Математика. Интегралы

1.

*1. Говорят, что функция f(x) не убывает (не возрастает) на (a,b), если для любых точек x>1><x>2> из (a,b) справедливо неравенство f(x>1>)f(x>2>) (f(x>1>)f(x>2>)).

*2. Говорят, что функция f(x) возрастает (убывает) на (a,b), если x>1><x>2> из (a,b) справедливо неравенство f(x>1>)<f(x>2>) (f(x>1>)>f(x>2>)). В этом случае функцию называют монотонной на (a,b).

Т1. Дифференцируемая на (a,b) функция f(x) тогда и только тогда не убывает (не возрастает) на (a,b), когда f(x)0 (0) при любом x(a,b).

Док-во: 1) Достаточность. Пусть f(x)0 (0) всюду на (a,b). Рассмотрим любые x>1><x>2> из (a,b). Функция f(x) дифференцируема (и непрерывна) на [x>1>,x>2>]. По теореме Лагранжа: f(x>2>)-f(x>1>)=(x>2>-x>1>)f(a), x>1><a<x>2>. Т.к. (x>2>-x>1>)>0, f(a)0 (0), f(x>2>)-f(x>1>)0 (0), значит, f(x) не убывает (не возрастает) на (a,b). 2) Необходимость. Пусть, например, f(x) не убывает на (a,b), x(a,b), x+x(a,b), x>0. Тогда (f(x+x)-f(x))/x0. Переходя к приделу при x0, получим f(x)0. Теорема доказана.

Т2. Для возрастания (убывания) f(x) на (a,b) достаточно, чтобы f(x)>0 (<0) при любом x(a,b). Док-во: Тоже что и в Т2.

Замечание1. Обратное к теореме 2 не имеет места, т.е. если f(x) возрастает (убывает) на (a,b), то не всегда f(x)>0 (<0) при любом x(a,b).

*3. Прямая х=а называется вертикальной асимптотой графика функций y=f(x), если хотя бы одно из предельных значений или равно +¥ или –¥.

Замечание 2. Непрерывные функции вертикальных асимптот не имеют.

*4. Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой графика функции y=f(x) при xà+¥(–¥), если f(x)=kx+b+a(x), где

Т3. Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой графика функции y=f(x) при xà+¥(–¥), тогда и только тогда, когда существуют , , причем при xà+¥(–¥) наклонная асимптота называется правой (левой). Док-во: Предположим, что кривая y=f(x) имеет наклонную асимптоту y=kx+b при xà+¥, т.е. имеет место равенство f(x)=kx+b+a(x). Тогда . Переходя к пределу при xà+¥, получаем . Далее из f(x)=kx+b+a(x) b=f(x)-kx-a(x). Переходя к пределу при xà+¥, получаем . Докажем обратное утверждение. Пусть пределы, указанные в теореме, существуют и конечны. Следовательно, f(x)–kx=b+a(x), где a(x)à0, при xà+¥(–¥). Отсюда и получаем представление f(x)=kx+b+a(x). Теорема доказана.

Замечание3. При k=0 прямая y=b называется горизонтальной асимптотой, причем при xà+¥(–¥) – правой (левой).

2.

*1. Точку х>0> назовем стандартной для функции f(x), если f(x) дифференцируема в точке x>0> и f(x>0>)=0.

*2. Необходимое условие экстремума. Если функция y=f(x) имеет в точке x>0> локальный экстремум, то либо x>0> – стационарная точка, либо f не является дифференцируемой в точке x>0>.

Замечание 1. Необходимое условие экстремума не является достаточным.

Т1. (Первое достаточное условие экстремума). Пусть y=f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x>0>, кроме, быть может, самой точки x>0>, в которой она является непрерывной. Если при переходе x через x>0> слева направо f(x) меняет знак с + на –, то точка x>0> является точкой максимума, при перемене знака с – на + точка x>0> является точкой минимума. Док-во: Пусть x(a,b), xx>0>, (a,b) – достаточно малая окрестность точки x>0>. И пусть, например, производная меняет знак с + на –. Покажем что f(x>0>)>f(x). По теореме Лагранжа (применительно к отрезку [x,x>0>] или [x>0>,x]) f(x)–f(x>0>)=(x- x>0>)f(), где  лежит между x>0> или x: а) x< x>0>x- x>0><0, f()>0f(x)–f(x>0>)<0f(x>0>)>f(x); б) x>x>0>x–x>0>>0, f()<0f(x)–f(x>0>)<0f(x>0>)>f(x).

Замечание 2. Если f(x) не меняет знака при переходе через точку х>0>, то х>0> не является точкой экстремума.

Т2. (Второе достаточное условие экстремума). Пусть x>0> – стационарная точка функции y=f(x), которая имеет в точке x>0> вторую производную. Тогда: 1) f( x>0>)>0f имеет в точке x>0> локальный минимум. 2) f( x>0>)<0f имеет в точке x>0> локальный максимум.

3.

*1. График функции y=f(x) называется выпуклым вниз (или вогнутым вверх) в промежутке (a,b), если соответствующая дуга кривой расположена выше касательной в любой точке этой дуги.

*2. График функции y=f(x) называется выпуклым вверх (или вогнутым вниз) в промежутке (a,b), если соответствующая дуга кривой расположена ниже касательной в любой точке этой дуги.

Т1. Пусть y=f(x) имеет на (a,b) конечную 2-ю производную. Тогда: 1) f(x)>0, x(a,b)график f(x) имеет на (a,b) выпуклость, направленную вниз; 2) ) f(x)<0, x(a,b)график f(x) имеет на (a,b) выпуклость, направленную вверх

*3. Точка (c,f(с)) графика функций f(x) называется точкой перегиба, если на (a,c) и (c,b) кривая y=f(x) имеет разные направления выпуклости ((a,b) – достаточно малая окрестность точки c).

Т2. (Необходимое условие перегиба). Если кривая y=f(x) имеет перегиб в точке (c, f(c)) и функция y=f(x) имеет в точке c непрерывную вторую производную, то f(c)=0.

Замечание1. Необходимое условие перегиба не является достаточным.

Замечание2. В точке перегиба вторая производная может не существовать.

Т3. (Первое достаточное условие перегиба). Пусть y=f(x) имеет вторую производную на c(a,b), f(c)=0. Если f(x) имеет на (a,c), (c,b) разные знаки, то (c, f(c)) – точка перегиба графика f(x).

Т4. (Второе условие перегиба). Если y=f(x) имеет в точке конечную третью производную и f(c)=0, а f(c)0, тогда (c, f(c)) – точка перегиба графика f(x).

4.

*1. Первообразная от функции f(x) в данном интервале называется функция F(x), производная которой равна данной функции: F(x)=f(x).

T1. Всякая непрерывная функция имеет бесчисленное множество первообразных, причем любые две из них отличаются друг от друга только постоянным слагаемым. Док-во: F(x) и Ф(х) – две первообразные от f(x), тождественно не равные между собой. Имеем F(x)=f(x), Ф(х)=f(x). Вычитая одно равенство из другого, получим [F(x)–Ф(х)]=0. Но если производная от некоторой функции (в нашем случае от F(x)–Ф(х)) тождественно равна нулю, то сама функция есть постоянная;  F(x)–Ф(х)=С.

*2. Неопределенным интегралом от данной функции f(x) называется множество всех его первообразных ,где F(x)=f(x).

5.

Свойства неопределенного интеграла:

    Производная НИ =подынтегральной функции; дифференциал от НИ равен подынтегральному выражению: ; . Док-во: ;

    НИ от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого: . Док-во: Обозначим . На основании первого св-ва: , откуда , т.е. .

    НИ от суммы конечного числа функций равен сумме интегралов от слагаемых функций: , где u, v, …,w-функции независимой переменной х. Док-во:

    Постоянный множитель можно выносить за знак НИ:, где с – константа. Док-во .

Т2. (об инвариантности формул интегрирования): Пусть f(x)dx=F(x)+C – какая-либо известная формула интегрирования и u=ф(х) – любая функция, имеющая непрерывную производную. Тогда f(u)du=F(u)+C. Док-во: Из того, что f(x)dx=F(x)+C, следует F(x)=f(x). Возьмем функцию F(u)=F[ф(x)]; для её дифференциала, в силу теоремы об инвариантности вида первого дифференциала функции, имеем: dF(u)=F(u)du=f(u)du. Отсюда f(u)du=dF(u)=f(u)+C.

6.

Метод замены переменных.

1) Подведение под знак дифференциала. Т1. Пусть функция y=f(x) определена и дифференцируема, пусть также существует f(x)=f((t)) тогда если функция f(x) имеет первообразную то справедлива формула: –формула замены переменных. Док-во: пусть F(x) для функции f(x), т.е. F(x)=f(x). Найдем первообразную для f((t)), [F((t))]>t>=F(x)((t)) (t)=F(x) (t)=f(x) (t). f(x) (t)dt=f((t))+C. F((t))+C=[F(x)+C]|>x>>=>>>>(>>t>>)>=f(x)dx|>x>>=>>>>(>>t>>)>.

Замечание1. При интегрировании иногда целесообразно подбирать подстановку не в виде x=(t), а в виде t=(x).

2) Подведение под знак дифференциала. F(x)dx=g((x)) (x)dx=g(u)du. f(x)dx=g((x)) (x)dx=g(u)du.

    dx=d(x+b), где b=const;

    dx=1/ad(ax), a0;

    dx=1/ad(ax+b), a0;

    ф(х)dx=dф(x);

    xdx=1/2 d(x2+b);

    sinxdx=d(-cosx);

    cosxdx=d(sinx);

Интегрирование по частям: udv=uv-vdu. До-во: Пусть u(x) и v(x) – функции от х с непрерывными производными. D(uv)=udv+vdu,udv=d(uv)-vdu(интегрируем) udv=d(uv)-vdu или udv=uv-vdu.

7.

Интегрирование по частям: udv=uv-vdu. До-во: Пусть u(x) и v(x) – функции от х с непрерывными производными. D(uv)=udv+vdu,udv=d(uv)-vdu(интегрируем) udv=d(uv)-vdu или udv=uv-vdu.

Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен:

Первый интеграл табличного вида: du/uk:

Второй интеграл сводится к нахождению интеграла: где u=x+p/2, a=, q-p2/4>0

– рекуррентная формула.

Интегрирование рациональных функций: R(x)=P(x)/Q(x), R(x)-рациональная функция, P(x) и Q(x)-многочлены. Дробь P(x)/Q(x) можно разложить в сумму простейших дробей, где A>i>, B>i>, C>i> – постоянные, а именно: каждому множителю (x-a)k в представлении знаменателя Q(x) соответствует в разложении дроби P(x)/Q(x) на слагаемые сумма k простейших дробей типа а каждому множителю (x2+px+q)t соответствует сумма t простейших дробей типа . Таким образом при разложении знаменателя Q(x) на множители имеет место разложение дроби P(x)/Q(x) на слагаемые.

Правила интегрирования рациональных дробей:

    Если рац. дробь неправильная, то её представляют в виде суммы многочлена и неправильной дроби.

    Разлагают знаменатель правильной дроби на множетели.

Правую рац. дробь разлагают на сумму простейших дробей. Этим самым интегрирование правильной рац. дроби сводят к интегрированию простейших дробей.

8.

Интегрирование тригонометрических функций:

    1 Интеграл вида:

      R(sinx, cosx) – нечетная функция относительно sinx, то cosx=t.

      R(sinx, cosx) – нечетная функция относительно cosx, то sinx=t.

      R(sinx, cosx) – нечетная функция относительно sinx и cosx, то tgx=t.

    1

      Оба показателя степени m и n – четные положительные числа: sinxcosx=1/2 sin2x; sin2x=1/2(1-cos2x); cos2x=1/2(1+cos2x).

    òtgmxdx и òctgmxdx, где m-целое положительное число. tg2x=sec2x-1 или ctg2x=cosec2x –1.

    òtgmxsecnxdx и òctgmxcosecnxdx, где n – четное положительное число. sec2x=1+tg2x или cosec2x=1+ctg2x.

    òsinmx*cosnxdx, òcosmx*cosnxdx, òsinmx*sinnxdx; sinacosb=1/2(sin(a+b)+sin(a-b)); cosacosb=1/2(cos(a+b)+cos(a-b)); sinasinb=1/2(cos(a-b)-cos(a+b));

9.

Интегрирование иррациональных функций:

    1 R(x, , ,…)dx, k-общий знаменатель дробей m/n, r/s…. x=tk, dx=ktk–1dt

      R(x,, …)dx, , x=, dx=

    1 Вынести 1/a или 1/-a. И выделим полные квадраты.

      Разбить на два интеграла.

    1

1)p-целое число x=tS, где s- наименьшее общее кратное знаменателей у дробей m и n. 2) (m+1)/n –целое число: a+bxn=tS; 3) p+(m+1)/n-целое число: a-n+b=tS и где s- знаменатель дроби p.

10.

Определенный интеграл:

    интервал [a,b], в котором задана функция f(x), разбивается на n частичных интервалов при помощи точек a=x>0><x>1><…<x>n>>–1><x>n>=b;

    Значение функции f(>I>) в какой нибудь точке >i>[x>i>–x>i>>–1>] умножается на длину этого интервала x>i>–x>i>>–1>, т.е. составляется произведение f(>i>)(x>i>–x>i>>–1>);

    , где x>i>–x>i>>–1>=x>i>;

I=– этот предел (если он существует) называется определенным интегралом, или интегралом от функции f(x) на интервале [a,b], обозначается

*1. Определенным интегралом называется предел интегральной суммы при стремлении к нулю длинны наибольшего частичного интеграла (в предположении, что предел существует).

Т1. (Необходимое условие существования интеграла): Если ОИ существует, т.е. функция f(x) интегрируема не [a,b], то f(x) ограничена на этом отрезке. Но этого не достаточно. Док-во: Функция Дирихле: