>> >(3;5;4), А>2>(5;8;3),> > А>3>(1;9;9), A>4>(6;4;8);

Решение:

1) > >

>>

>>

Длина ребра А>1>А>2>;

>>

2) > >

>>

>>

Длина ребра А>1>А>4>;

>>

Скалярное произведение векторов А>1>А>2 А>1>А>4>:

>>

Угол между ребрами А>1>А>2 А>1>А>4>:

>>

3) Уравнение грани А>1>А>2> А>3>:

>>

>>

Угол между ребром А>1>А>2> и гранью А>1>А>2> А>3>:

>>

4)Площадь грани А>1>А>2>А>3>:

>> кв. ед.

5) Объем пирамиды:

>> куб. ед.

6) уравнение высоты, опущенной из вершины А>4> на грань А>1>А>2> А>3>:

>>

7) Уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенной из вершины А>4> на грань А>1>А>2> А>3>, и вершину А>1> пирамиды.

>>

Задание 63.

Определить вид поверхности, заданной уравнением f(x;y;z)=0, и показать её расположение относительно системы координат.

> >

Решение:

>>

Эллиптический параболоид с вершиной О(z;o;o), направленный вдоль оси ОХ, и имеющий полуоси на оси > > по оси > >

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

Задание 73.

Применяя метод исключения неизвестных, решить систему уравнений.

>>

Решение:

2

-9

-4

-3

3

-83

= >

= >

0

-47

-28

-13

7

-459

2

-7

-2

-1

-4

-57

0

-45

-26

-11

0

-433

7

-6

2

-2

0

-35

0

-139

-82

-37

-14

-1351

1

19

12

5

-2

188

1

19

12

5

-2

188

0

-47/7

-4

-13/7

1

-459/7

0

68/77

30/77

0

1

980/77

0

-45

-26

-11

0

-433

0

45/11

26/11

1

0

433/11

0

-233

-138

-63

0

-2269

0

272/11

120/11

0

0

2320/11

1

39/7

4

3/7

0

398/7

1

94/77

-190/77

0

0

481/77

0

0

0

0

1

-2900/77

0

-19/15

0

1

0

-2583/11

0

13,6

1

0

0

116

1

1574/231

0

0

0

22521/77

Общее решение системы:

>>

Задание 83.

Даны векторы > > >. Показать, что векторы > >образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора > >в этом базисе.

>>

Решение:

Составим определитель из координат векторов > > и вычислим его:

>>

Так как > >,то векторы > >составляют базис. Найдем координаты вектора > > в этом базисе:

>>

2

-10

0

-4

-42

= >

0

-20

4

-4

-88

= >

0

48

-12

252

4

-9

10

3

-43

0

-29

18

3

-135

0

-80

30

-350

2

-7

0

-1

-39

0

-17

4

-1

-85

0

17

-4

85

1

5

-2

0

23

1

5

-2

0

23

1

5

-2

23

0

-4

1

0

-21

= >

0

0

1

0

3

0

40

0

0

240

0

1

0

0

6

0

1

0

1

1

0

0

0

1

-5

1

-3

0

0

-19

1

0

0

0

-1

Итак > >

Проверка:

2(-1)-10*6 -4(-5)=-42; -42=-42;

4(-1)-9*6+10*3+3(-5)=-43; -43=-43;

2(-1)-7*6- -(-5)=-39; -39=-39;

-1+5*6-2*3 =23; 23=23.

>> или > >

Задание 93.

Дана матрица А . Требуется найти: 1) матрицу, обратную матрице А;

2) собственные значения и собственные векторы матрицы А.

> >

Решение:

-1

-2

12

1

0

0

1

2

-12

-1

0

0

0

4

3

0

1

0

0

4

3

0

1

0

0

5

6

0

0

1

0

5

6

0

0

1

1

0

-13,5

-1

-0,5

0

1

0

0

-1

-8

6

0

1

0,75

0

0,25

0

0

1

0

0

6/9

-3/9

0

0

2,29

0

-1,25

1

0

0

1

0

-5/9

4/9

Обратная матрица:

>>

Корни характеристического уравнения:

>>

>>- собственные значения матрицы А .

При > >

>>

Собственный вектор:

>>

Задание 103.

Построить график функции y=f(x) деформацией и сдвигом графика функции y=sin x.

> >

Решение:

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

Задание 113.

Найти указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя).

>> > >

>>

Решение:

>>>>

>>>>>>

>>>>>>

>>

Подстановка: > >

>>>>

>>>>

Задание 123.

Дана функция y=f(x) и три значения аргумента x>1>,x>2>,x>3>. Установить, является ли эта данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений Х. Построить (приближенно) график функции в окрестностях каждой из данных точек.

> >

Решение:

>>

>> > >

Так как > >,то функция в точке Х>1>=-1 непрерывна.

>>>>>>>>

Так как > >,то функция в точке х=3 разрывная.

>> > >

Так как > >,то функция в точке х=7 непрерывна.

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

Задание 133.

Функция y=f(x) задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Построить график.

>>

Решение:

>>

>>

Так как > >, то функция в точке х=-1 разрывна.

>>

>>

Так как > >, то функция в точке > > непрерывна.

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

Задание 143.

Найти производные > >

> >a) > > б) > > в) > >

г) > > д) > >

Решение.

а) > >

>>

б) > >

>>

в) > >

>>

г) > >

>>

д) > >

>>

Задание 153.

Найти > > для функции, заданной параметрическим.

>>

Решение.

>>

>>

>>

>>

>>

Задание 163.

На линии > > найти точку, в которой касательная к этой линии параллельна прямой > >

>>

Решение.

Угловой коэффициент прямой:

> > или > > > >

>>

Угловой коэффициент касательной к линии:

>>

Так как касательная к линии и прямая параллельны, то > >

тогда:

>>

Таким образом получаются две точки:

>>

Задание 173.

Какова должна быть высота равнобедренного треугольника, вписанного в окружность диаметра d, чтобы площадь треугольника была наибольшей?

Решение.

>>

>>

>>

>>

>>

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

Задание 183.

Исследовать методами дифференциального исчисления и построить график.

>> > >>>

Решение.

>>

1. область определения функции: > >

>>>>

так как > > то функция нечетная.

2. Точки пересечения с осями координат:

При > >при > >

>>>>

3. Область возрастания (убывания) функции, точки экстремумов:

>>

При > > функция возрастает.

При > > функция убывает.

При > > функция убывает.

При > > функция возрастает

>>

Точка > >точка максимума.

Точка > >точка минимума.

4. Область выпуклости (вогнутости) функции, точки перегибов.

>>

При > > функция выпукла;

При > > функция вогнута;

При > > функция выпукла;

При > >>> функция вогнута.

>>

>>

Точки > > - точки перегибов.

5. Асимптот нет

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

>>>>

1. область определения функции: > >

2. точки пересечения с осями координат:

При > >

> >так как > > то функция нечетная.

3. области возрастания (убывания) функции; точки экстремумов.

> >>>

Точек экстремумов нет.

Так как > > то функция возрастает.

4. область выпуклости (вогнутости) функции; точки экстремумов.

> >

При > > функция вогнута;

При > > функция выпукла;

Точка (0;0) точка перегиба.

5. асимптоты.

> >

> > асимптота.>>

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

Задание 193.

Определить количество действительных корней уравнения > >;

отделить эти корни и, применяя метод хорд и касательных, найти их приближенные значения с точностью до 0,001.

>>

Решение.

Исследуем график функции.

> >

Количество корней К=1.

> >

Таким образом, функция принимает значения на отрезке > >,в качестве начального приближения возьмем > >

метод касательных:

составим таблицу:

>>

>>

>>

>>

>>>>

>>

>>

1

2

3

-0,1

-0,398

-0,388

-0,001

-0,063

-0,586

1,499

-0,053

-0,0001

5,03

5,475

5,452

0,298

-0,0097

-0,00002

-0/3980

-0,3883

-0,3882

Искомый корень х=-03882

Задание 203.

Найти частные производные функции > >

>>

Решение.

Частные производные:

>>

>>

Задание 213.

Дана функция > > и две точки > >. Требуется:

1) вычислить приближенное значение функции у точке В, исходя из значения в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; 2) вычислить точное значение функции в точке В и оценить в процентах относительную погрешность, возникающую при замене приращения функции дифференциалом.

>>

Решение.

> >

Вычислим частные производные в точке А.

> >>>

>>

>>

Приближенное значение:

> >

Вычислим точки значения функции:

> >

Относительная погрешность вычисления:

> >

>>

Задание 223.

Даны функция > > точка > > и вектор а. Требуется найти:

1) grad z в точке А; 2)производную по направлению вектора в точке А.

>>

Решение.

1) вектором градиентом функции двух переменных > > является вектор:

> >>>

Найдем частные производные в точке А:

> >

>>

>>

2) производная по направлению вектора > >вычисляется по формуле.

> >

>> > >

Задание 233.

Найти наименьшее и наибольшее значение функции > > в замкнутой области, ограниченной заданными линиями.

>>

Решение.

Частные производные:

>>

На прямой АВ: > >\

> >>>

На прямой АС: > >

> >

На прямой ВС: > >

> > > >>>

> >

Z наибольшее =5; z наименьшее =-117.

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

Использованная литература:

1 Ткачук В.В. Математика абитуриенту:-М:МЦНМО,2002 г.

2 Сканави М.И. 2500 задач по математике для поступающих в вузы:

-М: Оникс 21 век, 2005 г.

3 Мельников И.И. Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах. 3-е издание, переработанное: учебник/ И.И Мельников, И.Сергеев.-М:УНЦДО, 2004 г.