Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

(алгебра и начала анализа)

Оглавление

I. Введение

II. Уравнения с параметрами.

§1. Определения.

§2. Алгоритм решения.

§3. Примеры.

III. Неравенства с параметрами.

§1. Определения.

§2. Алгоритм решения.

§3. Примеры.

IV. Список литературы.

Введение

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.

Готовя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой взгляд графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с параметрами.

В моём реферате рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и их систем, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении а ВУЗ.

§1. Основные определения

Рассмотрим уравнение

¦(a, b, c, …, k, x)=j(a, b, c, …, k, x), (1)

где a, b, c, …, k, x -переменные величины.

Любая система значений переменных

а = а>0>, b = b>0>, c = c>0>, …, k = k>0>, x = x>0>,

при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, …, k, x. Пусть А – множество всех допустимых значений а, B – множество всех допустимых значений b, и т.д., Х – множество всех допустимых значений х, т.е. аÎА, bÎB, …, xÎX. Если у каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, …, k и подставить их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным.

Переменные a, b, c, …, k, которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.

Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, k, l, m, n а неизвестные – буквами x, y,z.

Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.

Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:

а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.

§2. Алгоритм решения.

    Находим область определения уравнения.

    Выражаем a как функцию от х.

    В системе координат хОа строим график функции а=¦(х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.

Находим точки пересечения прямой а=с, где сÎ(-¥;+¥) с графиком функции а=¦(х).Если прямая а=с пересекает график а=¦(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=¦(х) относительно х.

    Записываем ответ.

§3. Примеры

I. Решить уравнение

(1)

Решение.

Поскольку х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить уравнение относительно а :

>> или > >

График функции – две “склеенных” гиперболы. Количество решений исходного уравнения определяется количеством точек пересечения построенной линии и прямой у=а.

Если а Î (-¥;-1]È(1;+¥)È>> , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в одной точке. Абсциссу этой точки найдем при решении уравнения > > относительно х.

Таким образом, на этом промежутке уравнение (1) имеет решение > >.

Если а Î > >, то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в двух точках. Абсциссы этих точек можно найти из уравнений > > и > >, получаем

>>>> и > >.

Если а Î > > , то прямая у=а не пересекает график уравнения (1), следовательно решений нет.

Ответ:

Если а Î (-¥;-1]È(1;+¥)È>>, то > >;

Если а Î > >, то > >>> , > >;

Если а Î > > , то решений нет.

II. Найти все значения параметра а, при которых уравнение > > имеет три различных корня.

Решение.

Переписав уравнение в виде > > и рассмотрев пару функций > > , можно заметить, что искомые значения параметра а и только они будут соответствовать тем положениям графика функции > >, при которых он имеет точно три точки пересечения с графиком функции > >.

В системе координат хОу построим график функции > >). Для этого можно представить её в виде > > и, рассмотрев четыре возникающих случая, запишем эту функцию в виде

>>

Поскольку график функции > > – это прямая, имеющая угол наклона к оси Ох, равный > > , и пересекающая ось Оу в точке с координатами (0 , а), заключаем, что три указанные точки пересечения можно получить лишь в случае, когда эта прямая касается графика функции > >. Поэтому находим производную > >

Ответ: > >.

III. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений

>>

имеет решения.

Решение.

Из первого уравнения системы получим > > при > > Следовательно, это уравнение задаёт семейство “полупарабол” - правые ветви параболы > > “скользят” вершинами по оси абсцисс.

Выделим в левой части второго уравнения полные квадраты и разложим её на множители

>>

Множеством точек плоскости > >, удовлетворяющих второму уравнению, являются две прямые

>> и > >

Выясним, при каких значениях параметра а кривая из семейства “полупарабол” имеет хотя бы одну общую точку с одной из полученных прямых.

Если вершины полупарабол находятся правее точки А, но левее точки В (точка В соответствует вершине той “полупараболы”, которая касается

прямой > >), то рассматриваемые графики не имеют общих точек. Если вершина “полупараболы” совпадает с точкой А, то > >.

Случай касания “полупараболы” с прямой > > определим из условия существования единственного решения системы

>>

В этом случае уравнение

>>

имеет один корень, откуда находим :

>>

Следовательно, исходная система не имеет решений при > >, а при > > или > > имеет хотя бы одно решение.

Ответ: а Î (-¥;-3] È(>>;+¥).

IV. Решить уравнение

>>

Решение.

Использовав равенство > >, заданное уравнение перепишем в виде

>>

Это уравнение равносильно системе

>>

Уравнение > > перепишем в виде

>>. (*)

Последнее уравнение проще всего решить, используя геометрические соображения. Построим графики функций > > и > > Из графика следует, что при > > графики не пересекаются и, следовательно, уравнение не имеет решений.

Если > >, то при > > графики функций совпадают и, следовательно, все значения > > являются решениями уравнения (*).

При > > графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой > >. Таким образом, при > > уравнение (*) имеет единственное решение - > >.

Исследуем теперь, при каких значениях а найденные решения уравнения (*) будут удовлетворять условиям

>>

Пусть > >, тогда > >. Система примет вид

>>

Её решением будет промежуток хÎ (1;5). Учитывая, что > > , можно заключить, что при > > исходному уравнению удовлетворяют все значения х из промежутка [3; 5).

Рассмотрим случай, когда > > . Система неравенств примет вид

>>

Решив эту систему, найдем аÎ (-1;7). Но > >, поэтому при аÎ (3;7) исходное уравнение имеет единственное решение > >.

Ответ:

если аÎ (-¥;3), то решений нет;

если а=3, то хÎ [3;5);

если aÎ (3;7), то > >;

если aÎ [7;+¥), то решений нет.

V. Решить уравнение

>> , где а - параметр. (5)

Решение.

    При любом а : > >

    Если > >, то > >;

если > >, то > >.

    Строим график функции > > , выделяем ту его часть , которая соответствует > >. Затем отметим ту часть графика функции > > , которая соответствует > >.

    По графику определяем, при каких значениях а уравнение (5) имеет решение и при каких – не имеет решения.

Ответ:

если > >, то > > > >

если > >, то > >;

если > >, то решений нет;

если > >, то > >, > >.

VI. Каким условиям должны удовлетворять те значения параметров > > и > >, при которых системы

>> (1)

и

>> (2)

имеют одинаковое число решений ?

Решение.

С учетом того, что > > имеет смысл только при > >, получаем после преобразований систему

>> (3)

равносильную системе (1).

Система (2) равносильна системе

>> (4)

Первое уравнение системы (4) задает в плоскости хОу семейство прямых, второе уравнение задает семейство концентрических окружностей с центром в точке А(1;1) и радиусом > >

Поскольку > >, а > >, то > >, и, следовательно, система (4) имеет не менее четырех решений. При > > окружность касается прямой > > и система (4) имеет пять решений.

Таким образом, если > >, то система (4) имеет четыре решения, если > >, то таких решений будет больше, чем четыре.

Если же иметь в виду не радиусы окружностей, а сам параметр а, то система (4) имеет четыре решения в случае, когда > >, и больше четырех решений, если > >.

Обратимся теперь к рассмотрению системы (3). Первое уравнение этой системы задаёт в плоскости хОу семейство гипербол, расположенных в первом и втором квадрантах. Второе уравнение системы (3) задает в плоскости хОу семейство прямых.

При фиксированных положительных а и b система (3) может иметь два, три, или четыре решения. Число же решений зависит от того, будет ли прямая, заданная уравнением > > , иметь общие точки с гиперболой > > при > > (прямая > > всегда имеет одну точку пересечения с графиком функции > >).

Для решения этого рассмотрим уравнение

>>,

которое удобнее переписать в виде

>>

Теперь решение задачи сводится к рассмотрению дискриминанта D последнего уравнения:

    если > >, т.е. если > >, то система (3) имеет два решения;

    если > >, то система (3) имеет три решения;

    если > >, то система (3) имеет четыре решения.

Таким образом, одинаковое число решений у систем (1) и (2) – это четыре. И это имеет место, когда > >.

Ответ: > >

II. Неравенства с параметрами.

§1. Основные определения

Неравенство

¦(a, b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x), (1)

где a, b, c, …, k – параметры, а x – действительная переменная величина, называется неравенством с одним неизвестным, содержащим параметры.

Любая система значений параметров а = а>0>, b = b>0>, c = c>0>, …, k = k>0>, при некоторой функции

¦(a, b, c, …, k, x) и

j(a, b, c, …, k, x

имеют смысл в области действительных чисел, называется системой допустимых значений параметров.

>>называется допустимым значением х, если

¦(a, b, c, …, k, x) и

j(a, b, c, …, k, x

принимают действительные значения при любой допустимой системе значений параметров.

Множество всех допустимых значений х называется областью определения неравенства (1).

Действительное число х>0> называется частным решением неравенства (1), если неравенство

¦(a, b, c, …, k, x>0>)>j(a, b, c, …, k, x>0>)

верно при любой системе допустимых значений параметров.

Совокупность всех частных решений неравенства (1) называется общим решением этого неравенства.

Решить неравенство (1) – значит указать, при каких значениях параметров существует общее решение и каково оно.

Два неравенства

¦(a, b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x) и (1)

z(a, b, c, …, k, x)>y(a, b, c, …, k, x) (2)

называются равносильными, если они имеют одинаковые общие решения при одном и том же множестве систем допустимых значений параметров.

§2. Алгоритм решения.

    Находим область определения данного неравенства.

    Сводим неравенство к уравнению.

    Выражаем а как функцию от х.

    В системе координат хОа строим графики функций а =¦ (х) для тех значений х, которые входят в область определения данного неравенства.

    Находим множества точек, удовлетворяющих данному неравенству.

    Исследуем влияние параметра на результат.

    найдём абсциссы точек пересечения графиков.

    зададим прямую а=соnst и будем сдвигать её от -¥ до+¥

    Записываем ответ.

Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами, с использованием системы координат хОа. Возможны и другие методы решения, с использованием стандартной системы координат хОy.

§3. Примеры

I. Для всех допустимых значений параметра а решить неравенство

>>

Решение.

В области определения параметра а, определённого системой неравенств

>>

данное неравенство равносильно системе неравенств

>>

Если > >, то решения исходного неравенства заполняют отрезок > >.

Ответ: > >, > >.

II. При каких значениях параметра а имеет решение система

>>

Решение.

Найдем корни трехчлена левой части неравенства –

>> (*)

Прямые, заданные равенствами (*), разбивают координатную плоскость аОх на четыре области, в каждой из которых квадратный трехчлен

>>

сохраняет постоянный знак. Уравнение (2) задает окружность радиуса 2 с центром в начале координат. Тогда решением исходной системы будет пересечение заштрихован

ной области с окружностью, где > >, а значения > > и > > находятся из системы

>>

а значения > > и > > находятся из системы

>>

Решая эти системы, получаем, что

>>

Ответ: > >

III. Решить неравенство > > на > > в зависимости от значений параметра а.

Решение.

    Находим область допустимых значений – > >

    Построим график функции в системе координат хОу.

    при > > неравенство решений не имеет.

    при > > для > > решение х удовлетворяет соотношению > >, где > >

Ответ: Решения неравенства существуют при > >

>>, где > > , причем при > > решения > >; при > > решения > > .

IV. Решить неравенство

>>

Решение.

    Находим ОДЗ или линии разрыва (асимптоты)

>> > >

>>

    Найдем уравнения функций, графики которых нужно построить в ПСК; для чего перейдем к равенству :

>>

Разложим числитель на множители.

>>

т. к. > > то

>>

Разделим обе части равенства на > > при > >. Но > > является решением : левая часть уравнения равна правой части и равна нулю при > >.

>>

>>

>>

3. Строим в ПСК хОа графики функций

>>

и нумеруем образовавшиеся области (оси роли не играют). Получилось девять областей.

4. Ищем, какая из областей подходит для данного неравенства, для чего берем точку из области и подставляем в неравенство.

Для наглядности составим таблицу.

?

точка

неравенство: > >

вывод

1

>>

>>

-

2

>>

>>

+

3

>>

>>

-

4

>>

>>

+

5

>>

>>

-

6

>>

>>

+

7

>>

>>

-

8

>>

>>

+

9

>>

>>

-

5. Найдем точки пересечения графиков

>>

6. Зададим прямую а=сonst и будем сдвигать её от -¥ до +¥.

Ответ.

при > > >>

при > > >>

при > > >>

при > > решений нет

при > > >>

Литература

    Далингер В. А. “Геометрия помогает алгебре”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1996 г.

    Далингер В. А. “Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по математике”. Издательство Омского педуниверситета. Омск 1995 г.

    Окунев А. А. “Графическое решение уравнений с параметрами”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1986 г.

    Письменский Д. Т. “Математика для старшеклассников”. Издательство “Айрис”. Москва 1996 г.

    Ястрибинецкий Г. А. “Уравнений и неравенства, содержащие параметры”. Издательство “Просвещение”. Москва 1972 г.

    Г. Корн и Т.Корн “Справочник по математике”. Издательство “Наука” физико–математическая литература. Москва 1977 г.

    Амелькин В. В. и Рабцевич В. Л. “Задачи с параметрами” . Издательство “Асар”. Минск 1996 г.