Преобразования плоскости, движение
- 1 -
Ïðåîáðàçîâàíèÿ ïëîñêîñòè
Îòîáðàæåíèå ïëîñêîñòè íà ñåáÿ
Îòîáðàæåíåì ïëîñîñòè íà ñåáÿ íàçûâàåòñÿ òàêîå ïðåîáðîçîâàíèå, ÷òî êàæäîé òî÷êå èñõîäíîé ïëîñêîñòè ñîïîñòàâëÿåòñÿ êàêàÿ-òî òî÷êà ýòîé æå ïëîñêîñòè, ïðè÷åì ëþáàÿ ëþáàÿ òî÷êà ïëîñêîñòè îêàçûâàåòñÿ ñîïîñòàâëåíîé äðóãîé òî÷êå. Åñëè ïðè îòîáðàæåíèè ïëîñêîñòè íà ñåáÿ ôèãóðà F ïðåîáðàçîâûâàåòñÿ â ôèãóðó F', òî ãîâîðÿò, ÷òî ôèãóðà F' - îáðàç ôèãóðû F, à ôèãóðà F - ïðîîáðàç ôèãóðû F'. Åñëè îäíèì îòîáðàæåíèåì ôèãóðà F ïåðåâîäèòñÿ â ôèãóðó F', à çàòåì ôèãóðà F' ïåðåâîäèòñÿ â ôèãóðó F'', òî îòîáðàæåíèå, ïåðåâîäÿùåå F â F'' íàçûâàåòñÿ êîìïîçèöèåé äâóõ îòîáðàæåíèé. Íåïîäâèæíîé òî÷êîé îòîáðàæåíèÿ íàçûâàåòñÿ òàêàÿ òî÷êà A êîòîðàÿ ýòèì îòîáðàæåíèåì ïåðåâîäèòñÿ ñàìà â ñåáÿ. Îòîáðàæåíèå, âñå òî÷êè êîòîðîãî íåïîäâèæíûå íàçûâàåòñÿ òîæäåñòâåííûì îòîáðàæåíèåì. Åñëè ïðè äàííîì îòîáðàæåíèè ðàçíûì òî÷êàì ôèãóðû ñîîòâåòñòâóþò ðàçíûå îáðàçû, òî òàêîå îòîáðàæåíèå íàçûâàåòñÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íûì. Ïóñòü ôèãóðà F' ïîëó÷åíà èç ôèãóðû F âçàèìíî îäíîçíà÷íûì îòîáðàæåíèåì f, òî ìîæíî çàäàòü îòîáðàæåíèå îáðàòíîå îòîáðàæåíèþ f, êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ òàê: êîìïîçèöèÿ îòîáðàæåíèÿ f è îòîáðàæåíèÿ, îáðàòíîãî f ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííûì îòîáðàæåíèåì. Ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî âèäîâ îòîáðàæåíèÿ ïëîñêîñòè íà ñåáÿ, ðàññìîòðèì íåêîòîðûå èç íèõ:
Äâèæåíèÿ
Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ
Îñåâàÿ ñèììåòðèÿ
Ïîâîðîò âîêðóã òî÷êè
Öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ
Ïîäîáèå
Ãîìîòåòèÿ
Äâèæåíèå
Äâèæåíèåì íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå ïëîñêîñòè íà ñåáÿ ïðè êîòîððîì ñîõðàíàÿþòñÿ âñå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó òî÷êàìè. Äâèæåíèå èìååò ðÿä âàæíûõ ñâîéñòâ:
Òðè òî÷êè, ëåæàùèå íà îäíîé ïðÿìîé, ïðè äâèæåíèè ïåðåõîäÿò â òðè òî÷êè, ëåæàùèå íà îäíîé ïðÿìîé, è òðè òî÷êè, íå ëåæàùèå íà îäíîé ïðÿìîé, ïåðåõîäÿò â òðè òî÷êè, íå ëåæàùèå íà îäíîé ïðÿìîé.
Äîêîçàòåëüñòâî: ïóñòü äâèæåíèå ïåðåâîäèò òî÷êè A, B, C â òî÷êè A', B', C'. Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâà
A'B'=AB , A'C'=AC , B'C'=BC (1)
Åñëè òî÷êè A, B, C ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé, òî îäíà èç íèõ, íàïðèìåð òî÷êà B ëåæèò ìåæäó äâóìÿ äðóãèìè.  ýòîì ñëó÷àå AB+BC=AC, è èç ðàâåíñòâ (1) ñëåäóåò, ÷òî A'C'+B'C'=A'C'. À èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî òî÷êà B' ëåæèò ìåæäó òî÷êàìè A' è C'. Ïåðâîå óòâåðæäåíèå äîêàçàíî. Âòîðîå óòâåðæäåíèå äîêàæåì ìåòîäîì îò ïðîòèâíîãî: Ïðåäïîëîæèì, ÷òî òî÷êè A', B', C' ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé äàæå â òîì ñëó÷àå, åñëè òî÷êè A, B, C íå ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé, òî åñòü ÿâëÿþòñÿ âåðøèíàìè òðåóãîëüíèêà. Òîãäà äîëæíû âûïîëíÿòñÿ íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà:
AB<AC+BC
AC<AB+BC
BC<AB+AC
íî èç ðàâåíñòâ (1) ñëåäóåò, ÷òî òå æå íåðàâåíñòâà äîëæíû âûïîëíÿòñÿ è äëÿ òî÷åê A', B', C' ñëåäîâòåëüíî òî÷êè A', B', C' äîëæíû áûòü âåðøèíàìè òðåóãîëüêà, ñëåäîâòåëüíî òî÷êè A', B', C' íå äîëæíû ëåæàòü íà îäíîé ïðÿìîé.
Îòðåçîê äâèæåíèå ïåðåâîäèòñÿ â îòðåçîê.
Ïðè äâèæåíèè ëó÷ ïåðåõîäèò â ëó÷, ïðÿìàÿ â ïððÿìóþ.
Òðåóãîëüíèê äâèæåíèåì ïåðåâîäèòñÿ â òðåóãîëüíèê.
Äâèæåíèå ñîõðàíÿåò âåëè÷èíû óãëîâ.
Ïðè äâèæåíèè ñîõðàíÿþòñÿ ïëîùàäè ìíîãîóãîëüíûõ ôèãóð.
Äâèæåíèå îáðàòèìî. Îòîáðàæåíèå, îáðàòíîå äâèæåíèþ ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì.
Êîìïîçèöèÿ äâóõ äâèæåíèé òàêæå ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì.
Èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå äâèæåíèÿ ìîæíî äàòü òàêîå îïðåäåëåíèå ðàâíåñòâà ôèãóð:
Äâå ôèãóðû íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè, åñëè îäíó èç íèõ ìîæíî ïåðåâåñòè â äðóãóþ íåêîòîðûì äâèæåíèåì.
Âèäû äâèæåíèé
Íà ïëîñêîñòè ñóùåñòâóþò ÷åòûðå òèïà äâèæåíèé:
Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ.
Îñåâàÿ ñèììåòðèÿ
Ïîâîðîò âîêðóã òî÷êè
Öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ
Ðàññìîòðèì ïîäðîáíåå êàæäûé âèä.
Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ
Ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì íàçûâàåòñÿ òàêîå äâèæåíèå, ïðè êîòîðîì âñå òî÷êè ïëîñêîñòè ïåðåìåùàþòñÿ â îäíîì è òîì æå íàïðàâëåíèè íà îäèíàêîâîå ðàññòîÿíèå.
Ï
îäðîáíåå:
ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ïðîèçâîëüíûì
òî÷êàì ïëîñêîñòè X è Y ñòàâèò â ñîîòâåòñâèå
òàêèå òî÷êè X' è Y', ÷òî XX'=YY' èëè åùå ìîæíî
ñêàçàòü òàê: ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ýòî
îòîáðàæåíèå, ïðè êîòîðîì âñå òî÷êè
ïëîñêîñòè ïåðåìåùàþòñÿ íà îäèí è òîò
æå âåêòîð - âåêòîð ïåðåíîñà.
Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ çàäàåòñÿ âåêòîðîì
ïåðåíîñà: çíàÿ ýòîò âåêòîð âñåãäà ìîæíî
ñêàçàòü, â êàêóþ òî÷êó ïåðåéäåò ëþáàÿ
òî÷êà ïëîñêîñòè.
Ï
àðàëëåëüíûé
ïåðåíîñ ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì, ñîõðàíÿþùèì
íàïðàâëåíèÿ. Äåéñâòèòåëüíî, ïóñòü
ïðè ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñå òî÷êè X è Y
ïåðåøëè â òî÷êè X' è Y' ñîîòâåòñòâåííî.
Òîãäà âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî XX'=YY'. Íî èç
ýòîãî ðàâåíñòâà ïî ïðèçíàêó ðàâíûõ
âåêòîðîâ ñëåäóò, ÷òî XY=X'Y', îòêóäà ïîëó÷àåì,
÷òî âî-ïåðâûõ XY=X'Y', òî åñòü ïàðàëëåëüíûé
ïåðåíîñ ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì, è âî âòîðûõ,
÷òî XY X'Y', òî åñòü ïðè ïàðàëëåëüíîì
ïåðåíîñå ñîõðàíÿþòñÿ íàïðàâëåíèÿ.
Ýòî ñâîéñòâî ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà - åãî õàðàêòåðíîå ñâîéñòâî, òî åñòü ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå: äâèæåíèå, ñîõðàíÿþùåå íàïðàâëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì.
Îñåâàÿ ñèììåòðèÿ
Òî÷êè X è X' íàçûâàþòñÿ ñèììåòðè÷íûìè îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé a, è êàæäàÿ èç íèõ ñèììåòðè÷íîé äðóãîé, åñëè a ÿâëÿåòñÿ ñåðèäèííûì ïåðïåíäèêóëÿðîì îòðåçêà XX'. Êàæäàÿ òî÷êà ïðÿìîé a ñ÷èòàåòñÿ ñèììåòðè÷íà ñàìîé ñåáå (îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé a). Åñëè äàíà ïðÿìàÿ a, òî êàæäîé òî÷êå X ñîîòâåòñâóåò åäèíñòâåííàÿ òî÷êà X', ñèììåòðè÷íàÿ X îòíîñèòåëüíî a.
Ñèììåòðèåé ïëîñêîñòè îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé a íàçûâàåòñÿ òàêîå îòîáðàæåíèå, ïðè êîòîðîì êàæäîé òî÷êå ýòîé ïëîñêîñòè ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå òî÷êà, ñèììåòðè÷åíàÿ åé îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé a.
Äîêàæåì, ÷òî îñåâàÿ ñèììåòðèÿ ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì óñïóëüçóÿ ìåòîä êîîðäèíàò: ïðèìåì ïðÿìóþ a çà îñü x äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò. Òîãäà ïðè ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî íåå òî÷êà, èìåþùàÿ êîîðäèíàòû (x;y) áóäåò ïðåîáðàçîâàíà â òî÷êó ñ êîîðäèíàòàìè (x, -y).
Âîçüìåì ëþáûå äâå òî÷êè A(x>1>, y>1>) è B(x>2>, y>2>) è ðàññìîòðèì ñèììåòðè÷íûå èì îòíîñèòåëüíî îñè x òî÷êè A'(x>1>,- y>1>) è B'(x>2>, -y>2>). Âû÷èñëÿÿ ðàñòîÿíèÿ A'B' è AB, ïîëó÷èì
> >Òàêèì îáðàçîì îñåâàÿ ñèììåòðèÿ ñîõðàíÿåò ðàññòîÿíèå, ñëåäîâòåëüíî îíà ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì.
Ïîâîðîò
Ïîâîðîò ïëîñêîñòè îòíîñèòåëüíî öåòðà O íà äàííûé óãîë > > (> >) â äàííîì íàïðàâëåíèè îïðåäåëÿåòñÿ òàê: êàæäîé òî÷êå X ïëîñêîñòè ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñâèå òàêàÿ òî÷êà X', ÷òî, âî-ïåðâûõ, OX'=OX, âî-âòîðûõ > > è, â-òðåòèõ, ëó÷ OX' îòêëàäûâàåòñÿ îò ëó÷à OX â çàäàííîì íàïðàâëåíèè. Òî÷êà O íàçûâàåòñÿ öåíòðîì ïîâîðîòà, à óãîë > >-óãëîì ïîâîðîòà.
Äîêàæåì, ÷òî ïîâîðîò ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì:
Ïóñòü ïðè ïîâîðîòå âîêðóã òî÷êè O òî÷êàì X è Y ñîïîñòîâëÿþòñÿ òî÷êè X' è Y'. Ïîêàæåì, ÷òî X'Y'=XY.
Ðàññìîòðèì îáùèé ñëó÷àé, êîãäà òî÷êè O, X, Y íå ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. Òîãäà óãîë X'OY' ðàâåí óãëó XOY. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü óãîë XOY îò OX ê OY îòñ÷èòûâàåòñÿ â íàïðàâëåíèè ïîâîðîòà. (Åñëè ýòî íå òàê, òî ðàññìàòðèâàåì óãîë YOX). Òîãäà óãîë ìåæäó OX è OY' ðàâåí ñóììå óãëà XOY è óãëà ïîâîðîòà (îò OY ê OY'):
> >
ñ äðóãîé ñòîðîíû,
> >
Òàê êàê > >(êàê óãëû ïîâîðîòà), ñëåäîâòåëüíî > >. Êðîìå òîãî, OX'=OX, è OY'=OY. Ïîýòîìó > >- ïî äâóì ñòîðîíàì è óãëó ìåæäó íèìè. Ñëåäîâòåëüíî X'Y'=XY.
Åñëè æå òî÷êè O, X, Y ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé, òî îòðåçêè XY è X'Y' áóäóò ëèáî ñóììîé, ëþáî ðàçíîñòüþ ðàâíûõ îòðåçêîâ OX, OY è OX', OY'. Ïîýòîìó è â ýòîì ñëó÷àå X'Y'=XY. Èòàê, ïîâîðîò ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì.
Öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ
Ìîæíî äàòü òàêîå îïðåäåëåíèå:
Öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ ñ öåòðîì â òî÷êå O ýòî òàêîå îòîáðàæåíèå ïëîñêîñòè, ïðè êîòîðîì ëþáîé òî÷êå X ñîïîñòàâëÿåòñÿ òàêàÿ òî÷êà X', ÷òî òî÷êà O ÿâëÿåòñÿ ñåðèäèíîé îòðåçêà XX'.
Îäíàêî ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ïîâîðîòà, à èìåííî, ïîâîðîòà íà 180 ãðàäóñîâ. Äåéñòâèòåëüíî,ïóñòü ïðè öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî òî÷êè O òî÷êà X ïåðåøëà â X'. Òîãäà óãîë XOX'=180 ãðàäóñîâ, êàê ðàçâåðíóòûé, è XO=OX', ñëåäîâòåëüíî òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå ÿâëÿåòñÿ ïîâîðîòîì íà 180 ãðàäóñîâ. Îòñþäà òàêæå ñëåäóåò, ÷òî öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì.
Öåíòðàëüíàÿ
ñèììåòðèÿ ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì, èçìåíÿþùèì
íàïðàâëåíèÿ íà ïðîòèâîïîëîæíûå.Òî
åñòü åñëè ïðè öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè
îòíîñèòåëüíî òî÷êè O òî÷êàì X è Y
ñîîòâåòñâóþò òî÷êè X' è Y', òî
XY= - X'Y'
Äîêàçàòåëüñòâî:
Ïîñêîëüêó òî÷êà O - ñåðåäèíà îòðåçêà
XX', òî, î÷åâèäíî,
OX'= - OX
Àíàëîãè÷íî
OY'= - OY
Ó÷èòûâàÿ ýòî íàõîäèì âåêòîð X'Y':
X'Y'=OY'OX'=OY+OX=(OYOX)= XY
>>
Òàêèì îáðàçîì X'Y'=XY.
Äàêàçàííîå ñâîéñòâî ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðíûì ñâîéñòâîì öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè, à èìåííî, ñïðàâåäëèâî îáðàòíîå óòâåðæäåíèå, ÿâëÿþùååñÿ ïðèçíàêîì öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè: "Äâèæåíèå, èçìåíÿþùåå íàïðàâëåíèÿ íà ïðîòèâîïîëîæíûå, ÿâëÿåòñÿ öåíòðàëüíîé ñèììåòðèåé."
Î ñèììåòðèè ôèãóð
Ãîâîðÿò, ÷òî ôèãóðà îáëàäàåò ñèììåòðèåé (ñèììåòðè÷íà), åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå äâèæåíèå (íå òîæäåñòâåííîå), ïåðåâîäÿùåå ýòó ôèãóðó â ñåáÿ.
Íàïðèìåð, ôèãóðà îáëàäàåò ïîâîðîòíîé ñèììåòðèåé, åñëè îíà ïåðåõîäèò â ñåáÿ íåêîòîðûì ïîâîðîòîì.
Ðàññìîòðèì ñèììåòðèþ íåêîòîðûõ ôèãóð:
Îòðåçîê èìååò äâå îñè ñèììåòðèè (ñåðåäèííûé ïåðïåíäèêóëÿð è ïðÿìàÿ, ñîäåðæàùàÿ ýòîò îòðåçîê) è öåíòð ñèììåòðèè (ñåðåäèíà).
Òðåóãîëüíèê îáùåãî âèäà íå èìååò îñåé èëè öåíòðîâ ñèììåòðèè, îí íåñèììåòðè÷åí. Ðàâíîáåäðåííûé (íî íå ðàâíîñòîðîííèé) òðåóãîëüíèê èìååò îäíóîñü ñèììåòðèè: ñåðåäèííûé ïåðïåíäèêóëÿð ê îñíîâàíèþ.
Ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê èìååò òðè îñè ñèììåòðèè (ñåðåäèííûå ïåðïåíäèêóëÿðû ê ñòîðîíàì) è ïîâîðîòíóþ ñèììåòðèþ îòíîñèòåëüíî öåíòðà ñ óãëîì ïîâîðîòà 120.
Ó ëþáîãî ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà åñòü n îñåé ñèììåòðèè, âñå îíè ïðîõîäÿò ÷åðåç åãî öåíòð. Îí òàêæå èìååò ïîâîðîòíóþ ñèììåòðèþ îòíîñèòåëüíî öåíòðà ñ óãëîì ïîâîðîòà > >.
Ïðè ÷åòíîì n îäíè îñè ñèììåòðèè ïðîõîäÿò ÷åðåç ïðîòèâîïîëîæíûå âåðøèíû, äðóãèå ÷åðåç ñåðåäèíû ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí.
Ïðè íå÷åòíîì n êàæäàÿ îñü ïðîõîäèò ÷åðåç âåðøèíó è ñåðåäèíó ïðîòèâîïîëæíîé ñòîðîíû.
Öåíòð ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà ñ ÷åòíûì ÷èñëîì ñòîðîí ÿâëÿåòñÿ åãî öåíòðîì ñèììåòðèè. Ó ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà ñ íå÷åòíûì ÷èñëîì ñòîðîí öåíòðà ñèììåòðèè íåò.
Ëþáàÿ ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç öåíòð îêðóæíîñòè ÿâëÿåòñÿ åå îñüþ ñèììåòðèè, îêðóæíîñòü òàêæå îáëàäàåò ïîâîðîòíîé ñèììåòðèåé, ïðè÷åì óãîë ïîâîðîòà ìîæåò áûòü ëþáûì.
Ïîäîáèå
Ïîäîáèåì ñ êîýôôèöèåíòîì k>0 íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå ïëîñêîñòè, ïðè êîòîðîì ëþáûì äâóìÿ òî÷êàì X è Y ñîîòâåòñâóþò òàêèå òî÷êè X' è Y', ÷òî X'Y'=kXY.
Îòìåòèì, ÷òî ïðè k=1 ïîäîáèå ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì, òî åñòü äâèæåíèå åñòü ÷àñòíûé ñëó÷àé ïîäîáèÿ.
Ôèãóðà F íàçûâàåòñÿ ïîäîáíîé ôèãóðå F' ñ êîýôôèöèåíòîì k, åñëè ñóùåñòâóåò ïîäîáèå ñ êîýôôèöèåíòîì k, ïåðåâîäÿùåå F â F'.
Ïðîñòåéøèì, íî âàæíûì ïðèìåðîì ïîäîáèÿ ÿâëÿåòñÿ ãîìîòåòèÿ
Ãîìîòåòèÿ
Ã
îìîòåòèåé
ñ öåíòðîì â òî÷êå O è êîýôôèöèåíòîì k
íàçûâàåòñÿ òàêîå îòîáðàæåíèå ïëîñêîñòè,
ïðè êîòîðîì êàæäîé òî÷êå X ñîïîñòàâëÿåòñÿ
òàêàÿ òî÷êà X', ÷òî OX' = kOX, ïðè÷åì íå
èñëþ÷àåòñÿ è âîçìîæíîñòü k<0.
Ïðè k =1 ïîëó÷àåòñÿ öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ ñ öåíòðîì â òî÷êå O, ïðè k =1 ïîëó÷àåòñÿ òîæäåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå.
Îñíîâíîå ñâîéñòâî ãîìîòåòèè
Ïðè
ãîìîòåòèè ñ êîýôôôèöèåíòîì k êàæäûé
âåêòîð óìíîæàåòñÿ íà k.
Ïîäðîáíåå: åñëè òî÷êè A
è B ïðè ãîìîòåòèè
ñ êîýôôôôèöèåíòîì k
ïåðåøëè â òî÷êè A'
è B', òî
A'B' = kAB
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü
òî÷êà O
öåíòð ãîìîòåòèè. Òîãäà OA'
= kOA, OB'
= kOB. Ïîýòîìó A'B'
= OB'
OA' = kOB
kOA
= k(OB
OA)
= kAB.
Èç
ðàâíåòñâà A'B'
= kAB ñëåäóåò, ÷òî
A'B' = |k|AB, òî åñòü ãîìîòåòèÿ ñ êîýôôèöèåíòîì
k ÿâëÿåòñÿ ïîäîáèåì ñ êîýôôôèöèåíòîì
|k|.
Îòìåòèì, ÷òî ëþáîå ïîäîáèå ñ êîýôôèöèåíòîì k ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå êîìïîçèöèè ãîìîòåòèè ñ êîýôôèöèåíòîì k è äâèæåíèÿ.
Íåêîòîðûå ñâîéñòâà ãîìîòåòèè
Ãîìîòåòèÿ îòðåçîê ïåðåâîäèò â îòðåçîê.
Ãîìîòåòèÿ ñîõðàíÿåò âåëè÷èíó óãëîâ.
.
Êîìïîçèöèÿ äâóõ ãîìîòåòèé ñ îáùèì öåíòðîì è êîýôôèöèåíòàìè k>1> è k>2> ,áóäåò ãîìîòåòèåé ñ òåì æå öåíòðîì è êîýôôèöèåíòîì Ïðåîáðàçîâàíèå, îáðàòíîå ãîìîòåòèè ñ êîýôôèöèåíòîì k áóäåò ãîìîòåòèåé ñ òåì æå öåíòðîì è êîýôôèöèåíòîì 1/k.
Ñâîéñòâà ïîäîáèÿ.
Ïîäîáèå îòðåçîê ïåðåâîäèò â îòðåçîê.
Ïîäîáèå ñîõðàíÿåò âåëè÷èíó óãëîâ.
Ïîäîáèå òðåóãîëüíèê ïåðåâîäèò â òðåóãîëüíèê. Ñîîòâåòñâåííûå ñòîðîíû ýòèõ òðåóãîëüíèêîâ ïðîïîðöèîíàëüíû, à ñîîòâåòñâåííûå óãëû ðàâíû
 ðåçóëüòàòå ïîäîáèÿ ñ êîýôôèöèåíòîì k ïëîùàäè ôèãóð óìíîæàþòñÿ íà k2.
Êîìïîçèöèÿ ïîäîáèé ñ êîýôôèöèåíòàìè k>1> è k>2 >åñòü ïîäîáèå ñ êîýôôèöèåíòîì k>1>k>2>.
Ïîäîáèå îáðàòèìî. Îòîáðàæåíèå, îáðàòíîå ïîäîáèþ ñ êîýôôèöèåíòîì k åñòü ïîäîáèå ñ êîýôôèöèåíòîì 1/k.