Математический анализ (работа 2)

1.Счетные и несчетные множества. Счетность множества рациональных чисел.

Множество - совокупность некоторых объектов

Элементы множества - объекты составляющие множество

Числовые множества - множества элементами которых являются числа.

Задать множество значит указать все его элементы:

1 Способ: А={а: Р(а)} эти записи Читать- множество тех а таких что...

A={а-Р(а)} равноценны

Р(а) - предикат = высказывание об элементе, бывает ложно или истинно по отношению к кокретному элементу. Множество А состоит из тех а для которых предикат истина.

2 Способ: Конструирование из других множеств:

AB = {c: cA cB}, AB = {c: cA  cB}, A\ B = {c: cA  сB}

U - универсальное множество (фиксированное)

UA; U \ A = A’ = cA (A’ - дополнение множества A)

Свойства:

1. A(BC)=(AB)C - ассоциативность; AB=BA - коммутативность; A=A; AU=U

2. A (BC)=(AB)(AC) & A (BC)=(AB)(AC) - дистрибутивность; А=А

A” =A - закон исключающий третьего (AB)’=A’B’; (AB)’=A’B’; AA’=

Иллюстрация свойств: Диаграммы Эйлера-Венна.

"=>" c(AB)’ => cAB => cA & cB => c A’ & cB’ => cA’B’

"<=" cA’B’ => cA’ & cB’ => cA & cB => cAB => cAB)’

Отображение множеств:

f:Aна множестве А задано отображение f со значением множества B

aA; b=> b - образ элемента а при отображении f; a - прообраз элемента b при отображении f

Так как для каждого элемента из А ставится в соответствие элемент из В, значит А - область определения (Dom f=А), а область значенийB (Im f B)

Для отображения задают: 1) способ 2) Dom 3) Im

Отображение f инъективно если f(x)=f(x’) => x=x’(разные переходят в разные)

Отображение f сурьективно если Im f =B(каждый переходит в каждый)

Если же отображение инъективно+сурьективно, то множества равномощны(содержат одинаковое кол-во элементов), а отображение биективно - взаимооднозначно.

Счетные множества - множества равномощные множеству натуральных чисел (N)

Теорема: Множество Q счетно.

Докозательство: Q=

Лемма 1:  nN Z/n - счетно.

Каждому элементу из N надо взаимноднозначно сопоставить элемент Z/n:

10/n 5-2/n

2/n 63/n

3-1/n 7-3/n

42/n ...

Лемма 2: Объединение счетного или конечного(не более чем счетного) числа счетных множеств - счетно.

А1={а>11>, а>12>, а>13>,...}

А2={а>21>, а>22>, а>23>,...}

А3={а>31>, а>32>, а>33>,...}

...

Применяем диагональную нумерацию (а>11> - 1; а>21> - 2; а>12> - 3; а>31> - 4; а>22> - 5...) и таким образом взаимнооднозначно сопоставляем каждому элементу из таблицы его номер, значит объединение счетного или конечного числа счетных множеств - счетно.

Часть может быть равномощна целому: (-1,1) равномощен R (через полуокружность и лучи)

Из Леммы1 и Леммы 2 получаем: Множество рациональных чисел счетно

2. Определение действительного числа бесконечной десятичной дробью. Плотность Q в R.

Действительные числа - множество чисел вида [a>0>],а>1 >a>2 >а>3>... где а>0>Z а>1>,а>2>,а>3>,...{0,1,...,9}

Действительное число представляется в виде суммы целой и дробной части:

[а>о>],а>1> а>2> а>3>...а>к >(0) = а>о> + а>1>/10 + а>2>/100 + ... +а>к>/10k = [а>о>],а>1> а>2> а>3>...а’>к> (9), где а’>к>=а>к-1>

х=[х>о>],х>1> х>2> х>3>...х>к>...

у=[у>о>],у>1> у>2> у>3>...у>к>...

х’>к> - катое приближение икса с недостатком = [х>о>],х>1> х>2> х>3>...х>к>

у”>к> - катое приближение игрека с избытком = [у>о>],у>1> у>2> у>3>...у>к> + 1/10k

х’>к+1> > х’>к >(х’>к> - монотонно растет)

у”>к+1>  у”>k >(у”>k - >не возрастает), т.к. у”>к>=[у>о>],у>1> у>2> у>3>...у>к> + 1/10к

у”>к+1 >= [у>о>],у>1> у>2> у>3>...у>к> у>к+1> + 1/10к+1

у”>к >- у”>к+1> = 1/10к - у>к+1> + 1/10к+1 0

10 - у>к+1> - 1 / 10к+1  0

9 у>к+1>

Определение: 1) х > у <=> к: х’>к> > у”>к>

2) х = у <=> х’>к> не> у”>к> & у”>к> не> х’>к>

По определению получаем, что [1],(0)=[0],(9)

Свойства: 1)х, у либо х<у, либо х>у, либо х=у

2) х>у & у>z => х>z

3) х не> х

Док-во (2): х>у у>z

х’к>у”к у’m>z”m

n=max{k;m}

х’nх’к>у”ку”n у’n у’m>z”mz”n

у”n>у’n => х’n>z”n

Определение: Если АR и  х,уR  аА: х<а<у, то А плотно в R

Теорема: Q плотно в R.

Доказательство: х > у х’к > у”к х  х’к у”к  у

х  х’к / 2 + х’к / 2 > х’к / 2 + у”к / 2 > у”к / 2 + у”к / 2 > у

Видим: х > х’к / 2 + у”к / 2 > у, где (х’к / 2 + у”к / 2)Q

3.Несчетность множества действительных чисел.

Теорема: R несчетно.

Доказательство от противного:

1х>1>=[х>1>], х>11> х>12> х>13>... |

2х>2>=[х>2>], х>21> х>22 >х>23>... | Пусть здесь нет девяток в периоде

3х>3>=[х>3>], х>31> х>32> х>33>... |

... | (*)

кх>к>=[х>к >], х>к1> х>к2> х>к3>... |

... |

Найдем число которого нет в таблице:

с=[с], с>1> с>2> с>3>...

[с][х>1>] => сх>1>

с>1>  {9;х>21>} => сх>2>

с>2>  {9;х>32>} => сх>3>

...

с>к>  {9;х>к+1к>} => сх>к>

Таким образом С - число которое отсутствует в таблице (*)

5.Теорема Дедекинда о полноте R

Пусть 1) 0АR; 2)  aA,  b: а<b; 3) АB=R, тогда ! сR:  aA,  b: асb

Замечания: 1) для Q и I не выполняется (между двумя иррациональными всегда одно рациональное следует из теоремы о плотности Q в R)

2) А называют нижним множеством сечения (нижний класс), В называют верхним множеством сечения (верхний класс)

Доказательство:

aA,  b: а<b => A ограничено сверху => SupA=m => b: bm => B ограничено снизу => InfB=n, mn

Докажем, что m = n:

Пусть m<n, тогда из теоремы о плотности Q в R следует, что  сQ: m<c<n => cА & cВ - невозможно по свойству 3 отсюда и из того, что mn

следует, что m=n если обозначим m=n через c, то получим асb

Докажем, что с единственное(от противного):

Пусть с’с,с’>с (с’<с), так как c=n=InfB=m=SupA=>по опр-нию. с’>с (с’<с) найдется такое b(a), что b<c’ (a>c’)-противоречие с aA, b: асb

8.Лемма о зажатой последовательности (Лемма о двух милиционерах)

Если n>0>:n>n>0> x>N>y>N>z>N> и Lim x>N>=x, Lim z>N>=z, причем x=z, то Lim y>N>=y => x=y=z.

Доказательство: n>n>0> x>N>y>N>z>N>

Возьмем произвольно Е>0, тогда  n’: n>n’ x>N>(х-Е,х+Е) &  n”: n>n” z>N>(х-Е,х+Е) => n>max{n>0>,n’,n”} y>N>(x-E,x+E)

4. Верхние и нижние грани числовых множеств.

Определение: АR mR, m - верхняя (нижняя) грань А, если аА аm (аm).

Определение: Множество A ограничено сверху (снизу), если существует такое m, что аА, выполняется аm (аm).

Определение: SupA=m, если 1) m - верхняя грань A

2) m’: m’<m => m’ не верхняя грань A

InfA = n, если 1) n - нижняя грань A

2) n’: n’>n => n’ не нижняя грань A

Определение: SupA=m называется число, такое что: 1)  aA am

2) >0 a>>A, такое, что a>>a-

InfA = nназывается число, такое что: 1) 1)  aA an

2) >0 a>>A, такое, что a>E>a+

Теорема: Любое, непустое ограниченное сверху множество АR, имееет точную верхнюю грань, причем единственную.

Доказательство:

Построим на числовой прямой число m и докажем что это точная верхняя грань А.

[m]=max{[a]:aA} [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - верхняя грань A

Отрезок [[m],[m]+1] - разбиваем на 10 частей

m>1>=max[10*{a-[m]:aA}]

m>2>=max[100*{a-[m],m>1>:aA}]

...

m>к>=max[10K*{a-[m],m>1>...m>K-1>:aA}]

[[m],m>1>...m>K>, [m],m>1>...m>K + 1>/10K]A=>[m],m>1>...m>K> + 1/10K - верхняя грань A

Докажем, что m=[m],m>1>...m>K> - точная верхняя грань и что она единственная:

к: [m’>K>,m”>K>)Aк аА: а<m”>K>

Единственность(от противного):

аА, пусть а>m”>K >=>  к: а’>K>>m”>K >=> аа’>K>>m”>K> - это противоречит ограниченности => am

Точная верхняя грань:

Пусть l<m, тогда  к: m’>K>>l”>K>, но так как к [m’>K>,m”>K>)A =>  а[m’>K>,m”>K>) => а>l =>l - не верхняя грань.

Теорема: Любое, непустое ограниченное снизу множество АR, имееет точную нижнюю грань, причем единственную.

Рассмотрим множество B{-а: аА}, оно ограничено сверху и не пусто => -SupB=InfA

6.Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Их свойства.

Определение: Последовательность а>N> называется бесконечно малой (бм) если ее предел равен нулю (Е>0  n>0>: n>n>0> |а>N>|<Е)

Теорема: Сумма (разность) бм последовательностей является бм последовательностью.

Доказательство: Пусть Lim a>N>=Lim b>N>=0, c>N>=a>N>+b>N>, d>N>=a>N>-b>N>. Так как вне любой эпсилон-окрестности точки 0 (в частности окрестности Е/2) лежит конечное число членов последовательности a>N>, т.е.  n’: n>n’: |a>N>|<Е/2. Аналогично  n”: n>n”: |b>N>|<Е/2. При n>max{n’,n”} выполнены оба неравен ства |a>N>|<Е/2 & |b>N>|<Е/2 => при любом n> max{n’,n”} имеем: |c>N>|=|a>N>+b>N>||a>N>|+|b>N>|<E/2 + E/2 = E => |d>N>|=|a>N>-b>N>| |a>N>|+|b>N>|<E/2 + E/2 = E

Теорема: Произведение бм и ограниченной последовательности - бм последовательность.

Доказательство: Пусть a>N> - бм посл-ть, b>N> - ограниченная посл-ть z>N>=a>N>*b>N>.

Т.к. b>N> - ограниченная посл-ть, значит  такое с: |b>N>|с0

Т.к. a>N> - бм посл-ть, значит вне любой Е-окрестности точки 0 (в частности Е/с)лежит конечное число членов посл-ти a>N>, т.е.  n>0>: n>n>0> |a>N>|<Е/с.Таким образом n>n>0>: |z>N>|=|a>N>*b>N>|=|a>N>|*|b>N>|<Е/с * с=Е

Следствие: произведение бм посл-тей - тоже бм посл-ть

Теорема: Пусть a>N> - бм. Еслиn’: n>n’ последовательностьть |b>N>|a>N> => b>N> - бм

Доказательство: a>N> - бм =>  n”: n>n”: |a>N>|<Е. Для n>=max{n’,n”} |b>N>||a>N>|<Е

Определение: Последовательность а>N> называется бесконечно большой (бб) если Е>0  n>0>: n>n>0> |а>N>|>Е)

Теорема: Если a>N> - бм, то 1/a>N> - бб последовательностьть, обратное тоже верно.

Доказательство:

"=>" a>N>-бм=>вне любой эпсилон-окрестности точки 0 (в частности 1/Е) находится конечное число членов посл-ти, т.е. n>0>: n>n>0> |a>N>|<1/E =>1/|a>N>|>Е.

"<=" 1/|a>N>| - бб последовательность => Е>0  n>0>: n>n>0> 1/|a>N>|>1/Е => |a>N>|<Е

Теорема: Пусть a>N> - бб. Если  n’: n>n’ последовательность b>N>|a>N>| => b>N> - бб.

Доказательство: a>N> - бб =>  n”: n>n” |a>N>|>Е. Для n>max{n’,n”} b>N>|a>N>|>Е

7.Арифметика пределов

Предложение: Число а является пределом последовательности a>N> если разность a>N>-a является бм (обратное тоже верно)

Докозательство: Т.к. Lim a>N>=a, то |a>N>-a|<Е. Пусть >N>=a>N>-a. |>N>|=|a>N>-a|<Е

Обратное: Пусть >N>=a>N>-a, т.к. >N> - бм => |>N>|Е. |>N>|=|a>N>-a|<Е

Теорема: Если Lim x>N>=x, Lim y>N>=y, то:

     Lim (x>N>+y>N>) и Lim (x>N>+y>N>)=х+у

     Lim (x>N>*y>N>) и Lim (x>N>*y>N>)=х*у

    n y>N>0 & y0 =>  Lim (x>N>/y>N>) и Lim(x>N>/y>N>)=х/у

Доказательство:

Пусть x>N>=х+>N>, >N> - бм; y>N>=у+>N>, >N >- бм

1) (x>N>+y>N>)-(х+у)=>N>+>N >(По теореме о сумме бм: >N>+>N >- бм => (x>N>+y>n>)-(х+у)-бм, дальше по предложению)

2) x>N>*y>N> - х*у = х*>N>+у*>N>+>N>*>N >(По теоремам о сумме бм посл-тей и * бм посл-тей на огр. посл-ти получаем: x>N>*y>N> - х*у - бм, дальше по предл-нию)

3) x>N>/y>N> - х/у = (у*>N>-х*>N>) / (у*(у+>N>))= (у*>N>-х*>N>) * 1/у * 1/у>N > доказательство сводится к доказательству утверждения: если у>n> - сходящаяся не к 0 посл-ть, то 1/у>N> тоже сходящаяся последовательность: Lim у>N>=y => по определению предела получаем  n>0>: n>n>0 >|уn-у|<у/2 (Е=y/2), что равносильно неравенству: у-у/2<у>N><у/2+у, откуда получаем: |у>N>|у>N>>у/2.|у>N>|>у/2=>1/|у>N>|<2/у => n: 1/|у>N>|max{2/у, 1/у>1>, 1/у>2>,...1/у>no>}

Теорема: Если х>N> сходится к х, y>N> сходится к у и  n>0>: n>n>0> последовательность х>N>у>N>, то ху

Доказательство(от противного): Пусть х>у. Из опр. предела E>0 (в частности Е<(у-х)/2): n’: n>n’ |x>N>-x|<E и n”:n>n” |y>N>-y|<E. Получаем n>max{n’,n”} все члены посл-ти x>N> будут лежать в Е-окрестности точки х, а все члены посл-ти у>N> будут лежать в Е-окрестности точки у, причем

(х-Е,х+Е)(у-Е,у+Е)=. И т.к мы предположили, что х>у, то n>max{n’,n”}: х>N>>у>N> - противоречие с условием => ху.

5. Определение предела последовательности и его единственность.

Определение: Пусть даны два множества Х и У. Если каждому элементу хХ сопоставлен по определенному правилу некоторый элемент уУ, то говорят, что на множестве Х определена функция f и пишут f:ХУ или х (f(х)| хХ).

Определение: Последовательность-это ф-ция определенная на мн-ве N, со значениями во мн-ве R f:NR. Значение такой ф-ции в (.) nN обозначают а>N>.

Способы задания:

1) Аналитический: Формула общего члена

2) Рекуррентный: (возвратная) формула: Любой член последовательности начиная с некоторого выражаетс через предидущие. При этом способе задани обычно указывают первый член (или нсколько начальных членов) и формулу, позволющкю определить любой член последовательности через предидущие. Пример: а>1>=а; а>N+1>=а>N> + а

3) Словесный: задание последовательности описанием: Пример: а>N> = n-ый десятичный знак числа Пи

Определение: Число а называется пределом последовательности а>N>, если  n>0:> n>n>0> выполняется неравенство |а>N>-a|<. Обозначение Lim a>N>=a.

Если не существует числа а, являющегося пределом посл-ти, то говорят что последовательность расходится, если существует, то сходится (к числу а).

Геометрически существование предела последовательности означает, что любой интервал вида (а-,а+), называемый эпсилон-окрестностью точки а, содержит все члены последовательности а>N> начиная с некоторого номера, или что то же самое, вне любой эпсилон-окрестности точки а находится ко нечное число членов последовательности а>N>.

Определение: Число а назывется пределом посл-ти а>N> если вне всякой окрестности точки а содержится конечное число членов последова тельности.

Теорема: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство(от противного):

Пусть последовательность а>N> имеет предел а и предел с, причем ас. Выберем такой эпсилон, чтобы пересечение эпсилон-окрестностей точек а и с бы ло пусто. Очевидно достаточно взять эпсилон меньше |а-с|/2. Вне окрестности точки а содержится конечное число членов последовательности => в ок рестности точки с содержится конечное число членов последовательности - противоречие с условием того, что с - предел последовательности.

Теорема: Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство:

Пусть последовательность а>N> сходится к числу а. Возьмем какое-либо эпсилон, вне эпсилон-окрестности точки а лежит конечное число членов последо вательности, значит всегда можно раздвинуть окрестность так, чтобы все члены последовательности в нее попали, а это и означает что последователь ность ограничена.

Замечания: 1) Обратное не верно (аn=(-1)N, ограничена но не сходится)

2) Если существует предел последовательности а>N>, то при отбрасывании или добавлении конечного числа членов предел не меняется.

Порядковые свойства пределов:

Теорема о предельном переходе: Если Lim x>N>=x, Lim y>N>=y, n>0>: n>n>0> х>N>y>N>, тогда xy

Доказательство(от противного):

Пусть х>у => по определению предела  n>0>’: n>n>0>’ |х>N>-х|<E(берем Е<|х-у|/2): &  n>0>”: n>n>0>” |y>N>-y|<E. n>max{n>0>’, n>0>”}: |х>N>-х|<|х-у|/2 & |у>N>-у|<|х-у|/2, т.е. получаем 2 интервала (у-Е,у+Е) & (х-Е,х+Е)], причем (у-Е,у+Е)(х-Е,х+Е)=. n>max{n>0>’, n>0>”} х>N>(х-Е,х+Е) & у>N>(у-Е,у+Е) учитывая, что х>у получаем: n>max{n>0>’, n>0>”} х>N>>y>N> - противоречие с условием.

Теорема: Если n>0>:n>n>0> a>N>b>N>c>N> и Lim a>N>=a, Lim c>N>=c, причем a=c, то Lim b>N>=b => a=b=c.

Доказательство: Возьмем произвольно Е>0, тогда  n’: n>n’ => c>N><(a+E) &  n”: n>n” => (a-E)<a>N>. При n>max{n>0>,n’,n”} (a-E)<a>N>b>N>c>N><(a+E), т.е.  n>max{n>0>,n’,n”}=>b>N>(a-E,a+E)

9. Предел монотонной последовательности

Определение: Последовательность называется монотонно возрастающей (убывающей) если n>1>>n>2> (n>1><n>2>): x>N1>x>N2> (x>N1>x>N2>).

Замечание: Если x>N1> строго больше (меньше) x>N2>, тогда посл-ть называется строго монотонно возрастающая (убывающая) в случае нестрогости неравенства последовательность называется нестрого возрастающей (убывающей).

Теорема: Всякая ограниченная монотонная последовательность сходится.

Доказательство: Пусть х>N> ограниченная монотонно возрастающая последовательность. Х={x>N>: nN}

По теореме о существовании точной верхней грани у ограниченного множества имеем:  SupX=x, Е>0 x>E>: > >(х-Е)<х>E> =>  n>0> x>No>>(х-E). Из монотон ности имеем: n>n>0> x>N>x>No>>(x-E), получили x>N>x=SupX, значит n>n>0> x>N>(x-E,х]<(x-E,x+E)

10.Лемма о вложенных промежутках

Определение: Пусть а,bR и а<b. Числовые множества вида 1-5 - называются числовыми промежутками:

1) Mножество хR: ахb (а<х<b) - называется отрезком (интервалом)

2) Mножество хR: ах<b (а<хb) - открытый справа (слева) промежуток

3) Mножество хR: а<х & x<b - открытый числовой луч

4) Mножество хR: ах & хb - числовой луч

5) Mножество хR - числовая прямая

Определение: Число b и а (если они существуют) называются правым и левым концами отрезка (далее промежутка), и его длина равна b-a

Лемма: Пусть a>N> монотонно возрастает, b>N> монотонно убывает, n a>N>b>N> и (b>N>-a>N>)-бм, тогда ! с: n c[a>N>,b>N>] (с[a>N>,b>N>])

Доказательство:

a>N>b>N>b>1> a>N> монтонно возрастает & a>N>b>1> => Lim a>N>=a

a>1>a>N>b>N> b>N> монтонно убывает & a>1>b>N> =>  Lim b>N>=b

a>N>a bb>N> a>N>b>N> => ab

Lim (b>N>-a>N>)=b-a=0(по условию)=>a=b

Пусть c=a=b, тогда a>N>cb>N>

Пусть с не единственное: a>N>c’b>N>, с’с

a>N>cb>N>=>-b>N>-c-a>N> => a>N>-b>N>c’-cb>N>-a>N >=> (По теореме о предельном переходе) => Lim(a>N>-b>N>)Lim(c’-c)Lim(b>N>-a>N>) => (a-b)Lim(c`-c)b-a) =>

0lim(c`-c)0 => 0(c`-c)0 => c’=c => c - единственное.

Перефразировка Леммы: Пусть имеется бесконечнаz посл-ть вложенных друг в друга промежутков (промежуток 1 вложен в промежуток 2 если все точки промежутка 1 принадлежат промежутку 2: [a1,b1],[a2,b2],...,[an,bn]..., так что каждый последующий содержится в предыдущем, причем длины этих промежутков стремятся к 0 при n lim(b>N>-a>N>)=0, тогда концы промежутков a>N >и b>N> стремятся к общему пределу с (с разных сторон).

42.Локальный экстремум. Теорема Ферма и ее приложение к нахождению наибольших и наименьших значений.

Определение: Пусть задан промежуток I=(a;b), точка x>0>a;bТочка x>0>, называется точкой локалниого min(max), если для всех xa;bвыполняется

f(x>0>)<f(x) (f(x>0>)>f(x)).

Лемма: Пусть функция f(x) имеет конечную производную в точке x>0>. Если эта производная f‘(x>0>)>0(f‘(x>0>)<0), то для значений х, достаточно близких к x>0> справа, будет f(x)>f(x>0>) (f(x)<f(x>0>)), а для значений x, достаточно близких слева, будет f(x)<f(x>0>) (f(x)>f(x>0>)).

Доказательство: По определению производной,.

Если f‘(x>0>)>0, то найдется такая окрестность (x>0>-,x>0>+) точки x>0>, в которой (при хx>0>) (f(x)-f(x>0>))/(x-x>0>)>0. Пусть x>0><x<x+так что х-х>0>>0 => из предыдущего неравенства следует, что f(x)-f(x>0>)>0, т.е. f(x)>f(x>0>). Если же x-x<x>0 >и х-х>0><0, то очевидно и f(x)-f(x>0>)<0, т.е. f(x)<f(x>0>). Ч.т.д.

Теорема Ферма: Пусть функция f(x) определена в некотором промежутке I=(a;b) и во внутренней точке x>0> этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если функция f(x) дифференцируема в точке x>0>, то необходимо f‘(x>0>)=0.

Доказательство: Пусть для определенности f(x) принимает наибольшее значение в точке x>0>. Предположение, что f‘(x>0>)0, приводит к противоречию: либо f‘(x>0>)>0, и тогда (по лемме) f(x)>f(x>0>), если x>x>0> и достаточно близко к x>0>, либо f‘(x>0>)<0, и тогда f(x)>f(x>0>), если x<x>0> и достаточно близко к x>0>. В обоих случаях f(x>0>) не может быть наибольшим значением функции f(x) в промежутке I=(a;b) => получили противоречие => теорема доказана.

Следствие: Если существует наибольшее (наименьшее) значение функции на [a;b] то оно достигается либо на концах промежутка, либо в точках, где производной нет, либо она равна нулю.

43.Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши (о среднем значении).

Теорема Ролля

Пусть 1) f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a;b]

2) сущестует конечная производная f’(x), по крайней мере в отткрытом промежутке (a;b)

3) на концах промежутка функция принимает равные значения: f(a)=f(b)

Тогда между a и b найдется такая точка c(a<c<b), что f’(с)=0.

Доказательство: f(x) непрерывна в замкнутом промежутке [a;b] и потому, по второй теореме Вейерштрасса (Если f(x), определена и непрерывна в замкну том промежутке [a;b], то она достигает в этом промежутке своих точных верхней и нижней границ), принимает в этом промежутке как свое наибольшее значение M, так и свое наименьшее значение m.

Рассмотрим два случая:

1) M=m. Тогда f(x) в промежутке [a;b] сохраняет постоянное значение: неравенство mf(x)M в этом случае x дает f(x)=M => f’(x)=0 во всем промежутке, так что в качестве с можно взять любую точку из (a;b).

2) M>m. По второй теореме Вейерштрасса оба эти значения функцией достигаются, но, так как f(a)=f(b), то хоть одно из них достигается в некоторой точ ке с между a и b. В таком случае из теоремы Ферма (Пусть функция f(x) определена в некотором промежутке I=(a;b) и во внутренней точке x>0> этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если функция f(x) дифференцируема в точке x>0>, то необходимо f‘(x>0>)=0) следует, что произ водная f’(с) в этой точке обращается в нуль.

Теорема Коши:

Пусть 1) f(x) и g(x) непрерывны в замкнутом промежутке [a;b] & g(b)g(a)

2) сущестуют конечные производные f’(x) и g’(x), по крайней мере в отткрытом промежутке (a;b)

3) g’(x)в отткрытом промежутке (a;b)

Тогда между a и b найдется такая точка c(a<c<b), что

Доказательство: Рассмотрим вспомогательную функцию h(x)=[f(x) - f(a) -*(g(x) - g(a))]

Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:

1) h(x) непрерывна на [a;b], как комбинация непрерывных функций

2) сущестует конечная производная h’(x) в (a;b), которая равна h’(x)=f’(x) -*g’(x)

3) прямой подстановкой убеждаемся h(a)=h(b)=0

Вследствие этого в промежутке (a;b) существует такая точка с, что h’(x)=0 => f’(c) -*g’(c) или f’(c) =*g’(c).

Разделив обе части равенства на g’(x) (g’(x)0) получаем требуемое равенство.

Теорема Лагранжа:

Пусть 1) f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a;b]

2) сущестует конечная производная f’(x), по крайней мере в отткрытом промежутке (a;b)

Тогда между a и b найдется такая точка c(a<c<b), что

Доказательство: По теореме Коши, полагая g(x)=x, имеем:

Промежуточное значение с удобно записывать в виде с=а+b-a, где (0;1). Тогда принимая x>0>=a, (b-a)=h, мы получаем следующее следствие:

Следствие: Пусть f(x) дифференцируема в интервале I=(a;b), x>0> x>0>+hтогда 0;1f(x>0>+h)-f(x>0>)=f’(x>0>+h)*h ([x>0>;x>0>+h] h>0, [x>0+>h;x>0>] h<0)

11. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

Определение: Пусть а>N> некоторая числовая посл-ть и k>N>-строго возрастающая посл-ть N чисел. В результате композиции ф-ций na>N> и nk>N> получа ем посл-ть a>Kn>-которая наз. подпосл-тью посл-ти a>N>=>подпосл-сть - это либо сама посл-ть либо исходная посл-ть, из которой выбросили часть членов.

Теорема: Если Lim а>N>=а, то и Lim а>Kn>=а.

Доказательство: Вне любой Е-окрестности точки а лежит конечное число членов последовательности аn и в частности последовательности.

Доказательство: Пусть для заданного Е нашлось n>0>: n>n>0> |а>N>-а|<Е, ввиду того что k>N>существует и такое n’, что при всех n>n’ k>N>>n>0> тогда при тех же значениях n будет верно |а>Kn>-а|<Е

Теорема Больцано-Вейерштрасса: Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство: х>N> - ограничена => n: ах>N>b. Поделим промежуток [a,b] пополам, хотя бы в одной его половине содержится бесконечное множество членов посл-ти х>N> (в противном случае и во всем промежутке содержится конечное число членов посл-ти, что невозможно). Пусть [а>1>,b>1>] - та половиа, которая содержит бесконечное число членов посл-ти. Аналогично выделим на промежутке [а>1>,b>1>] промежуток [а>2>,b>2>] также содержащий бесконечное число членов посл-ти х>N>. Продолжая процесс до бесконечности на к-том шаге выделим промежуток [а>K>,b>K>]-также содержащий содержащий бесконеч ное число членов посл-ти х>N>. Длина к-того промежутка равна b>K>-а>K> = (b-a)/2K, кроме того она стремится к 0 при к и а>K>а>K+1> & b>K>b>K+1>. Отсюда по лемме о вложенных промежутках ! с: n а>N>cb>N>.

Теперь построим подпоследовательность:

х>N1 >[а>1>,b>1>]

х>N2 >[а>2>,b>2>] n>2>>n>1>

. . .

х>NK>[а>K>,b>K>] n>K>>n>K-1>

ах>Nk>b. (Lim a>K>=Limb>K>=c из леммы о вложенных промежутках)

Отсюда по лемме о зажатой последовательности Lim х>Nk>=c - ч.т.д.

12.Верхний и нижний пределы последовательности.

x>N> - ограниченная последовательность =>n а>N>х>N>b>N>

х>NK>х, так как х>NK>-подпоследовательность => n ах>N>b =>ахb

х - частичный предел последовательности х>N>

Пусть М - множество всех частичных пределов.

Множество М ограничено (аМb) => SupM &  InfM

Верхним пределом посл-ти x>N> называют SupMSup{x>N>}: пишут Lim x>N>

Нижним предел ом посл-ти xn называют InfMnf{x>N>}: пишут lim x>N>

Cуществование нижнего и верхнего пределов вытекает из определения.

Достижимость:

Теорема: Если х>N> ограничена сверху (снизу), то  подпосл-ть х>NK>: предел которой равен верхнему (нижнему) пределу х>N>.

Доказательство: Пусть х=SupM=верхний предел х>N>

 х’М: х-1/к<х’ (следует из того что х - SupМ), т.к. х’М =>  подпоследовательность х>NS>х’ => Е>0 (в частности Е=1/к)  s>0>: s>s>0> =>

х’-1/к<х>NS><х’+1/к

х -1/к-1/к<х’-1/к<х>NS><х’+1/к<х+1/к (т.к.х-1/к<х’ и х’<х=SupМ)

х-2/к<х>NS><х+1/к

Берем к=1: х-2<х>NS><х+1, т.е  s>0>: s>s>0> это неравенство выполняется берем член посл-ти х>NS> с номером больше s>0> и нумеруем его х>N1>

k=1: х-2/1<х>N1><х+1/1

k=2: х-2/2<х>N2><х+1/2 n>1><n>2>

...

k=k: х-2/к<х>NK><х+1/к n>K-1><n>K>

При к х>NK>х

13.Фундаментальные последовательности.

Определение: Последовательность {а>N>} - называется фундаментальной, если Е>0  n>0>: n>n>0> и любого рN выполнено неравенство |а>N>+р-а>N>|<Е. Геометрически это означает что Е>0  n>0>, такой что расстояние между любыми двумя членами посл-ти, с большими чем n>0> номерами, меньше Е.

Критерий Коши сходимости посл-ти: Для того, чтобы данная посл-ть сходилась необходимо и достаточно, чтобы она являлась фундаментальной.

Доказательство:

Необходимость: Пусть Lim x>N>=x, тогда Е>0  n>0>: n>n>0 >|х>N>-х|<Е/2. n>n>0>, n’>n>0> |х>N>-х>N’>|=|х>N>-х+х-х>N’>|<|х>N>-х|+|х-х>N’>|<Е/2+Е/2<Е

Достаточность: Пусть х>N> - фундаментальная

1) Докажем что х>N> ограничена: Е>1>=1998  n>0>: |х>N>-х>N’>|<Е, n>n>0>, n’>n>0>

n>n>0> |х>N>-х>N0>|<Е>1 >х> N0>-1998<х>N><х> N0>+1998 => х>N> - ограничена

2) По теореме Больцано-Вейерштрасса

 подпосл-ть х>NK>х. Можно выбрать к настолько большим, чтобы |х>NK>-х|<Е/2 и одновременно n>к>>n>0>. Следовательно (из фунд-ти) |х>N>-х>NK>|<Е/2 =>

|х>NK>-х|<Е/2 => х-Е/2<х>NK><х+Е/2 => |х>N>-х>NK>|<Е/2 => х>NK>-Е/2<х>N><х>NK>+Е/2 => х-Е<х>N><х+Е => |х>N>-х|<Е

14.Бином Ньютона для натурального показателя.Треугольник Паскаля.

Формула Ньютона для бинома:

n

Разложение Паскаля

(Записав коэффициенты в виде пирамиды - получим треугольник Паскаля)

...

*: к=0,1,...,n

Доказательство(по индукции):

1) n=0 - верно (1+х)0=1 =>(1+х)0 =

2) Пусть верно для n: докажем что это верно и для n+1:

= Ч.т.д

16.Последовательности (во всех пределах n)

1) Lim= 0 (p>0)

- это означает что, мы нашли такое n>0>=: n>n>0> ||<E

2) Lim=1

x>N>= - 1

=1+x>N>

n=(1+x>N>)n

n=

x>N>2<2/(n-1)

При n 0 => x>N>0 (Лемма о зажатой последовательности)=>Lim=Lim (1+x>N>)=1+0=1

16.Последовательность (1+1/n)n и ее предел.

x>N>=; y>N>=; z>N>=y>N >+

x>N> монотонно возрастает: докажем:

x>N>=(1+1/n)n=1+ n/1!*1/n + n*(n-1)/2!*1/n2 +... < 1 + 1/1! + 1/2!+...+1/n! = y>N >=>> >y>N><z>N><3

Воспользуемся неравенством Бернулли (1+x)n1+nx, x>-1) (доказывается по индукции):

x=1/n => (1+1/n)n1+n/n=2

Получили: 2 x>N><3 => x>N> - ограничена, учитывая что x>N> - монотонно возрастает => x>N> - сходится и ее пределом является число е.

17. Последовательности (во всех пределах n)

1) Lim=1, a>0

a) a1:

x>N>=x>N+1>==>  Lim x>N>=x

x>N+1>=x>N> *

x>N>=x>N+1> *

x>N>=x>N+1>*x>N>*(n+1)

Lim x>N>=Lim (x>N+1>*x>N>*(n+1)) => x = x*x => x = 1

б) 0<a<1 b=1/a x>N>=

Lim=1 b=1/a =>= 1/=> Lim= 1/1 = 1

2) Lim = 0, a>1

x>N>=x>N+1>=

т.к. Lim= Lim=Lim=1

=> n>0>: n>n>0> xn+1/xn<1 => СТ x=limxn

x>N+1>=x>N>*

Lim x>N+1 >= Lim x>N>* => x = x*1/a => x=0

Докажем, что если x>N>1 => (x>N>)1:

a) n: x>N>1 и 0

(x>N>) [](x>N>)<(x>N>)[]+1 => по лемме о зажатой посл-ти, учитывая что Lim (x>N>)[]=Lim (x>N>)[]+1=1 (по теореме о Lim произведения) получаем Lim (x>N>)=1

б) n: 0<x>N><1 и 0

y>N>=1/x>N> => yn>1 Lim y>N>=lim1/x>N>=1/1=1 => (по (а)) Lim (y>N>) =1 => lim 1/(x>N>)=1 => Lim (x>N>) =1

Объединим (а) и (б):

x>N>1 >0

x>N1>,x>N2>,...>1 (1)

x>M1>,x>M2>,...<1 (2)

Вне любой окрестности точки 1 лежит конечное число точек (1) и конечное число точек (2) => конечное число точек x>N>.

в) <0

(x>N>) =1/(x>N>) <0 => ->0 => по доказанному для >0 получаем, Lim 1/(x>N>) = 1 => Lim (x>N>)

15. Доказательство формулы e=...

y>N>=; z>N>=y>N >+

1) y>N> монотонно растет

2) y>N><z>N>

3) z>N>-y>N>0

4) z>N> монотонно убывает

Доказателство:

z>N>-z>N+1> = y>N >+ - y>N+1> -= +-=

2=y>1><y>N><z>N><z>1>=3

e = Lim y>N >= Lim z>N> - по лемме о вложенных промежутках имеем: y>N><e<z>N >= y>N> + 1/(n*n!)

Если через >> обозначить отношение разности e - y>N > к числу 1/(n*n!), то можно записать e - y>N >=>>/(n*n!), заменяя y>N> его развернутым выражением получаем e = y>N> + >>/(n*n!), (0,1)

Число e иррационально:

Доказательство(от противного): Пусть e=m/n, mZ, nN

m/n = e = y>N> + >>/(n*n!)

m*(n-1)!= y>N>*n! + >>/n, где (m*(n-1)! & y>N>*n!)Z, (>>/n)Z => противоречие

23. Определения предела функции по Коши и по Гейне. Их эквивалентность.

Определение по Коши: f(x) сходится к числу А при хх>0> если Е>0 >0: 0<|х-х>0>|< & хDf => |f(x)-А|<Е

Определение по Гейне: f(x) сходится к числу А при хх>0> если  последовательности х>N>х>0>, х>N>х>0> f(x>N>)А

Теорема: Два определения эквивалентны:

Д-во: Для эквивалентности определений достаточно доказать, что из сходимости по Коши следует сходимость по Гейне и из сходимости по Гейне следует сходимость по Коши.

1) (К)=>(Г)

Е>0 >0: 0<|х-х>0>|< & хDf => |f(x)-А|<Е - определение Коши

х>N>х>0>, х>N>х>0>, т.к. х>N>х>0> =>  n>0>: n>n>0> 0<|x>N>-x>0>|<Е (Е=) => 0<|x>N>-x>0>|< => по определению Коши |f(x>N>)-А|<Е

2) (Г)=>(К) Воспользуемся законом логики: Если из отрицания B следует отрицание А, то из А следует В:

Таким образом нам надо доказать что из отрицания (К) => отрицание (Г)

Отрицание (К):  Е>0:  >0 x: 0<|x-x>0>|< => |f(x)-A|E

Отрицание (Г):  х>N>х>0>, х>N>х>0>: |f(x>N>)-A|E

 х>N>х>0>, х>N>х>0 >=>  n>0>: n>n>0> 0<|x>N>-x>0>|<Е (Е=) => по отрицанию определения Коши |f(x>N>)-А|Е

Для ф-ции хf(х) определенной на интервале (а,+), определяется предел при х>N> следующим образом: limf(х) при х>N> = Limf(1/t) t+0

(если последний существует). Таким же образом определяются Lim f(х) при х>N> = Lim f(1/t) t0 и х>N> = lim f(1/t) t0

24. Односторонние пределы. Классификация разрывов. Определение непрерывности.

Lim(х>0>|h|) при h0 - называется односторонним правым (левым пределом) ф-ции f(x) в точке х>0>

Теорема: Пусть интервал (x>0>-,x>0>+)\{x>0>} принадлежит области определения ф-ции для некоторго >0. Тогда Lim f(x) в точке х>0> существует <=> когда cуществуют правый и левый предел f(x) в точке х>0> и они равны между собой.

Необходимость: Пусть предел f(х) существует и равен А => Е>0   >0: -<х-х>0>< => |f(х)-А|<Е, т.е.  такое, что как только х попадает в -окрестность точки x>0> сразу f(х) попадает в интервал (f(х)-А,f(х)+А). Если х попадает в интервал (0, x>0>+) => x попадает в интервал (x>0>-,x>0>+) => f(х) попадает в интервал (f(х)-А,f(х)+А) => правый предел существует и он равен А. Если х попадает в интервал (x>0>-,0) => x попадает в интервал (x>0>-,x>0>+) => f(х) попадает в интер вал (f(х)-А,f(х)+А) => левый предел существует и он равен А.

Достаточность: Lim (х>0>|h|) при h0: Lim(х>0>+|h|) = Lim(х>0>-|h|)=А

Е>0  ’ >0: 0<х-х>0><’ => |f(х)-А|<Е

Е>0  ” >0: -”<х-х>0><0 => |f(х)-А|<Е

Получили Е>0  0<=min{’,”}: - <х-хо< => |f(х)-А|<Е

Определение: Функция f(x) называется непрерывной в точке х>0> если при хх>0 >Lim f(х)=f(х>0>). Заменяя в определениях предела фнкции по Коши и по Гейне А на f(х>0>) получаем определения по Коши и по Гейне непрерывности ф-ции f(x) в точке х>0. >Поскольку в опр-нии по Коши нер-во |f(х)-f(х>0>)|<Е выполнено и при х=х>0 >=> в определении можно снять ограничение хх>0> => получим второе равносильное определение:

Определение 2: Функция f(x) называется непрерывной в точке х>0>, если Е>0 >0: - <х-хо< => |f(х)-f(а)|<Е

Аналогично сняв ограничение хх>0> - получим определение по Гейне:

Определение 3: Функция f(x) называется непрерывной в точке х>0>, если  посл-ти х>N>х>0>, f(x>N>)f(a)

Если при хх>0> limf(х)f(х>0>), то говорят что функция f(x) имеет разрыв в точке х>0>. Это происходит если:

а) f(х) неопределена в точке х>0 >

б) Предел f(х) в точке х>0> не существует

в) f(х) определена в х>0> и limf(х) в точке х>0> существует но равенство Дшь f(х)=f(а) не выполняется

Различают:

1) точки разрыва I рода, для которых существуют конечные односторонние пределы (либо они неравны друг другу либо равны, но неравны f(х>0>)

2) точки разрыва II рода - не существует хотя бы один односторонний предел.

Если правый и левый предел в х>0> совпадают, то х>0> называют устранимой точкой разрыва.

Если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности, то х>0> - точка бесконечного разрыва.

Пусть x>0 >- точка разрыва, x>0> называется изолированной, если в некоторой окрестности этой точки других точек разрыва нет.

Если значение правого (левого) предела в точке х>0> совпадает со значением f(x>0>), то f(x) называется непрерывной справа (слева).

Если предел f(x) справа (слева) в точке х>0> не существует, а предел слева (справа) существует и равен значению f(х>0>), то говорят что функция f(x) имеет в точке х>0> разрыв справа (слева). Такие разрывы называют односторонними разрывами f(x) в точке х>0>.

Функция хf(x) называется непрерывной на множестве Х если она непрерывна в каждой точке х этого множества.

26. Арифметика пределов функций. Порядковые свойства пределов.

Теорема: Все пределы в точке х>0>: Пусть ф-ции f:ХR и g:ХR (ХR) таковы, что Lim f(x)=F, Lim g(x)=G, тогда

    Lim f(x) Lim g(x) = FG

    Lim f(x)*Lim g(x) = F*G

    Если G0 и g(x)0 Limf (x) / Lim g(x) = F/G

Доказательство:

1) Е>0(в частности Е/2) ’>0: -’<х-х>0><’ => |f(х)-F|<Е & ”>0: -”<х-х>0><” => |g(х)-G|<Е

Получили Е>0 0<=min{’,”}: -<х-х>0>< =>-Е/2 - Е/2<f(х)-F+g(х)-G<Е/2 + Е/2 => |(f(х)+g(х))-(F+G)|<Е

2) Пусть посл-ть х>N>х>0> (х>N>х>0>, x>N>X), тогда в силу определения предела по Гейне имеем: при n Lim f(x>N>)=F & Lim g(x>N>)=G по теореме об арифметике пределов посл-тей получаем: при n Lim f(x>N>)*g(x>N>)=Lim f(x>N>)*Lim g(x>N>)= F*G => по определению предела по Гейне при хх>0> Lim f(x)*Lim g(x)=F*G

3) Пусть посл-ть х>N>х>0> (х>N>х>0>, x>N>X), тогда в силу определения предела по Гейне имеем: при n Lim f(x>N>)=F & Lim g(x>N>)=G по теореме об арифметике пределов посл-тей получаем: при n Lim f(x>N>)/g(x>N>)=Lim f(x>N>)/Lim g(x>N>)=F/G => по определению предела по Гейне при хх>0> Lim f(x)/Lim g(x)=F/G, G0 и g(x)0.

Порядковые свойства пределов:

Теорема: Если  хX: f(x)g(x), при хх>0> A=Lim f(x), B=Lim g(x), то AB

Доказательство(от противного):

Пусть A>B => из определения предела следует (берем 0<Е<|A-B|/2): ’>0: |х-х>0>|<’ => |f(x)-A|<E & ”>0: |х-х>0>|<” => |g(х)-B|<Е.

Получили, что 0<=min{’;”}: |х-х>0>|< => |f(x)-A|<|A-B|/2 & |g(х)-B|<|A-B|/2, учитывая что А>В и что (А-Е,А+Е)(В-Е,В+Е)= получаем что для

х(х>0>-, х>0>+) f(x)>g(x) - противоречие с условием.

Теорема: Если  хX: f(x)g(x)h(x) и при хх>0> Lim f(x)=А=Lim h(x), то Lim g(x)=А

Доказательство:

Е>0 ’>0: |х-х>0>|<’ => A-E<f(x) & ”>0: |х-х>0>|<” => h(х)<A+Е.

Получили, что 0<=min{’;”}: |х-х>0>|< => A-E<f(x) & h(x)<A+E, так как  хX: f(x)g(x)h(x) => A-E<f(x)g(x)h(x)<A+E => A-E<g(x)<A+E

27. Непрерывность тригонометрических функций. Предел (Sin x)/x при х

1) Sin x:

Lim Sin x = Sin x>0> (при хх>0>)

|Sin x-Sin x>0>|=2*|Sin((x-x>0>)/2)|*|Cos((x+x>0>)/2)| < 2*|(x-x>0>)/2|=|x-x>0>| => -|x-x>0>|<Sin x-Sin x>0><|x-x>0>| при хх>0> => -|x-x>0>|0 & |x-x>0>| => (по теореме о порядковых св-вах предела) (Sin x-Sin x>0>)0

2) Cos x:

Lim Cos x = Cos x>0> (при хх>0>)

Cos x = Sin (П/2 - x) = Sin y; Cos x>0> = Sin (П/2 - x>0>) = Sin y>0>

|Sin y-Sin y>0>|=2*|Sin((y-y>0>)/2)|*|Cos((y+y>0>)/2)| < 2*|(y-y>0>)/2|=|y-y>0>| => -|y-y>0>|<Sin y-Sin y>0><|y-y>0>| при yy>0> -|y-yo|0 & |y-yo|0 => (Sin y-Sin y>0>)0 => производим обратную замену: [Sin (П/2 - x)-Sin(П/2 - x>0>)]0 => (Cos x-Cos x>0>)0

3) Tg x - непрерывная ф-ция исключая точки х = П/2 +2Пк, кZ

4) Ctg x - непрерывная ф-ция исключая точки х = Пк, кZ

Теорема: Lim (Sin x)/x=1 (при х0), 0<x<П/2

Доказательство:

Составляем нер-во для площадей двух треугольников и одного сектора (Sсект=х*R2) откуда и получаем Sinx<x<Tgx, 0<x<П/2. => Cos x < (Sin x)/x < 1. Используем теорему о порядковых св-ах предела ф-ции: Lim Cos xLim (Sin x)/x при x0, 0<x<П/2. Испльзуем непрерывность Сos1Lim (Sin x)/x1 => Lim (Sin x)/x =1, 0<x<П/2

28.Теорема о промежуточном значении непрерывной функции.

Определение: Пусть а,bR и а<b. Числовые множества вида 1-5 - называются числовыми промежутками:

1) Mножество хR: ахb (а<х<b) - называется отрезком (интервалом)

2) Mножество хR: ах<b (а<хb) - открытый справа (слева) промежуток

3) Mножество хR: а<х & x<b - открытый числовой луч

4) Mножество хR: ах & хb - числовой луч

5) Mножество хR - числовая прямая

Теорема: Пусть f(x) непрерывна на [a,b] и с - произвольное число лежащее между f(а) и f(b), тогда существует х>0>[a,b]: f(х>0>)=c.

Доказательство: g(х)=f(х)-с (g(x) - непрерывна). g(а)*g(b)<0

Поделим промежуток [a,b] пополам, если в точке деления g((а+b)/2)=0, то полагая х>0>=(а+b)/2 видим что теорема доказана (g(х>0>)=f(х>0>)-с=0 => f(х>0>)=с). Пусть в точке деления функция g(x) в ноль не обращается, тогда выбираем из двух полученных промежутков тот, для которого g(а>1>)*g(b>1>)<0, делим его пополам если в точке деления функция g(x) обращается в ноль => теорема доказана. Пусть в точке деления функция g(x) в ноль не обращается, тогда выбираем из двух полученных промежутков тот для которого g(а>2>)*g(b>2>)<0... продолжая процесс до бесконечности мы либо получим на каком-либо шаге что ф-ция g(x) обращается в ноль, что означает что теорема доказана, либо получим бесконечное число вложенных друг в друга промежутков. Для n-го промежутка [a>N>,b>N>] будем иметь: g(a>N>)<0, g(b>N>)>0, причем длина его равна b>N>-a>N>=(b-a)/2n0 при n. Построенная посл-ть промежутков удов летворяет условию Леммы о вложенных промежутках =>  точка x>0> из промежутка [a,b], для которой Lim a>N>=Lim b>N>= x>0>. Покажем, что x>0>-удовлетворяет требованию теоремы: g(a>N>)<0, g(b>N>)>0 => переходим к пределам: Lim g(a>N>)0, Lim g(b>N>)0, используем условие непрерывности: g(x>0>)0 g(x>0>)0 => g(x>0>)=0 => f(х>0>)-c=0 => f(х>0>)=c

Следствие: Если функция f(x) непрерывна на промежутке Х, то множество У=f(Х)={f(х):хХ} также является промежутком (Непрерывная ф-ция перево дит промежуток в промежуток.)

Доказательство: Пусть у>1>,у>2>У; у>1>уу>2>, тогда существуют х>1>,х>2>Х: у>1>=f(х>1>), у>2>=f(х>2>). Применяя теорему к отрезку [х>1>,х>2>]Х (если х>1><х>2>) и к отрезку

[х>2>,х>1>]Х (если х>2><х>1>) получаем, что у=f(с) при некотором с => У - удовлетворяет определению промежутка.

29. Предел суперпозиции функций. Непрерывность суперпозиции непрерывных функций

Определение: Суперпозицией (композицией) двух функций f и g называется функция f(g(x)) - определенная для всех х принадлежащих области опреде ления ф-ции g таких что значения ф-ции g(x) лежат в области определения ф-ции f.

Теорема: Если Lim g(x)=b (при xa) и f - непрерывна в точке b, то Lim f(g(x))=f(b) (при xa)

Доказательство:

Пусть x>N>: x>N>a - произвольная посл-ть из области определения ф-ции хf(g(x)), сходящаяся к а, тогда последовательность y>N>: y>N>=g(x>N>) сходится к b в силу опр. по Гейне. Но тогда Lim f(y>N>)=f(b) (n) в силу опр. непрерывности ф-ции f по Гейне. Т.о. Lim f(g(x>N>))=Lim f(y>N>)=f(b) (n). Заметим что в посл-ти y>N> - некоторые (и даже все члены) могут оказаться равными b. Тем не менее в силу нашего замечания о снятии ограничения y>N>b в определении непрерывности по Гейне мы получаем f(y>N>)f(b)

Следствие: Пусть функция g непрерывна в точке x>0>, а функция f непрерывна в точке у>0>=g(x>0>), тогда ф-ция f(g(x)) непрерывна в точке х>0>.

30. Обращение непрерывной монотонной функции.

Определение: Функция f обратима на множестве Х если уравнение f(х)=у однозначно разрешимо относительно уf(Х).

Определение: Если функция f обратима на множестве Х. То функция однозначно сопоставляющая каждому уо такое х>0> что f(х>0>)=у>0> - называется обратной к функции f.

Теорема: Пусть строго возрастающая (строго убывающая) ф-ция f определена и непрерывна в промежутке Х. Тогда существует обратная функция f’,

определенная в промежутке Y=f(Х), также строго возрастающая (строго убывающая) и непрерывная на Y.

Доказательство: Пусть f строго монотонно возрастает. Из непрерывности по следствию из Теоремы о промежуточном значении следует, что значения непрерывной функции заполняют сплошь некоторый промежуток Y, так что для каждого значения у>0> из этого промежутка найдется хоть одно такое значение х>0>Х, что f(х>0>)=у>0>. Из строгой монотонности следует что такое заначение может найтись только одно: если х>1>> или <х>0>, то соответственно и f(х>1>)> или <f(х>0>). Сопоставля именно это значение х>0> произвольно взятому у>0> из Y мы получим однозначную функцию: х=f’(у) - обратную функции f. Функция f`(y) подобно f(x) также строго монотонно возрастает. Пусть y’<y” и х’=f`(у’), х”=f`(у”), так как f` - обратная f => у’=f(х’) и у”=f(х”) Если бы

было х’>х”, тогда из возрастания f следует что у’>у” - противоречие с условием, если х’=х”, то у’=у” - тоже противоречие с условием.

Докажем что f` непрерывна: достаточно доказать, что Lim f`(у)=(у>0>) при уу>0>. Пусть f`(у>0>)=х>0>. Возьмем произвольно Е>0. Имеем уУ: |f`(у)-f`(у>0>)|<Е <=> х>0>-Е<f`(у)<х>0>+Е <=> f(х>0>-Е)<у<f(х>0>+Е) <=> f(х>0>-Е)-у>0><у-у>0><f(х>0>+Е)-у>0> <=> -’<у-у>0><”, где ’=у>0>-f(х>0>-Е)>у>0>-f(х>0>)=0, ”=f(х>0>+Е)-у>0>>f(х>0>)-у>0>=0,

полагая =min{’,”} имеем: как только |у-у>0>|< => -’<у-у>0><” <=> |f`(у)-f`(у>0>)|<Е

Непрерывность степенной функции с рациональным показателем:

Определение: Степенной функцией с Q показателем называется функция хM/N - где mZ, nN. Очевидно степенная функция явл-ся cуперпозицией непре рывных строго монотонно возрастающих ф-ций хM и х1/M => ф-ция хM/N - непрерывна при х>0. Если х=0, то хM/N = 1, а следовательно непрерывна.

Рассмотрим ф-цию хN, nN: она непрерывна так как равна произведению непрерывных функций у=х.

n=0: хN тождественно равно константе => хN - непрерывна х-N=1/хN, учитывая что:

1) 1/х - непрерывная функция при х0

2) хN (nN) - тоже непрерывная функция

3) х-N=1/хN - суперпозиция ф-ий 1/х и хN при х0

По теореме о непрерывности суперпозиции ф-ций получаем: х-N - непрерывная при х0, т.о. получили что хMmZ - непрерывная ф-ция при х0. При х>0ф-ция хN nN строго монотонно возрастает и ф-ция хNнепрерывна=>функция обратная данной, которая также строго монотонно возрастает (при m>0), очевидно этой функцией будет функция х1/N

Тригонометрические функции на определенных (для каждой) промежутках обратимы и строго монотонны =>имеют непрерывные обратные функции => обратные тригонометрические функции - непрерывны

31. Свойства показательной функции на множестве рациональных чисел.

Определение: Показательная функция на множестве рациональных чисел: Функция вида аX, а>0, а1 xQ.

Свойства: для mZ nN

1) (аM)1/N = (а1/N)M

(аM)1/N=(((а1/N)N)M)1/N = ((а1/N)N*M)1/N = (((а1/N)M)N)1/N = (а1/N)M

2) (аM)1/N=b <=> аM=bN

3) (аM*K)1/N*K=(аM)1/N

(аM*K)1/N*K=b <=> аM*K=bN*K <=> аM=bN <=> (аM)1/N=b

Из свойств для целого показателя вытекают св-ва для рационального если обозначить: aM/N=(аM)1/N=(а1/N)M,a-M/N=1/aM/N, а0=1

Св-ва: x,yQ

1) aX * aY = aX+Y

aX * aY =b; x=m/n, y=-k/n => aM/N * 1/aK/N = b => aM/N = b * aK/N => aM = bN * aK => aM-K = bN => a(M-K)/N = b => aX+Y = b

2) aX/aY = aX-Y

3) (aX)Y=aX*Y

(aX)Y=b; x=m/n, y=k/s => (aM/N)K/S=b => (aM/N)K=bS => (a1/N)M*K=bS => (aM*K)1/N=bS => aM*K=bS*N => a(M*K)/(S*N)=b => aX*Y=b

4) x<y => aX<aY (a>1) - монотонность

z=y-x>0; aY=aZ+X => aY-aX=aZ+X-aX=aX*aZ-aX=aX*(aZ-1) => если aZ>1 при z>0, то aX<aY.

z=m/n => aZ=(a1/N)M => a1/N>1 => (a1/N)M>1 => aX*(aZ-1)>1, (a>1 n>0)

5) при x0 aX1 (xR)

Т.к. Lim a1/N=1 (n), очевидно, что и Lim a-1/N=Lim1/a1/N=1 (n). Поэтому Е>0 n>0>: n>n>0> 1-E<a-1/N<a1/N<1+E, а>1. Если теперь |x|<1/n>0>, то

a-1/N<aX<a1/N => 1-E<aX<1+E. => Lim aX=1 (при x0)

32.Определение и свойства показательной функции на множестве действительных чисел.

Определение: Показательная функция на множестве действительных чисел: Функция вида аX, а>0, а1 xR.

Свойства: x,yR.

1) aX * aY = aX+Y

x>N>x, y>N>y => aXn * aYn = aXn+Yn => Lim aXn * aYn = Lim aXn+Yn => Lim aXn * lim aYn = Lim aXn+Yn => aX * aY = aX+Y

2) aX / aY = aX-Y

3) (aX)Y=aX*Y

x>N>x, y>K>y => (aXn)Yk = aXn*Yk => (n) (aX)Yk=aX*Yk =>(k) (aX)Y=aX*Y

4) x<y => aX<aY (a>1) - монотонность.

x<x’ x,x’R; x>N>x x’>N>x’ x>N>,x’>N>Q => x>N><x’>N> => aXn < aX’n => (n) aXaX’- монотонна

x-x`>q>0 => aX-X’ aQ>1 => aX-X’1 => aX<aX’ - строго монотонна

5) при x n0 aX 1

Т.к. Lim a1/N=1 (n), очевидно, что и Lim a-1/N=Lim1/a1/N=1 (n). Поэтому Е>0 n>0>: n>n>0> 1-E<a-1/N<a1/N<1+E, а>1. Если теперь |x|<1/n>0>, то

a-1/N<aX<a1/N => 1-E<aX<1+E. => Lim aX=1 (при x0)

6) aX - непрерывна

Lim aX=1 (n из (5) - это означает непрерывность aX в точке 0 => aX-aXo= aXo(aX-Xo - 1) при хx>0> x-x>0> n0 => aX-x>0> n1 => при хx>0> lim(aX - aXo)=

Lim aXo*Lim(aX-Xo - 1) = x>0> * 0 = 0 => aX - непрерывна

33.Предел функции (1+x)1/X при x0 и связанные с ним пределы.

1) Lim (1+x)1/X = e при x0

У нас есть Lim (1+1/n)n = e при n

Лемма: Пусть n>K> n>K>N Тогда (1+1/n>K>)Nke

Доказательство:

E>0 k>0>: n>n>0> 0<e-(1+1/n)n<E => n>K>  k>0>: k>k>0> => n>K>>n>0> => 0<e-(1+1/n>k>)Nk<E

Lim (1+x>K>)1/Xk при x0+:

1/x>K>=z>K>+y>K>, z>K>N => 0y>K><1 => (1+1/z>K+1>)Zk<(1+x>K>)1/Xk> >< (1+1/z>K>)Zk+1=(1+1/z>K>)Zk*(1+1/z>K>)=>(1+1/z>K+1>)Zk=(1+1/z>K+1>)Zk+1)/(1+1/z>K+1>) => (1+1/z>K+1>)Zk+1/(1+1/z>K+1>) < (1+x>K>)1/Xk < (1+1/z>K>)Zk*(1+1/z>K>) kучитывая, что: (1+1/z>K>)1 (1+1/z>K+1>)1 => получаем:

eLim (1+x>K>)1/Xke => Lim (1+x>K>)1/Xk=e => Lim (1+x)1/X=e при x0+

Lim (1+x>K>)1/Xk при x0-:

y>K>=-x>K>0+ => доказываем аналогично предыдущему => получаем Lim (1+x)1/X=e при x0-

Видим что правый и левый пределы совпадают => Lim (1+x)1/X=e при x0

2) n lim (1+x/n)N = (lim (1+x/n)N/X)X = eX

3) xx R - непрерывна

x=(eLn x)=e*Ln x

непр непр непр непр

xLn x*Ln*Ln x => xe*Ln x

4) x0 Lim (Ln (1+x))/x = Lim Ln (1+x)1/X = Ln e = 1

4’) x0 Lim Log>A>(1+x)1/X = 1/Ln a

5) x0 Lim (eX-1)/x = {eX-1=t} = Lim t/Ln(1+t) => (4) = 1/1 = 1

5’) x0 Lim (aX-1)/x = Ln a

6) x0 Lim ((1+x)-1)/x = Lim ([e*Ln (1+x) -1/[Ln(1+x)]Ln (1+x)]/x = 11=

34.Теорема Вейрштрасса об ограниченности непрерывной функции на отрезке.

Функция хf(x) называется непрерывной на множестве Х если она непрерывна в каждой точке х этого множества.

Теорема: Функция непрерывная на отрезке [a,b], является ограниченной на этом отрезке (1 теорема Вейрштрасса) и имеет на нем наибольшее и наимень шее значение (2 теорема Вейрштрасса).

Доказательство: Пусть m=Sup{f(x):x[a,b]}. Если f не ограничена сверху на [a,b], то m=, иначе mR. Выберем произвольную возрастающую посл-ть (с>N>), такую что Lim c>N>=m. Т.к. nN: c>N><m то  x>N>[a,b]: c>N><f(x>N>)m. x>N> - ограничена =>  x>Kn>. Т.к. ax>Кn>b => [a,b].

Для mR - по теореме о том, что предел произвольной подпосл-ти равен пределу посл-ти получаем c>Kn>m.

Для m=+ - по Лемме о том что всякая подпосл-ть бб посл-ти явл-ся бб посл-тью получаем c>Kn>m. Переходя к пределу в нер-вах c>Kn><f(x>Kn>)m, получим

Lim f(x>Kn>)=b n но в силу непрерывности ф-ции f имеем Lim f(x>Kn>)=f() => f()=m - что и означает что функция f ограничена сверху и достигает верхней

граница в точке . Существование точки =Inf{f(x):x[a,b]} доказывается аналогично.

35. Равномерная непрерывность. Ее характеризация в терминах колебаний.

Определение: Е>0  >0: х’,х”: |х’-х”|< => |f(x’)-f(x”)|<Е => функция называется равномерно непрерывной

Отличие от непрерывности состоит в том, что там  зависит от Е и от х”, то здесь  не зависит от х”.

Определение: Ф-ция f - не равномерно непрерывна, если Е>0  >0: х’,х”: |х’-х”|< => |f(x’)-f(x”)|Е>0

Рассмотрим множество {|f(x’)-f(x”)|:|x’-x”|<, x’,x”I}, IDf.

Верхняя точная граница этого множества обозначаемое Wf() называется колебанием функции f на множестве I вызванное колебаниями аргумента:

1/х - Wf() = +Sin x - Wf() = 1

Таким образом равномерно непрерывную функцию можно определить по другому: Е>0 >0: Wf()Е Lim Wf()=0 0

36.Теорема Кантора о равномерной непрерывности непрерывной функции на отрезке.

Теорема: Если f непрерывна на [a,b], то она равномерно непрерывна на [a,b].

Доказательство(от противного):

Пусть f не равномерно непрерывна на [a,b]=>Е>0 >0 х’,х”: |х’-х”|<=>|f(x’)-f(x”)|Е. Возьмем  =1/к, кN х>K>, х’>K>[a,b]: |х>K>-х’>K>|<1/к |f(x>K>)-f(x’>K>)|E

Т.к х>K> - ограничена => из нее по теореме Больцано-Вейерштрасса можно выделить подпосл-ть x>Ks> сходящуюся к х>0>. Получаем: |х>Ks>-х’>Ks>|<1/к

х>Ks>-1/k<х’>Ks><х>Ks>-1/k по Лемме о зажатой посл-ти х’>Ks>х>0> k>S> |f(x>Ks>)-f(x’>Ks>)|E к>S>0E - противоречие с условием.

37.Определение производной и дифференциала.

Касательная в точке x>0> к функции xf(x): возьмем еще одну точку х соединим x>0> и х - получим секущую. Касательной назовем предельное положение секущей при хx>0>, если это предельное положение существует. Т.к. касательная должна пройти ч/з точку (x>0>,f(x>0>) => уравнение этой касательной (если она не вертикальна) имеет вид y=k*(x-x>0>)+f(x>0>). Необходимо только опр-ть наклон k касательной. Возьмем произвольное число х0 так, чтобы x>0>+хХ. Рассмотрим секущую М>О>М, М>О>(x>0>,f(x>0>)), М(x>0>+х,f(x>0>+х)). Уравнение секущей имеет вид: у=к(х)(х-x>0>)+f(x>0>), где k=f((x>0>+х)-f(x>0>))/х - наклон секущей. Если существует Lim к(х) при х0, то в качестве искомого наклона k возьмем это предел. Если Lim к(х)=при х0, то перепишем уравнение секу щей в виде x=(1/k(х))*(y-f(x>0>))+x>0> перейдя к пределам при х0, получим x=x>0> (Lim x=Lim x>0> х0 => x = Lim x>0>)

Определение: Производным значением функции f в точке х>0> называется число f’(х>0>)=Lim (f(x>0>+х)-f(x>0>))/х xx>0>, если этот предел существует.

Геометрически f’(х>0>) - это наклон невертикальной касательной в точке (x>0>,f(x>0>)). Уравнение касательной y=f’(x>0>)*(x-x>0>)+f(x>0>). Если Lim (f(x>0>+х)-f(x>0>))/х= х0, то пишут f`(x>0>)= касательная в этом случае вертикальна и задается уравнением х=x>0>. f`(x>0>)=lim(f(x>0>+х)-f(x>0>))/х xx>0>=>(f(x>0>+х)-f(x>0>))/х=f’(x>0>)+(x), (x)0 при xx>0>. f(x>0>+х)-f(x>0>)=f`(x>0>)*х+(x)*х учитывая, что x>0>+х=x и обозначая (x)*х через o(x-x>0>) получим f(x)=f’(x>0>)*(x-x>0>)+f(x>0>)+o(x-x>0>). Необхо димо заметить, что o(x-x>0>) уменьшается быстрее чем (x-x>0>) при xx>0> (т.к. o(x-x>0>)/(x-x>0>)0 при xx>0>)

Определение: Ф-ция f называется дифференцируемой в точке x>0> если сR: в некоторой окрестности точки x>0> f(x)=С(x-x>0>)+f(x>0>)+o(x-x>0>)

Теорема: Функция диффференцируема в точке x>0 ><=>  f’(x>0>)

Доказательство:

<=: f(x)=f’(x>0>)*(x-x>0>)+f(x>0>)+o(x-x>0>) => f`(x>0>)=C

=>: f(x)=C(x-x>0>)+f(x>0>)+o(x-x>0>) => (f(x)-f(x>0>))/(x-x>0>)=C+o(x-x>0>)/(x-x>0>)=C+(x), (x)0 при xx>0>.

Переходим к пределу при xx>0 >=> Lim (f(x)-f(x>0>))/(x-x>0>)=C+0=C => Слева записано производное значение ф-ции f => по определению C=f`(x>0>)

Определение: Если функция хf(x) дифференцируема в точке x>0>, то линейная функция хf’(x>0>)*х называется дифференциалом функции f в точке x>0> и

обозначается df(x>0>). (диф-ал ф-ции хх обозначают dx). Т.о. df(x>0>):хf`(x>0>)*х и dх:хх. Отсюда df(x>0>)=f’(x>0>)*dх => df(x>0>)/dх: хf`(x>0>)*х/х=f’(x>0>) при х0. В силу этого пишут также f’(x>0>)=df(x>0>)/dх - обозначение Лейбница. График диф-ла получается из графика касательной переносом начала коор динат в точку касания.

Теорема: Если ф-ция f диф-ма в точке x>0>, то f непрерывна в точке x>0>.

Докозательство: f(x)=f(x>0>)+f’(x>0>)*(x-x>0>)+o(x-x>0>)f(x>0>) при xx>0> => f непрерывна в точке x>0>.

Определение: Нормаль к ф-ции f в точке x>0>: это прямая перпендикулярная касательной к ф-ции f в точке x>0>. Учитывая что тангенс угла наклона нормали равен tg(90+угол наклона касательной)= -Ctg(наклона касательной), получаем уравнение нормали: y=-1/f’(x>0>)*(x-x>0>)+f(x>0>)

38. Арифметика диф-цирования. Производные тригонометрических функций.

Теорема: Пусть ф-ции f и g дифференцируемы в точке x>0>, тогда ф-ции f+g, f*g и f/g (при g(x>0>)0) дифференцируемы в точке x>0> и:

1) (f+g)’(x>0>)=f’(x>0>)+g’(x>0>)

2) (f*g)’(x>0>)=f’(x>0>)*g(x>0>)+f(x>0>)*g’(x>0>)

3) (f/g)’(x>0>)=(f’(x>0>)*g(x>0>)-f(x>0>)*g’(x>0>))/g(x>0>)2

Доказательство:

1) f(x>0>)=f(x>0>+x)-f(x>0>)

g(x>0>)=g(x>0>+x)-g(x>0>)

(f+g)(x>0>)=f(x>0>)+g(x>0>)=f(x>0>+x)-f(x>0>)+g(x>0>+x)-g(x>0>)

(f+g)(x>0>)/x=(f(x>0>+x)-f(x>0>)+g(x>0>+x)-g(x>0>))/x=(f(x>0>+x)-f(x>0>))/x+(g(x>0>+x)-g(x>0>))/xf’(x>0>)+g’(x>0>) при x0

2)(f*g)(x>0>)=f(x>0>+x)*g(x>0>+x)-f(x>0>)*g(x>0>)=(f(x>0>)+f(x>0>))*(g(x>0>)+(x>0>))-f(x>0>)*g(x>0>)=g(x>0>)*f(x>0>)+f(x>0>)*g(x>0>)+f(x>0>)*g(x>0>) (f*g)(x>0>)/x=g(x>0>)*(f(x>0>)/x)+f(x>0>)*(g(x>0>)/x)+(f(x>0>)/x)*(g(x>0>)/x)*xf’(x>0>)*g(x>0>)+f(x>0>)*g’(x>0>) при x0

3) Ф-ция g - дифференцируема в точке x>0> => Ф-ция g - непрерывна в точке x>0> => Е>0 (Е=|g(x>0>)|/2) >0: |x|<=> |g(x>0>+x)-g(x>0>)|<|g(x>0>)|/2.

g(x>0>)-|g(x>0>)|/2<g(x>0>+x)<g(x>0>)+|g(x>0>)|/2. Рассматривая функцию g при таких x (|x|<) видим что g(x>0>+x)0.

Рассмотрим разность (1/g(x>0>+x)-1/g(x>0>))/x = -(g(x>0>+x)-g(x>0>))/x*g(x>0>+x)*g(x>0>) -g’(x>0>)/g(x>0>)2 при x0

(f/g)’(x>0>)=(f*1/g)’(x>0>) => (2) = f’(x>0>)*1/g(x>0>)+f(x>0>)*(1/g)’(x>0>)=f`(x>0>)*1/g(x>0>)+f(x>0>)*(-g’(x>0>)/g(x>0>)2)=(f’(x>0>)*g(x>0>)-f(x>0>)*g’(x>0>))/g(x>0>)2

Теорема: Пусть f=Sin(x), g=Cos(x)

1) Sin’(x>0>) = Cos (x>0>)

2) Cos’(x>0>) = -Sin (x>0>)

Доказательство:

1)f/x=(Sin(x>0>+x)-Sin(x>0>))/x = Sin(x/2)/(x/2) * Cos(x>0>+x/2) Сos x>0> при x0

2) g/x=(Cos(x>0>+x)-cos(x>0>))/x=Sin(x/2)/(x/2)*-Sin(x>0>+x/2) -Sin x>0> при x0

Производные Tg и Ctg выводятся непосредственно из производных для Sin и Cos по формулам дифференцирования.

39. Производная суперпозиции.Производные степенной, показательной и логарифмической функции.

Теорема: Пусть функция g диф-ма в точке x>0>, а ф-ция f диф-ма в точке y>0>=g(x>0>), тогда ф-ция h(х)=f(g(х)) диф-ма в точке x>0> и h’(x>0>)=f`(y>0>)*g’(x>0>)

Доказательство:

y=y-y>0>, x=x-x>0>, f(y>0>)=f’(y>0>)*y+o(y), g(xo)=g’(xo)*x+o(x), y=g(x>0>+x)

h(x>0>)=f(g(x>0>+x))-f(g(x>0>))=f(y)-f(y>0>)=f’(y>0>)*y+o(y)=f’(y>0>)*(g(x>0>+x)-g(x>0>))+o(g)==f’(y>0>)*(g’(x>0>)*x+o(x))+o(y)= f’(y>0>)*g’(x>0>)*x+f’(y>0>)*o(x)+o(y)

h(x>0>)/x=f’(y>0>)*g’(x>0>)+r, r=f`(y>0>)*o(x)/x+o(y)/x

r=f`(y>0>)*o(x)/x+o(y)/x=f`(y>0>)*((x)*x)/x+(’(x)*y)/x=f’(y>0>)*(x)+’(x)*y/xf’(y>0>)*0 + 0*g’(y>0>) при x0 ((x)0 ’(x)0)

Производная:

1) x=*x-1

Lim (y/x)=lim((x+x)-x)/x = Lim x* ((1+x/x))/x/x. Используя замечательный предел x0 Lim ((1+x)-1)/x=, получим x0

Lim x*Lim((1+x/x))/x/x = x

2) (aX)’=aX*Ln a (xaX)’=(xeX*Ln a)’

xeX*Ln a - композиция функций xеX и xx*Ln a обе непрерывны на R => (xaX)’=(xе X*Ln a)’=(xеX*Ln a)’*(xx*Ln a)’=aX*Ln a

Д-во : (eX)’=eX

Lim(y/x)=Lim(eX+X-eX)/x=LimeX*(eX-1)/x, используя зам-ный предел при x0 Lim(eX-1)/x=1, получим при x0 Lim(y/x)=eX

3) (Log>A>(x))’=1/x*Ln a

Lim(y/x) = Lim (Log>A>(x+x) - Log>A>(x))/x = Lim 1/x*Log>A>(1+x/x)/x/x, используя замечательный предел при x0 Lim Log>A>(1+x)/x=1/Ln a, получим

Lim (y/x) = Lim 1/x*Lim Log>A>(1+x/x)/x/x=1/x*Ln a

40. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций.

Предложение: Если производная обратной функции g для ф-ции f существует в точке y>0>, то g’(y>0>)=1/f’(x>0>), где y>0>=f(x>0>)

Доказательство: g(f(x))=x g’(f(x))=1

g’(f(x>0>))=g’(f(x>0>))*f’(x>0>)=1, g’(f(x>0>))=g(y>0>)=1/f’(x>0>)

Теорема: Пусть ф-ция f строго монотонно и непрерывно отображает () в (а,b) тогда  обратная ей ф-ция g, которая строго монотонно и непрерывно отображает (а,b) в (). Если f диф-ма в точке x>0>() и f’(x>0>)0, то g диф-ма в точке y>0>=f(x>0>) и g’(y>0>)=1/f’(x>0>)

Доказательство:

Возьмем произвольную последовательность сходящуюся к y>0>: y>N>y>0>, y>N>y>0> =>  посл-ть x>N>: x>N>=g(y>N>), f(x>N>)=y>N>

g(y>N>)-g(y>0>)/y>N>-y>O> = x>N>-x>O>/f(y>N>)-f(y>O>) = 1/f(y>N>)-f(y>O>)/x>N>-x>O>  1/f’(xo) при nполучили при x>N>x>O> g(y>N>)-g(y>O>)/y>N>-y>O>1/f’(x>O>) => g’(у>O>)=1/f’(x>O>)

Производные:

1) xrcsin x по теореме имеем Arcsin’x=1/Sin’y, где Sin y=x при условии, что Sin’y<0, получаем (используя производную синуса): Arcsin’x=1/Cos y, т.к. rcsin: [-1,1][-П/2,П/2] и Cos:[-П/2,П/2][0,1], то Cos y0 и, значит Arcsin’x = 1/Cos y = 1/(1-Sin2y)1/2 = 1/(1-x2)1/2

2) xArccos’x = -1/(1-x2)1/2

3) xArctg’x = 1/1+x2

4) xArcctg’x= -1/1+x2

41.Производные и дифференциалы высших порядков.

Определение: Если ф-ция f диф-ма в некоторой окрестности точки x>O>, то ф-ция f’(x):xf’(x) в свою очередь может оказаться диф-мой в точке x>O> или даже в некоторой ее окрестности. Производная ф-ции f’(x) - называется второй производной (или производной порядка 2) ф-ции f в точке x>O> и обознача ется f”(x). Аналогично определяется третья и четвертая производная и так далее. Для единообразия обозначаем через fN(x>O>) - производную порядка n функции f в точке x>O> и при n=0 считаем f0(x>O>)=f(x>O>).

Замечание: Cуществование производной порядка n требует того чтобы существовала производная пордка (n-1) уже в некоторой окрестности точки x>O> (следует из теоремы о связи диф-ти и непрерывности), в таком случае функция xfN-1(x) непрерывна в точке x>O>, а при n2 все производные порядка не выше (n-2) непрерывны в некоторой окрестности точки x>O>.

Определение: Дифференциалом ф-ции f порядка n в точке x>O> называют функцию dхfN(x)*dх и обозначают dNf(x). Таким образом dNf(x):dхfN(x)dxN.

Так как fN(x)dхN:dхfN(x)dxN, то dNf(x)=fN(x)dхN. В силу этого соотношения производную fN(x) обозначают также dNf(x)/dхN

Инвариантность:

Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить сложную функцию у=f(g(t)). Если существуют производные у’(х) и х’(t) то cуществует производная у’(t)=у’(х)*х’(t). Если х считать независимой переменной, то диф-ал dy=y’(х)dx. Перейдем к независимой переменной t, учитывая что у’(t)=у’(х)*х’(t): dy=y’(t)dt=y’(x)*х’(t)dt. x’(t)dt=dх => dy=y’(t)dt=у’(х)*х’(t)*dt=у’(x)dх - видим что при переходе к новой независимой переменной форма дифференциала может быть сохранена - это свойство называют инвариантностью формы первого дифференциала.

Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить сложную функцию у=f(g(t)) Если существуют производные у’(х) и х’(t) то существует производная у’(t)=у’(х)*х’(t) и по доказанному ее первый диф-ал по t можно написать в форме dy=y’(х)dх, где dх=x’(t)dt. Вычисляем второй диф-ал по t: d2y=d(y’(x)dx)=dy’(x)dx+y’(x)d(dx). Снова пользуясь инвариантностью первого диф-ла dy’(x)=у”(х2)dx => d2y=у”(х2)dx2x+y’(x)*d2x, в то время как при независимой переменной х второй диф-ал имел вид д2y=у’(х2)*dx2x => неинвариантность формы второго диф-ла.

Формула Лейбница:

f(x)=u(x)*v(x)

Доказательство по индукции.

1) n=0 верно

2) Предположим для n - верно => докажем для (n+1)

Если для u и v n+1) производные, то можно еще раз продифференцировать по х - получим:

Объединим теперь слагаемые обеих последних сумм, содержащие одинаковые произведения производных функций u и v (сумма порядков производ ных в таком произведении, как легко видеть, равна всегда (n+1)). Произведение u0*vN+1 входит только во вторую сумму с коэффициентом С0>N>=1. Произведение uN+1*v0 входит только в первую сумму с коэффициентом СN>N>=1. Все остальные произведения входящие в эти суммы имеют вид uK*vN+1-K. Каждое такое произведение встречается в первой сумме с номером k = i-1, а во второй i=k. Сумма соотв. коэффициентов будет =>

получаем fN+1(x)=u0*vN+1++ uN+1*v0=

44. Нахождение промежутков постоянства монотонности функции и ее экстремумов.

Теорема: Пусть f(x) непрерывна в замкнутом промежутке [a;b] и диф-ма в открытом промежутке (a;b), если f’(x)=0 в (a;b), то f(x)-const в [a;b].

Докозательство:

Пусть xb, тогда в замкнутом промежутке в [a;x] по теореме Лагранжа имеем: f(x)-f(a)=f’(a+(x-a))(x-a) 0<т.к. по условию f’(x)=0 в (a;b), то f’(a+(x-a))=0 => f(x)=f(a)=Const для все х(a;b).

Теорема: Пусть f(x) непрерывна в замкнутом промежутке [a;b] и диф-ма в открытом промежутке (a;b), тогда:

1) f монотонно возрастает(убывает) в нестрогом смысле в (a;b) <=> f’(x)0(f’(x)0) в (a;b).

2) Если f’(x)>0(f’(x)<0) в (a;b) и f непрерывна в [a;b], то f строго возрастает(убывает) в [a;b].

Доказательство:

1) Пусть f непрерывна на [x’,x”] x’, x”(a;b), тогда по теореме Лагранжа (f(x”)-f(x’))/(x”-x’)=f’(c), с(x’,x”). По условию имеем f’(x)f’(x)в (a;b) => f’(c)f’(c)f(x”)f(x’)( f(x”)f(x’)) => f(x) возрастает(убывает) в нестрогом смысле в (a;b).

2) Используя аналогичные (1) рассуждения, но заменяя неравенства на строгие получим (2).

Следствие: Если x>O>-критическая точка непрерывной ф-ции f. f’(x) в достаточно малой -окр-ти точки x>O> имеет разные знаки, то x>O>-экстремальная точка.

Достаточное условие экстремума: (+)x>O>(-) => локальный min, (-)x>O>(+) => локальный max

46. Выпуклые множества Rn. Условие Иенсена. Выпуклые функции.Неравенство Йенсена.

Определение: Множество М выпукло <=> если  А,ВМ [А,В]М

[А,В]М => [А,В]={А+t(В-А):t[0,1]} => А(1-t)+tВМ

[А,В]М => А,ВМ; >1>=1-t, >2>=t => >1>+>2>=1 >1>,>2>0 => >1>А+>2>ВМ

Рассмотрим точки: А>1>,А>2>,...А>N>М >1>,>2>0 i=1,n):>>= 1

Докажем что i=1,n):>>*А>I >М

Д-во: По индукции:

1) n=1, n=2 - верно

2) Пусть для (n-1) - верно => докажем для n:

а) >>=1 => приравниваем >1>=...=>>=0 => верно

б) >><1 >>*А>1> +...+ >>*А>>> >+>>*А>>= (1->>)((>>/1->>)*А>1>+...+(>>/1->>)*А>>) + >>*А>> = (1->>)*B + >>*А>>

BМ - по индуктивному предположению А>>М - по условию=>(1->>)*B + >>*А>>М Ч.т.д

График Гf = {(x,f(x)):хDf}, Надграфик UPf={(x,y):y>f(x)}

Определение: Функция f выпукла <=> UPf - множество выпукло.

Условие Йенсена: А>I>М >>0 i=1,n):>>=1 => i=1,n):>>*А>I >М, x>I>0, f(x>I>)y>I> => i=1,n):>>*А>I> =>>x>I>;>>*y>I>f(>>x>I>)>>*y>I>

Неравенство Йенсена: А>I>М >>0 >>=1f(>>x>I>)>>*f(x>I>)

47.Критерий выпуклости дифференцируемой функции.

Теорема: Пусть f определена в интервале (a;b), тогда следующие условия эквивалентны: 1) f - выпукла в (a;b) ~ 2) x’,x>O>,x”(a;b) x’<x>O><x” =>

(f(x>O>)-f(x’))/(x>O>-x’)(f(x”)-f(x>O>))/(x”-x>O>). Геометрический смысл: при сдвиге вправо угловой коэффициент секущей растет.

Доказательство:

“=>” AB: k=(y-f(x’))/(x>O>-x’)(f(x>O>)-f(x’))/(x>O>-x’) => yf(x>O>); AB: k=(f(x”)-y)/(x”-x>O>)(f(x”)-f(x>O>))/(x”-x>O>) =>yf(x>O>)

(f(x>O>)-f(x’))/(x>O>-x’)(f(x”)-f(x>O>))/(x”-x>O>)

“<=”