Высшая математика (работа 8)
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ
НОУ ВПО «С.И.Б.У.П.»
Контрольная работа
по дисциплине «Высшая математика»
Вариант 13.
Выполнила студентка
Проверил:
Красноярск, 2008г.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Задание 1
Коэффициенты использования рабочего времени у двух комбайнов соответственно равны 0,8 и 0,6. Считая, что остановки в работе каждого комбайна возникают случайно и независимо друг от друга, определить относительное время (вероятность: а) работы только одного комбайна; б) простоя обоих комбайнов.
А) Данное событие (работает только один комбайн) есть сумма 2 несовместных событий:
A = B + C,
где B: работает только 1-й (2-й простаивает); C: работает только 2-й (1-й простаивает). Каждое из этих событий есть произведение 2 независимых событий:
B
= D
;
C
=
E,
где
D,
E
– события, состоящие в том, что 1-й и 2-й
комбайны работают;
,
- противоположные им события, т.е. 1-й и
2-й комбайны не работают. Их вероятности:
P (D) = 0,8
P (E) = 0,6
P
()
= 1 – P (D) = 1 – 0,8 = 0,2
P
()
= 1 – P (E) = 1 – 0,6 = 0,4
По теоремам сложения и умножения вероятностей
P
(A) = P (B) + P (C) = P (D) P ()
+ P ()
P (E) = 0,8 * 0,4 + 0,2 * 0,6 = 0,44
Б) Данное событие (оба комбайна простаивают) есть произведение 2 независимых событий:
F
=
По теореме умножения вероятностей
P
(F)
= P
()
P
()
= 0,2 * 0,4 = 0,08
Задание 2
Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,01. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 800 пассажиров и вероятность такого числа опоздавших.
Происходит n = 800 независимых испытаний, в каждом из которых данное событие (опоздание на поезд) происходит с вероятностью p = 0,01. Наиболее вероятное число наступлений события удовлетворяет неравенствам
np – q ≤ k < np + p,
где q = 1 – p = 1 – 0,01 = 0,99
800 * 0,01 – 0,99 ≤ k < 800 * 0,01 + 0,01
7,01 ≤ k < 8,01
k = 8
Так как n велико, p мала, соответствующую вероятность найдем по формуле Пуассона:
Pn
(k)
=
,
где a = np = 800 * 0,01 = 8
P800
(8) =
= 0,140
Задание 3
На двух автоматических станках производятся одинаковые изделия, даны законы распределения числа бракованных изделий, производимых в течение смены на каждом из них для первого и для второго.
X 0 1 2 Y 0 2
p 0,1 0,6 0,3 p 0,5 0,5
Составить закон распределения случайной величины Z = X + Y числа производимых в течение смены бракованных изделий обоими станками. Составить функцию распределения и построить ее график. Проверить свойство математического ожидания суммы случайных величин.
Величина Z может принимать значения:
0 + 0 = 0
0 + 2 = 2
1 + 0 = 1
1 + 2 = 3
2 + 0 = 2
2 + 2 = 4
Вероятности этих значений (по теоремам сложения и умножения вероятностей):
P (Z = 0) = 0,1 * 0,5 = 0,05
P (Z = 1) = 0,6 * 0,5 = 0,3
P (Z = 2) = 0,1 * 0,5 + 0,3 * 0,5 = 0,2
P (Z = 3) = 0,6 * 0,5 = 0,3
P (Z = 4) = 0,3 * 0,5 = 0,15
Закон распределения:
Z 0 1 2 3 4
p 0,05 0,3 0,2 0,3 0,15
Проверка:
∑ pi = 0,05 + 0,3 + 0,2 + 0,3 + 0,15 = 1.
Функция распределения
F
(x)
= P
(X
< x)
=
=
Математические ожидания:
M (x) = ∑ xipi = 0 * 0,1 + 1 * 0,6 + 2 * 0,3 = 1,2
M (y) = ∑ yipi = 0 * 0,5 + 2 * 0,5 = 1
M (z) = ∑ zipi = 0 * 0,05 + 1 * 0,3 + 2 * 0,2 + 3 * 0,3 + 4 * 0,15 = 2,2
M (z) = M (x) + M (y) = 1,2 + 1 = 2,2
Задание 4
Случайная величина X задана функцией распределения
F
(x)
=
Найти: 1) вероятность попадания случайной величины X в интервал (1/3; 2/3); 2) функцию плотности распределения вероятностей f (x); 3) математическое ожидание случайной величины X; 4) построить графики F (x) и f (x).
Вероятность попадания случайной величины в интервал (a, b) равна
P (a < X < b) = F (b) – F (a)
P (1/3 < X < 2/3) = F (2/3) – F (1/3) = (2/3)3 – (1/3)3 = 8/27 – 1/27 = 7/27
Функция плотности
f
(x) = F`(x) =
Математическое ожидание
M
(X)
=
=
=
=
= ¾ (14 – 04) = ¾
Графики:
Задание 5
Текущая цена акции может быть смоделирована с помощью нормального закона распределения с математическим ожиданием a = 26 и средним квадратическим отклонением σ = 0,7. Требуется: а) записать функцию плотности вероятности случайной величины X – цены акции и построить ее график; б) найти вероятность того, что случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (25,2; 26,8); в) найти вероятность того, что абсолютная величина |X – 26| окажется меньше ε = 0,5.
А) Функция плотности нормального распределения имеет вид
f
(x)
=
=
=
Б) Вероятность того, что нормальная величина примет значение из интервала (α; β), равна
P
(α < X
< β) =
-
=
-
= Ф (1,14) – Ф (-1,14) = 0,3735 + 0,3735 = 0,747
Значения
функции Лапласа Ф (x)
=
берем
из таблиц.
В) Вероятность того, что отклонение нормальной величины от математического ожидания не превышает ε, равна
P
(|X
– a|
< ε) =
P
(|X
– 26| < 0,5) =
= 2Ф (0,714) = 2 * 0,2611 = 0,5222
СТАТИСТИКА
Задание 1
В задаче приведена выборка, извлеченная из соответствующей генеральной совокупности. Требуется: 1) по несгруппированным данным найти выборочную среднюю; 2) найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания признака X генеральной совокупности (генеральной средней), если признак X распределен по нормальному закону; известны γ = 0,98 – надежность и σ = 200 – среднее квадратическое отклонение; 3) составить интервальное распределение выборки с шагом h = 200, взяв за начало первого интервала x1 = 700; 4) построить гистограмму частот; 5) дать экономическую интерпретацию полученных результатов.
Проведено выборочное обследования объема промышленного производства за 16 месяцев и получены следующие результаты (тыс. руб.):
750; 950; 1000; 1050; 1050; 1150; 1150; 1150; 1200; 1200; 1250; 1250; 1350; 1400; 1400; 1550
Выборочная средняя
=
= (750 + 950 + 1000 + 1050 + 1050 + 1150 + 1150 + 1150 + 1200 + 1200
+ 1250 + 1250 + 1350 + 1400 + 1400 + 1550) / 16 = 18850 / 16 = 1178,1
тыс. руб.
Доверительный интервал
-
<
a <
+
,
где Ф (t) = γ / 2 = 0,98 / 2 = 0,49. По таблице функции Лапласа находим: t = 2,32.
1178,1
-
<
a <
1178,1 +
1178,1 – 116,3 < a < 1178,1 + 116,3
1061,8 < a < 1294,4 тыс. руб.
Подсчитаем границы интервалов:
x2 = x1 + h = 700 + 200 = 900 и т.д.
Подсчитаем частоты интервалов (т.е. количество значений объема производства, попавших в данный интервал). Интервальное распределение выборки:
Интервал |
Частоты |
|
(700; 900) |
1 |
|
(900; 1100) |
4 |
|
(1100; 1300) |
7 |
|
(1300; 1500) |
3 |
|
(1500; 1700) |
1 |
Гистограмма частот:
Экономическая интерпретация. Средний объем промышленного производства за 16 месяцев составил 1178,1 тыс. руб. С надежностью 0,98 можно утверждать, что средний объем производства находится в пределах от 1061,8 до 1294,4 тыс. руб. Наибольшее число месяцев (7) объем производства находился в интервале от 1100 до 1300 тыс. руб.
Задание 2
По корреляционной таблице требуется: 1) в прямоугольной системе координат построить эмпирические ломаные регрессии Y на X и X на Y, сделать предположение о виде корреляционной связи; 2) оценить тесноту линейной корреляционной связи; 3) составить линейные уравнения регрессии Y на X и X на Y, построить их графики в одной системе координат; 4) используя полученное уравнение, оценить ожидаемое среднее значение признака Y при заданном x = 98. Дать экономическую интерпретацию полученных результатов.
В таблице дано распределение 200 заводов по основным фондам X в млн. руб. и по готовой продукции Y в млн. руб.:
|
y\x |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
90 |
100 |
ny |
|
12 |
4 |
4 |
||||||||
|
18 |
6 |
10 |
2 |
18 |
||||||
|
24 |
8 |
13 |
1 |
1 |
23 |
|||||
|
30 |
4 |
7 |
9 |
3 |
4 |
2 |
29 |
|||
|
36 |
1 |
2 |
3 |
12 |
4 |
8 |
30 |
|||
|
42 |
1 |
3 |
18 |
24 |
1 |
47 |
||||
|
48 |
7 |
12 |
3 |
22 |
||||||
|
54 |
9 |
18 |
27 |
|||||||
|
nx |
10 |
23 |
24 |
14 |
19 |
26 |
41 |
22 |
21 |
n = 200 |
Расчетная таблица:
|
X Y |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
90 |
100 |
ny |
yny |
y2 |
y2ny |
∑xnxy |
Усл.
ср.
|
|
12 |
4 |
4 |
48 |
144 |
576 |
80 |
20,0 |
||||||||
|
18 |
6 |
10 |
2 |
18 |
324 |
324 |
5832 |
500 |
27,8 |
||||||
|
24 |
8 |
13 |
1 |
1 |
23 |
552 |
576 |
13248 |
870 |
37,8 |
|||||
|
30 |
4 |
7 |
9 |
3 |
4 |
2 |
29 |
870 |
900 |
26100 |
1470 |
50,7 |
|||
|
36 |
1 |
2 |
3 |
12 |
4 |
8 |
30 |
1080 |
1296 |
38880 |
1900 |
63,3 |
|||
|
42 |
1 |
3 |
18 |
24 |
1 |
47 |
1974 |
1764 |
82908 |
3500 |
74,5 |
||||
|
48 |
7 |
12 |
3 |
22 |
1056 |
2304 |
50688 |
1940 |
88,2 |
||||||
|
54 |
9 |
18 |
27 |
1458 |
2916 |
78732 |
2610 |
96,7 |
|||||||
|
nx |
10 |
23 |
24 |
14 |
19 |
26 |
41 |
22 |
21 |
200 |
7362 |
296964 |
12870 |
||
|
xnx |
200 |
690 |
960 |
700 |
1140 |
1820 |
3280 |
1980 |
2100 |
12870 |
|||||
|
x2 |
400 |
900 |
1600 |
2500 |
3600 |
4900 |
6400 |
8100 |
10000 |
||||||
|
x2nx |
4000 |
20700 |
38400 |
35000 |
68400 |
127400 |
262400 |
178200 |
210000 |
944500 |
|||||
|
∑ynxy |
156 |
528 |
630 |
444 |
672 |
1020 |
1692 |
1104 |
1116 |
7362 |
|||||
|
∑xynxy |
3120 |
15840 |
25200 |
22200 |
40320 |
71400 |
135360 |
99360 |
111600 |
524400 |
|||||
|
Усл.
ср.
|
15,6 |
23,0 |
26,3 |
31,7 |
35,4 |
39,2 |
41,3 |
50,2 |
53,1 |
Подсчитаем условные средние:
x
= 20 =
= (12 * 4 + 18 * 6) / 10 = 15,6 и т.д.
y
= 12 =
= 20 * 4 / 4 = 20,0 и т.д.
Эмпирические ломаные регрессии:
Эмпирические линии регрессии близки к прямым. Можно сделать предположение о линейном характере связи между величиной основных фондов и готовой продукцией.
Выборочные средние:
=
= 12870 / 200 = 64,35
=
= 7362 / 200 = 36,81
Выборочные средние квадратические отклонения
σx
=
=
= 24,12
σy
=
=
= 11,39
Выборочный коэффициент корреляции
r
=
=
= 0,922
Уравнение линейной регрессии Y по X:
x
-
= r
(x
-
)
x
– 36,81 = 0,922 *
(x
– 64,35)
x
= 0,435x
+ 8,786
Уравнение линейной регрессии X по Y:
y
-
= r
(
y
-
)
y
– 64,35 = 0,922 *
(y
– 36,81)
y
= 1,951y
– 7,452
Графики:
Ожидаемое среднее значение Y при X = 98:
x
= 98 = 0,435 * 98 + 8,786 = 51,5 млн. руб.
Экономическая интерпретация. Связь между величиной основных фондов и готовой продукций прямая и очень тесная: коэффициент корреляции положителен и близок к 1. При увеличении основных фондов на 1 млн. руб. готовая продукция возрастает в среднем на 0,435 млн. руб. При увеличении готовой продукции на 1 млн. руб. основные фонды возрастают в среднем на 1,951 млн. руб. При величине основных фондов 98 млн. руб. ожидаемое среднее значение готовой продукции 51,5 млн. руб.
Задание 3
Даны эмпирические значения случайной величины. Требуется: 1) выдвинуть гипотезу о виде распределения; 2) проверить гипотезу с помощью критерия Пирсона при заданном уровне значимости α = 0,05. За значения параметров a и σ принять среднюю выборочную и выборочное среднее квадратичное отклонение, вычисленные по эмпирическим данным.
В таблице дано распределение дохода от реализации некоторого товара:
|
8-12 |
12-16 |
16-20 |
20-24 |
24-28 |
28-32 |
|
6 |
11 |
25 |
13 |
4 |
1 |
Вычислим середины интервалов дохода:
xi = (8 + 12) / 2 = 10 и т.д.
Расчетная таблица:
|
№ |
xi |
ni |
xini |
xi
-
|
(xi
-
|
(xi
-
|
|
1 |
10 |
6 |
60 |
-8,067 |
65,071 |
390,4 |
|
2 |
14 |
11 |
154 |
-4,067 |
16,538 |
181,9 |
|
3 |
18 |
25 |
450 |
-0,067 |
0,004 |
0,1 |
|
4 |
22 |
13 |
286 |
3,933 |
15,471 |
201,1 |
|
5 |
26 |
4 |
104 |
7,933 |
62,938 |
251,8 |
|
6 |
30 |
1 |
30 |
11,933 |
142,404 |
142,4 |
|
Сумма |
60 |
1084 |
1167,7 |
Выборочное среднее
=
= 1084 / 60 = 18,067
Выборочное среднее квадратическое отклонение
s
=
=
= 4,412
Выдвигаем гипотезу о нормальном распределении.
2) Расчетная таблица для применения критерия Пирсона:
|
i |
xi |
Частоты ni |
ui
= (xi -
|
φ
(ui) =
|
Теорет. частоты ni` = nh φ (ui) / s |
ni - ni` |
(ni - ni`)2 |
(ni - ni`)2 / ni` |
|
1 |
10 |
6 |
-1,829 |
0,0750 |
4,1 |
1,9 |
3,7 |
0,9 |
|
2 |
14 |
11 |
-0,922 |
0,2609 |
14,2 |
-3,2 |
10,2 |
0,7 |
|
3 |
18 |
25 |
-0,015 |
0,3989 |
21,7 |
3,3 |
10,9 |
0,5 |
|
4 |
22 |
13 |
0,892 |
0,2681 |
14,6 |
-1,6 |
2,5 |
0,2 |
|
5 |
26 |
4 |
1,798 |
0,0792 |
4,3 |
-0,3 |
0,1 |
0,0 |
|
6 |
30 |
1 |
2,705 |
0,0103 |
0,6 |
0,4 |
0,2 |
0,3 |
|
Сумма |
60 |
59,4 |
2,7 |
Наблюдаемое значение
χн2 = ∑ (ni - ni`)2 / ni` = 2,7
Критическое значение (из таблиц при уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы k = 6 – 3 = 3)
χкр2 = 7,8
Так как χн2 < χкр2, гипотезу о нормальном распределении принимаем.