Доказательство Великой теоремы Ферма за одну операцию
Идея предлагаемого вниманию читателя элементарного доказательства Великой теоремы Ферма исключительно проста: после разложения чисел a, b, c на пары слагаемых, затем группировки из них двух сумм U' и U'' и умножения равенства a^n + b^n – c^n = 0 на 11^n (т.е. на 11 в степени n, а чисел a, b, c на 11) (k+3)-я цифра в числе a^n + b^n – c^n (где k – число нулей на конце числа a + b – c) не равна 0 (числа U' и U'' умножаются по-разному!). Для постижения доказательства нужно знать лишь формулу бинома Ньютона, простейшую формулировку малой теоремы Ферма (приводится), определение простого числа, сложение двух-трех чисел и умножение двузначного числа на 11. Вот, пожалуй, и ВСЁ! Самое главное (и трудное) – не запутаться в десятке цифр, обозначенных буквами. Формальное описание истории теоремы и библиография в русском тексте опущены.
Доказательство приводится в редакции от 1 июня 2005 года (с учетом дискуссии на мехматовском сайте).
В.С.
Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма
ВИКТОР СОРОКИН
ИНСТРУМЕНТАРИЙ: [В квадратных скобках приводится поясняющая, не обязательная информация.]
Используемые обозначения:
Все числа записаны в системе счисления с простым основанием n > 10.
[Все случаи с составным n, кроме n = 2k (который сводится к случаю n = 4), сводятся к случаю
простого n с помощью простой подстановки. Случаи n = 3, 5 и 7 здесь не рассматриваются.]
a>k> – k-я цифра от конца в числе a (a>1> – последняя цифра).
[Пример для a = 1043: 1043 = 1x53 + 0x52 + 4x51 + 3x50; a>1> = 3, a>2> = 4, a>3> = 0, a>4> = 1.]
a>(>>k>>)> – окончание (число) из k цифр числа a (a>(1)> = a>1>; 1043>(3)> = 043). Везде в тексте a>1> ¹ 0.
[Если все три числа a, b и c оканчиваются на ноль, следует разделить равенство 1° на nn.]
(a>i>n)>1> = a>i> и (a>i>n - 1)>1> = 1 (см. Малую теорему Ферма для a>i> ¹ 0). (0.1°)
(n + 1)n = (10 + 1)n = 11n = …101 (см. Бином Ньютона для простого n).
Простое следствие из бинома Ньютона и малой теоремы Ферма для s ¹ 1 [a>1> ¹ 0]:
если цифра a>s> увеличивается/уменьшается на 0 < d < n,
то цифра an>s>>+1> увеличивается/уменьшается на d (или d + n, или d – n). (0.2°)
[В отрицательных числах цифры считаются отрицательными.]
***
(1°) Допустим, что an + bn – cn = 0 .
Случай 1: (bc)>1> ¹ 0.
(2°) Пусть u = a + b – c, где u>(>>k>>)> = 0, u>k>>+1> ¹ 0, k > 0 [известно, что в 1° u > 0 и k > 0].
(3°) Умножим равенство 1° на число d>1>n (см. §§2 и 2a в Приложении) с целью превратить
цифру u>k>>+1> в 5. После этой операции обозначения чисел не меняются
и равенство продолжает идти под тем же номером (1°).
Очевидно, что и в новом равенстве (1°) u = a + b – c, u>(>>k>>)> = 0, u>k>>+1> = 5.
(1*°) И пусть a*n + b*n – c*n = 0, где знаком “*” обозначены записанные в каноническом виде числа в равенстве (1°) после умножения равенства (1°) на 11n .
(4°) Введем в указанной здесь очередности следующие числа: u, u' = a>(>>k>>)> + b>(>>k>>)> – c>(>>k>>)>,
u'' = u – u' = (a – a>(k)>) + (b – b>(k)>) – (c – c>(k)>), v = (a>k+2> + b>k+2> – c>k+2>)>1>, u*' = a*>(k)> + b*>(k)> – c*>(k)>,
u*'' = u* – u*' = (a* – a*>(k)>) + (b* – b*>(k)>) – (c* – c*>(k)>), 11u', 11u'', v* = (a*>k+2> + b*>k+2> – c*>k+2>)>1>,
и вычислим две последние значащие цифры в этих числах:
(3a°) u>k+1> = (u'>k+1> + u''>k+1>)>1> = 5;
(5°) u'>k+1> = (–1, 0 или 1) – так как – nk < a'>(k)> < nk, – nk < b'>(k)> < nk, – nk < c'>(k)> < nk
и числа a, b, c имеют различные знаки;
(6°) u''>k>>+1> = (4, 5 или 6) (см. 3a° и 5°) [важно: 1 < u''>k>>+1> < n – 1];
(7°) u'>k>>+2> = 0 [всегда!] – так как \u'\ < 2nk ;
(8°) u''>k>>+2> = u>k>>+2> [всегда!];
(9°) u''>k>>+2> = [v + (a>k>>+1> + b>k>>+1> – c>k>>+1>)>2>]>1>, где (a>k>>+1> + b>k>>+1> – c>k>>+1>)>2> = (–1, 0 или 1);
(10°) v = [u>k>>+2> – (a>(>>k>>+1)> + b>(>>k>>+1)> – c>(>>k>>+1)>)>k>>+2>]>1> [где (a>(>>k>>+1)> + b>(>>k>>+1)> – c>(>>k>>+1)>)>k>>+2> = (–1, 0 или 1)] =
= [u>k>>+2> – (–1, 0 или 1)]>1>;
(11°) u*>k>>+1> = u>k>>+1> = 5 – т.к. u*>k>>+1> и u>k>>+1> – последние значащие цифры в числах u* и u;
(12°) u*'>k>>+1> = u'>k>>+1> – т.к. u*'>k>>+1> и u'>k>>+1> – последние значащие цифры в числах u*' и u';
(13°) u*''>k+1> = (u*>k+1> – u*'>k+1>)>1> = (3 – u*'>k+1>)>1> = (4, 5 или 6) [важно: 1 < u*''>k+1> < n – 1];
(14°) (11u')>k>>+2> = (u'>k>>+2> + u'>k>>+1>)>1> (затем – в результате приведения чисел к каноническому виду –
величина u'>k>>+1> «уходит» в u*''>k>>+2>, поскольку u*'>k>>+2> = 0);
(14a°) важно: числа (11u')>(>>k>>+2)> и u*'>(>>k>>+2)> отличаются только k+2-ми цифрами, а именно:
u*'>k>>+2> = 0, но (11u')>k>>+2> ¹ 0 в общем случае;
(15°) (11u'')>k>>+2> = (u''>k>>+2> + u''>k>>+1>)>1>;
(16°) u*>k+2> = (u>k+2> + u>k+1>)>1> = (u''>k+2> + u>k+1>)>1> = (u''>k+2> + 5)>1>;
(16а°) к сведению: u*'>k>>+2> = 0 (см. 7°);
(17°) u*''>k+2> = (u*>k+2> +1, u*>k+2> или u*>k+2> – 1)>1> = (см. 9°) = (u''>k+2> + 4, u''>k+2> + 5 или u''>k+2> + 6)>1>;
(18°) v* = [u*>k+2> – (a*>(k+1)> + b*>(k+1)> – c*>(k+1)>)>k+2>]>1>
[где u*>k+2> = (u>k+2> + u>k+1>)>1> (см. 16°), а (a*>(k+1)> + b*>(k+1)> – c*>(k+1)>)>k+2> = (–1, 0 или 1) – см. 10°] =
= [(u>k+2> + u>k+1>)>1> – (–1, 0 или 1)]>1>.
(19°) Введем числа U' = (a>k+1>)n + (b>k+1>)n – (c>k+1>)n, U'' = (an + bn – cn) – U', U = U' + U'',
U*' = (a*>k+1>)n + (b*>k+1>)n – (c*>k+1>)n, U*'' = (a*n + b*n – c*n) – U*', U* = U*' + U*'';
(19а°) к сведению: U'>(k+1)> = U*'>(k+1)> = 0.
(20°) Лемма: U>(k+2)> = U'>(k+2)> = U''>(k+2)> = U*>(k+2)> = U*'>(k+2)> = U*''>(k+2)> = 0 [всегда!].
Действительно, из 1° мы имеем:
U = an + bn – cn =
= (a>(k+1)> + nk+1a>k+2> + nk+2P>a>)n + (b>(k+1)> + nk+1b>k+2> + nk+2P>b>)n – (c>(k+1)> + nk+1c>k+2> + nk+2P>c>)n =
= (a>(k+1)>n + b>(k+1)>n – c>(k+1)>n) + nk+2(a>k+2>a>(k+1)>n - 1 + b>k+2b(k+1)>n - 1 – c>k+2c(k+1)>n - 1) + nk+3P =
= U' + U'' = 0, где
U' = a>(k+1)>n + b>(k+1)>n – c>(k+1)>n,
(20a°) U'' = nk+2(a>k+2>a>(k+1)>n -1 + b>k+2b(k+1)>n -1 – c>k+2c(k+1)>n -1) + nk+3P,
где (a>k+2>a>(k+1)>n -1 + b>k+2>b>(k+1)>n -1 – c>k+2>c>(k+1)>n -1)>1> = (см. 0.1°)=
(20b°) = (a>k+2> + b>k+2> – c>k+2>)>1> = U''>k+3> = v (см. 4°).
(21°) Следствие: (U'>k+3> + U''>k+3>)>1> = (U*'>k+3> + U*''>k+3>)>1> = 0.
(22°) Вычислим цифру (11nU')>k+3>:
[так как числа (11u')>(>>k>>+2)> и u*'>(>>k>>+2)> отличаются только k+2-ми цифрами на величину
(11u')>k>>+2>), то на эту величину будут отличаться и цифры (11nU')>k>>+3> и U*'>k>>+3>, это означает,
что цифра (11nU')>k>>+3> будет на (11u')>k>>+2> превышать цифру U*'>k>>+3> (см. 0.2°)]
(11nU')>k+3> = U'>k+3> = (U*'>k+3> + (11u')>k+2>)>1> = (U*'>k+3> + u'>k+1>)>1>.
(23°) Откуда U*'>k+3> = U'> k+3> – u'>k+1>.
(24°) Вычислим цифру U*''> >>k>>+3>> >:
U*''> k+3> = v* = (u>k+2> + u>k+1>)>1> – (–1, 0 или 1) – см. (18°);
(25°) Наконец, вычислим цифру (U*'>k>>+3> + U*''>k>>+3>)>1>:
(U*'>k+3> + U*''>k+3>)>1> = (U*'>k+3> + U*''>k+3> – U'>k+3> – U''>k+3>)>1> = (U*'>k+3> – U'>k+3> + U*''>k+3> – U''>k+3>)>1> =
(см. 23° и 24°) = (– u'>k>>+1> + v* – v) = (см. 18° и 10°) =
= (– u'>k+1> + [u>k+2> + u>k+1> – (–1, 0 или 1)] – [u>k+2> – (–1, 0 или 1)])>1> =
= (– u'>k>>+1> + u>k>>+1> + (–2, –1, 0, 1, или 2))>1> = (см. 3a°) =
( u''>k>>+1> + (–2, –1, 0, 1, или 2))>1> = (см. 6°) = (2, 3, 4, 5, 6, 7 или 8) ¹ 0,
что противоречит 21° и, следовательно, выражение 1° есть неравенство.
Случай 2 [доказывается аналогично, но намного проще]: b (или c) = ntb', где b>1> = 0 и b>t>>+1> = b'>1> ¹ 0.
(26°) Введем число u = c – a > 0, где u>(>>nt>> – 1)> = 0, а u>nt> ¹ 0 (см. §1 в Приложении).
(27°) После умножения равенства 1° на число d>1>n (с целью превратить цифру u>nt> в 5)
(см. §§2 и 2a в Приложении) обозначения чисел сохраняются.
(28°) Пусть: u' = a>(>>nt>> – 1)> – c>(>>nt>> – 1)>, u'' = (a – a>(>>nt>> – 1)>) – (c – c>(>>nt>> – 1)>) (где, очевидно, u''>nt> = (a>nt> – c>nt>)>1>);
U' = a>(>>nt>>)>n + bn – c>(>>nt>>)>n (где U'>(>>nt>> + 1)> = 0 – см. 1° и 26°), U'' = (an – a>(>>nt>>)>n) – (cn – c>(>>nt>>)>n),
U*' = a*>(>>nt>>)>n + b*n – c*>(>>nt>>)>n (где U*'>(>>nt>> + 1)> = 0), U*'' = (a*n – a*>(>>nt>>)>n) – (c*n – c*>(>>nt>>)>n),
v = a>nt+1> – c>nt+1>.
Вычисления, полностью аналогичные вычислениям в случае 1, показывают, что nt+2-я цифра в равенстве Ферма не равна нулю. Число b во всех расчетах (кроме самой последней операции и в п. 27°) можно проигнорировать, т.к. цифры bn>nt>>+1> и bn>nt>>+2> при умножении равенства 1° на 11n не меняются (т.к. 11n>(3)> = 101).
Таким образом, для простых n > 7 теорема доказана.
==================
ПРИЛОЖЕНИЕ
§1. Если числа a, b, c не имеют общих сомножителей и b>1> = (c – a)>1> = 0,
тогда из числа R = (cn – an)/(c – a) =
= cn –1 + cn –2a + cn –3a2 + … c2an - 3 + can - 2 + an - 1 =
= (cn –1 + an –1) + ca(cn –3 + an –3) + … + c(n –1)/2a(n –1)/2 =
= (cn –1 – 2c(n –1)/2a(n –1)/2 + an –1 + 2c(n –1)/2a(n –1)/2) + ca(cn –3 – 2c(n –3)/2a(n –3)/2 + an –3 + 2c(n –3)/2a(n –3)/2) +
+ … + c(n –1)/2a(n –1)/2 = (c – a)2P + nc(n –1)/2a(n –1)/2 следует, что:
c – a делится на n2, следовательно R делится на n и не делится на n2;
так как R > n, то число R имеет простой сомножитель r не равный n;
c – a не делится на r;
если b = ntb', где b'>1> ¹ 0, то число c – a делится на ntn – 1 и не делится ntn.
§2. Лемма. Все n цифр (a>1>d>i>)>1>, где d>i> = 0, 1, … n – 1, различны.
Действительно, допустив, что (a>1>d>1>*)>1 >= (a>1>d>1>**)>1>, мы находим: ((d>1>* – d>1>**)a>1>)>1> = 0.
Откуда d>1>* = d>1>**. Следовательно, множества цифр a>1> (здесь вместе с a>1> = 0) и d>1> совпадают.
[Пример для a>1> = 2: 0: 2x0 = 0; 1: 2x3 = 11; 2: 2x1 = 2; 3: 2x4 = 13; 4: 2x2 = 4.
При составном n Лемма несправедлива: в базе 10 и (2х2)>1> = 4, и (2х7)>1> = 4.]
§2a. Следствие. Для любой цифры a>1> ¹ 0 cуществует такая цифра d>i>, что (a>1>d>i>)>1> = 1.
[Пример для a>1> = 1, 2, 3, 4: 1x1 = 1; 2x3 = 11; 3x2 = 11; 4x4 = 31.]
ВИКТОР СОРОКИН
e-mail: victor.sorokine@wanadoo.fr
4 ноября 2004, Франция
P.S. Доказательство для случаев n = 3, 5 , 7 аналогично, но в (3°) цифра u>k>>+1> превращается не в 5, а в 1, и в (1*°) равенство (1°) умножается не на 11n, а на некоторое hn, где h – некоторое однозначное число.
Page 1