Курсовая работа по прикладной математике
Министерство общего и профессионального образования
Российской Федерации
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ
ИНСТИТУТ ЗАОЧНОГО ОБУЧЕНИЯ
Контрольная работа
по дисциплине «Прикладная математика»
Специальность Бухгалтерский учет и аудит
Курс 2-й
Группа БуиА-6-99/2
Студент
Студенческий билет №
ВАРИАНТ №25
-
Адрес
« » мая 2001г.
Проверил:
____________________/ /
«___»_______________2001г.
Москва 2001г.
Задача №1. Линейная производственная задача.
П
редприятие
может выпускать четыре вида продукции,
используя для этого три вида ресурсов.
Известны технологическая матрица А
затрат любого ресурса на единицу каждой
продукции, вектор В объемов ресурсов и
вектор С удельной прибыли
4 0 8 7 316
А= 3 2 5 1 В= 216 С=(31, 10, 41, 29)
5 6 3 2 199
Найти производственную программу (х1, х2, х3, х4), максимизирующую прибыль
z=31х>1>+10х>2>+41х>3>+29х>4>
Затраты ресурсов 1-го вида на производственную программу
4х>1>+0х>2>+8х>3>+7х>4>≤316
Затраты ресурсов 2-го вида на производственную программу
3х>1>+2х>2>+5х>3>+х>4>≤216
Затраты ресурсов 3-го вида на производственную программу
5х>1>+6х>2>+3х>3>+2х>4>≤199
И
меем
4х>1>+0х>2>+8х>3>+7х>4>≤316
3х>1>+2х>2>+5х>3>+х>4>≤216 (1)
5х>1>+6х>2>+3х>3>+2х>4>≤199
где по смыслу задачи
х>1>≥0, х>2>≥0, х>3>≥0, х>4>≥0. (2)
П
олучена
задача на нахождение условного экстремума.
Для ее решения систему неравенств (1)
при помощи дополнительных неизвестных
х5, х6, х7 заменим системой линейных
алгебраических уравнений
4х>1>+0х>2>+8х>3>+7х>4>+х>5>=316 (I)
3х>1>+2х>2>+5х>3>+ х>4>+х>6>=216 (II) (3)
5х>1>+6х>2>+3х>3>+2х>4>+х>7=>199 (III)
где дополнительные переменные имеют смысл остатков соответствующих ресурсов, а именно
х>5> – остаток сырья 1-го вида,
х>6> – остаток сырья 2-го вида,
х>7> – остаток сырья 3-го вида.
Среди всех решений системы уравнений (3), удовлетворяющих условию неотрицательности
х>1>≥0, х>2>≥0, х>3>≥0, х>4>≥0, х>5>≥0, х>6>≥0, х>7>≥0 (4)
надо найти то решение, при котором функция
z=31х>1>+10х>2>+41х>3>+29х>4>
будет иметь наибольшее значение
Организуем направленный перебор базисных решений при помощи симплекс метода.
Из функции z(x) видно, что наиболее выгодно начать производство с 3-го ресурса.
Н
айдем
ведущее уравнение:
b>i>> > 316 216 199 316
min ------- = ----- ----- ----- = -----
a>i3>>0 8 5 3 8
Примем I-е уравнение за ведущее. Решаем симплекс методом:
|
С |
Базис |
Н |
31 |
10 |
41 |
29 |
0 |
0 |
0 |
Поясне-ния |
|
х>1> |
х>2> |
х>3> |
х>4> |
х>5> |
х>6> |
х>7> |
||||
|
|
х>5> |
316 |
4 |
0 |
8 |
7 |
1 |
0 |
0 |
|
|
0 |
х>6> |
216 |
3 |
2 |
5 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
0 |
х>7> |
199 |
5 |
6 |
3 |
2 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
z>0>-z |
0-z |
-31 |
-10 |
-41 |
-29 |
0 |
0 |
0 |
|
|
41 |
х>3> |
39,5 |
1/2 |
0 |
1 |
7/8 |
1/8 |
0 |
0 |
|
|
|
х>6> |
18,5 |
1/2 |
2 |
0 |
-27/8 |
-5/8 |
1 |
0 |
|
|
0 |
х>7> |
80,5 |
7/2 |
6 |
0 |
-5/8 |
-3/8 |
0 |
1 |
|
|
∆ |
z>0>-z |
1619,5 |
-21/2 |
-10 |
0 |
55/8 |
41/8 |
0 |
0 |
|
|
41 |
х>3> |
28 |
0 |
-6/7 |
1 |
54/56 |
10/56 |
0 |
-1/7 |
Все ∆j≥0 |
|
0 |
х>6> |
7 |
0 |
8/7 |
0 |
-23/7 |
-4/7 |
1 |
-1/7 |
|
|
31 |
х>1> |
23 |
1 |
12/7 |
0 |
-10/56 |
-6/56 |
0 |
2/7 |
|
|
∆ |
z>0>-z |
1861 |
0 |
8 |
0 |
5 |
4 |
0 |
3 |
0
∆Оптимальная производственная программа:
х>1>=23, х>2>=0, х>3>=28, х>4>=0
Остатки ресурсов:
Первого вида – х>5>=0;
Второго вида – х>6>=7;
Третьего вида – х>7>=0
Максимальная прибыль z>max>=1861
О
бращенный
базис Q-1
10/56 0 -1/7
Q-1= -4/7 1 -1/7
-6/56 0 2/7
х>5>> >х>6>> >х>7>
Б
азис
Q
8 0 4
Q= 5 1 3
3 0 5
х>3 >х>6 >х>1>
С
амопроверка.
10/56•8+0•5-1/7•3 10/56•0+0•1-1/7•0 10/56•4+0•3-1/7•5 1 0 0
Q-1 •Q= -4/7•8+1•5-1/7•3 -4/7•0+1•1-1/7•0 -4/7•4+1•3-1/7•5 = 0 1 0
-6/56•8+0•5+2/7•3 -6/56•0+0•1+2/7•0 -6/56•4+0•3+2/7•5 0 0 1
10/56•316+0•216-1/7•199 28
Q-1 •B= -4/7•316+1•216-1/7•199 = 7
-6/56•316+0•216+2/7•199 23
Задача №2. Двойственная задача.
Предприниматель Петров, занимающийся производством других видов продукции, но с использованием 3-х таких же видов ресурсов, какие имеются у нас, предлагает нам продать ему по определенным ценам все имеющиеся у нас ресурсы и обещает заплатить у>1> за каждую единицу 1-го ресурса
у>2> за каждую единицу 2-го ресурса
у>3> за каждую единицу 3-го ресурса.
В
нашей задаче технологическая матрица
А, вектор объемов ресурсов В и вектор
удельной прибыли С имеют вид
4 0 8 7 316
А= 3 2 5 1 В= 216 С=(31, 10, 41, 29)
5 6 3 2 199
для производства единицы продукции 1-го вида мы должны затратить, как видно из матрицы А 4 единицы ресурса 1-го вида, 3 единицы ресурса 2-го вида, 5 единиц ресурса 3-го вида.
В ценах у>1>, у>2>, у>3 >наши затраты составят
4у>1>+3у>2>+5у>3>≥31
Аналогично, во 2-м столбце матрицы А указаны затраты различных ресурсов на производство единицы продукции 2-го вида
2у>2>+6у>3>≥10
Аналогично, в 3-м столбце матрицы А указаны затраты различных ресурсов на производство единицы продукции 3-го вида
8у>1>+5у>2>+3у>3>≥41
Аналогично, в 4-м столбце матрицы А указаны затраты различных ресурсов на производство единицы продукции 4-го вида
7у>1>+у>2>+2у>3>≥29
Учтем, что за все имеющиеся у нас ресурсы нам должны заплатить
316у>1>+216у>2>+199у>3>
Таким образом, проблема определения расчетных оценок ресурсов приводит к задаче линейного программирования: найти вектор двойственных оценок
У=(у>1>, у>2>, у>3>)
Минимизирующий общую оценку всех ресурсов
f=316у>1>+216у>2>+199у>3>
п
ри
условии, что по каждому виду продукции
суммарная оценка всех ресурсов,
затрачиваемых на производство единицы
продукции, не меньше прибыли, получаемой
от реализации единицы этой продукции:
4у>1>+3у>2>+5у>3>≥31
2у>2>+6у>3>≥10
8у>1>+5у>2>+3у>3>≥41
7у>1>+у>2>+2у>3>≥29
При этом оценки ресурсов не могут быть отрицательными
у>1>≥0, у>2>≥0, у>3>≥0
На основании 2-й основной теоремы двойственности
Х=(х>1>, х>2>, х>3>, х>4>) и у=(у>1>, у>2>, у>3>)
Необходимо
и достаточно выполнения условий
х>1>(4у>1>+3у>2>+5у>3>-31)=0
х>2>(2у>2>+6у>3>-10)=0
х>3>(8у>1>+5у>2>+3у>3>-41)=0
х>4>(7у>1>+у>2>+2у>3>-29)=0
Учитывая, что в решении исходной задачи х>1>>0, x>3>>0
П
оэтому
4у>1>+3у>2>+5у>3>-31=0
8у>1>+5у>2>+3у>3>-41=0
Учтем, что 2-й ресурс был избыточным и, согласно теореме двойственности, его двойственная оценка равна нулю у>2>=0
Имеем
систему уравнений
4у>1>+3у>2>+5у>3>-31=0
8у>1>+5у>2>+3у>3>-41=0
Решим систему:
4у>1>+5у>3>=31
у>1>=(31-5у>3>)/4
8((31-5у>3>)/4)+3у>3>=41
-7у>3>=-21
у>1>=(31-15)/4
откуда следует
у>1>=4, у>3>=3
Таким образом, получили двойственные оценки ресурсов
у>1>=4, у>2>=0, у>3>=3
Общая оценка всех ресурсов
f=316у>1>+216у>2>+199у>3>
f=1264+0+597=1861
Задача №2.1. Задача о «расшивке узких мест производства».
При выполнении оптимальной производственной программы 1-й и 3-й ресурсы используются полностью, образуя «узкие места производства». Их необходимо заказать дополнительно.
Пусть Т=(t>1>, 0, t>3>) – вектор дополнительных объемов ресурсов.
Так как мы предполагаем использовать найденные двойственные оценки ресурсов, то должно выполняться условие
Н+ Q-1Т≥0
Необходимо найти вектор
Т=(t>1>, 0, t>3>)
максимизирующий суммарный прирост прибыли
w=4t>1>+3t>3>
28 10/56 0 -1/7 t>1 >0
7 + -4/7 1 -1/7 · 0 ≥ 0
23 -6/56 0 2/7 t>3 >0
Предполагаем,
что дополнительно можно получить не
более 1/3 первоначального объема ресурса
каждого вида
t>1 > 316
0 ≤ 1/3 216
t>3 > 199
г
де
t>1>≥0,
t>3>≥0
10/56t>1>-1/7t>3>≥-28
-4/7t>1>-1/7t>3>≥-7
-6/56t>1>+2/7t>3>≥-23
-10/56t>1>+1/7t>3>≤28
4/7t>1>+1/7t>3>≤7
6/56t>1>-2/7t>3>≤23
t>1>≤316/3, t>3>≤199/3
t>1>≥0, t>3>≥0
|
t>1> |
t>3> |
|
|
I |
-156,8 |
0 |
|
I |
0 |
196 |
|
II |
12,25 |
0 |
|
II |
0 |
49 |
|
III |
214,66 |
0 |
|
III |
0 |
-80,5 |
|
IV |
105,33 |
0 |
|
V |
0 |
66,33 |
Программа расшивки имеет вид
t>1>=0, t>2>=0, t>3>=49
и прирост прибыли составляет
w=4t>1>+3t>3>=3∙49=147
Сводка результатов приведена в таблице:
|
С>j> |
31 |
10 |
41 |
29 |
b |
x>4+i> |
y>i> |
t>i> |
|
a>ij> |
4 |
0 |
8 |
7 |
316 |
0 |
4 |
0 |
|
3 |
2 |
5 |
1 |
216 |
7 |
0 |
0 |
|
|
5 |
6 |
3 |
2 |
199 |
0 |
3 |
49 |
|
|
x>j> |
23 |
0 |
28 |
0 |
1861 |
147 |
||
|
∆>j> |
0 |
8 |
0 |
5 |
Задача №3. Транспортная задача линейного программирования.
Исходные данные:
31 40 41 49
45 4 5 8 6
60 3 2 5 1
65 5 6 3 2
Общий объем производства ∑аi=45+60+65=170 единиц продукции.
Потребителям требуется ∑bi=31+40+41+49=161 единиц продукции.
Так как продукции производится больше на 9 единиц, чем требуется потребителям, то мы имеем открытую модель транспортной задачи. Для превращения ее в закрытую вводим фиктивный пункт потребления с объемом 9 единиц. Для нахождения первого базисного допустимого решения используем правило «северо-западного угла».
|
b>1>=31 |
b>2>=40 |
b>3>=41 |
b>4>=49 |
b>5>=9 |
||
|
a>1>=45 |
31 |
14 |
* |
p>1>=0 |
||
|
a>2>=60 |
26 |
34 |
p>2>=-3 |
|||
|
a>3>=65 |
7 |
49 |
9 |
p>3>=-5 |
||
|
q>1>=4 |
q>2>=5 |
q>3>=8 |
q>4>=7 |
q>5>=5 |
Θ=9 z(x>1>)=31·4+14·5+26·2+34·5+7·3+49·2+9·0=535
|
b>1>=31 |
b>2>=40 |
b>3>=41 |
b>4>=49 |
b>5>=9 |
||
|
a>1>=45 |
31 |
5 |
9 |
p>1>=0 |
||
|
a>2>=60 |
35 |
25 |
* |
p>2>=-3 |
||
|
a>3>=65 |
16 |
49 |
9 |
p>3>=-5 |
||
|
q>1>=4 |
q>2>=5 |
q>3>=8 |
q>4>=7 |
q>5>=5 |
Θ=25 z(x>2>)=31·4+5·5+35·2+25·5+16·3+49·2+9·0=490
|
b>1>=31 |
b>2>=40 |
b>3>=41 |
b>4>=49 |
b>5>=9 |
||
|
a>1>=45 |
31 |
5 |
9 |
p>1>=0 |
||
|
a>2>=60 |
35 |
25 |
p>2>=-3 |
|||
|
a>3>=65 |
41 |
24 |
p>3>=-2 |
|||
|
q>1>=4 |
q>2>=5 |
q>3>=5 |
q>4>=4 |
q>5>= |
z(x>3>)=31·4+5·5+35·2+25·1+41·3+24·2+9·0=415
Задача №4. Динамическое программирование. Распределение капитальных вложений.
Исходные данные:
|
x>j> |
0 |
100 |
200 |
300 |
400 |
500 |
600 |
700 |
|
f>1>(x>j>) |
0 |
10 |
23 |
30 |
38 |
43 |
49 |
52 |
|
f>2>(x>j>) |
0 |
13 |
25 |
37 |
48 |
55 |
61 |
66 |
|
f>3>(x>j>) |
0 |
16 |
30 |
37 |
44 |
48 |
50 |
49 |
|
f>4>(x>j>) |
0 |
10 |
17 |
23 |
29 |
34 |
38 |
41 |
Для решения используем метод «северо-восточной диагонали».
|
-x>2> |
0 |
100 |
200 |
300 |
400 |
500 |
600 |
700 |
|
|
x>2> |
0 |
10 |
23 |
30 |
38 |
43 |
49 |
52 |
|
|
0 |
0 |
0 |
10 |
23 |
30 |
38 |
43 |
49 |
52 |
|
100 |
13 |
13 |
23 |
36 |
43 |
51 |
56 |
62 |
|
|
200 |
25 |
25 |
35 |
48 |
55 |
63 |
68 |
||
|
300 |
37 |
37 |
47 |
60 |
67 |
75 |
|||
|
400 |
48 |
48 |
58 |
71 |
78 |
||||
|
500 |
55 |
55 |
65 |
78 |
|||||
|
600 |
61 |
61 |
71 |
||||||
|
700 |
66 |
66 |
|
0 |
100 |
200 |
300 |
400 |
500 |
600 |
700 |
|
|
F>2>( ) |
0 |
13 |
25 |
37 |
48 |
60 |
71 |
78 |
|
x>2>( ) |
0 |
100 |
200 |
300 |
200 |
300 |
400 |
500 |
|
-x>3> |
0 |
100 |
200 |
300 |
400 |
500 |
600 |
700 |
|
|
x>3> |
0 |
13 |
25 |
37 |
48 |
60 |
71 |
78 |
|
|
0 |
0 |
0 |
13 |
25 |
37 |
48 |
60 |
71 |
78 |
|
100 |
16 |
16 |
29 |
41 |
53 |
64 |
76 |
87 |
|
|
200 |
30 |
30 |
43 |
55 |
67 |
78 |
90 |
||
|
300 |
37 |
37 |
50 |
62 |
74 |
85 |
|||
|
400 |
44 |
44 |
57 |
69 |
81 |
||||
|
500 |
48 |
48 |
61 |
73 |
|||||
|
600 |
50 |
50 |
63 |
||||||
|
700 |
49 |
49 |
|
0 |
100 |
200 |
300 |
400 |
500 |
600 |
700 |
|
|
F>3>( ) |
0 |
16 |
30 |
43 |
55 |
67 |
78 |
90 |
|
x>3>( ) |
0 |
100 |
200 |
200 |
200 |
200 |
200 |
200 |
|
-x>4> |
0 |
100 |
200 |
300 |
400 |
500 |
600 |
700 |
|
|
x>4> |
0 |
16 |
30 |
43 |
55 |
67 |
78 |
90 |
|
|
0 |
0 |
0 |
90 |
||||||
|
100 |
10 |
88 |
|||||||
|
200 |
17 |
84 |
|||||||
|
300 |
23 |
78 |
|||||||
|
400 |
29 |
72 |
|||||||
|
500 |
34 |
64 |
|||||||
|
600 |
38 |
54 |
|||||||
|
700 |
41 |
41 |
x>4>*=x>4>(700)=0
x>3>*=x>3>(700-x>4>*)=x>3>(700)=200
x>2>*=x>2>(700-x>4>*-x>3>*)=x>2>(700-200)=x>2>(500)=300
x>1>*=700-x>4>*-x>3>*-x>2>*=700-0-200-300=200
x>1>=200
x>2>=300
x>3>=200
x>4>=0
Задача №5. Задача формирования оптимального портфеля ценных бумаг.
Исходные данные:
|
m>0> |
m>1> |
m>2> |
>1> |
>2> |
|
2 |
4 |
6 |
7 |
8 |
Требуется сформировать оптимальный портфель заданной эффективности из 3-х видов ценных бумаг: безрисковых эффективности 2 и некоррелированных рисковых ожидаемой эффективности 4 и 6 и рисками 7 и 8. Необходимо узнать, как устроена рисковая часть оптимального портфеля и при какой ожидаемой эффективности портфеля возникает необходимость в операции short sale и с какими ценными бумагами?
4 49 0
m>0>=2, М= , V=
6 0 64
Зададимся эффективностью портфеля m>p>
Найдем
обратную матрицу к V
1/49 0
V-1=
0 1/64
далее
4 1
M = I =
6 1
1/49 0 4 2 1/49 0 2 2/49
V-1(M-m>0>I)= - = =
0 1/64 6 2 0 1/64 4 1/16
2/49
(M-m>0>I)T V-1(M-m>0>I)=(2 4) = 65/196
1/16
Рисковые доли:
x>1>*=(m>p>-2) 8/65=(m>p>-2) 0,12
x>2>*=(m>p>-2) 49/260=(m>p>-2) 0,19
Безрисковая доля:
x>0>*=1-(m>p>-2) 0,31
Найдем значение m>p>, при котором возникает необходимость в проведении операции short sale:
(m>p>-2) 0,31=1
m>p>-2=1/0,31
m>p>=3,21+2
m>p>=5,21
Следовательно, если m>p>>5,21 то x>0>*<0 и необходимо провести операцию short sale.
Задача №6. Провести анализ доходности и риска финансовых операций.
Даны четыре операции Q>1>, Q>2>, Q>3>, Q>4>. Найти средние ожидаемые доходы Q>i> и риски r>i> операций. Нанести точки (Q>i>, r>i>) на плоскость, найти операции, оптимальные по Парето. С помощью взвешивающей формулы найти лучшую и худшую операции.
(0, 1/5), (2, 2/5), (10, 1/5), (28, 1/5)
(-6, 1/5), (-5, 2/5), (-1, 1/5), (8, 1/5)
(0, 1/2), (16, 1/8), (32, 1/8), (40, 1/4)
(-6, 1/2), (2, 1/8), (10, 1/8), (14, 1/4)
|
Q>1> |
0 |
2 |
10 |
28 |
|
1/5 |
2/5 |
1/5 |
1/5 |
|
|
Q>2> |
-6 |
-5 |
-1 |
8 |
|
1/5 |
2/5 |
1/5 |
1/5 |
|
|
Q>3> |
0 |
16 |
32 |
40 |
|
1/2 |
1/8 |
1/8 |
1/4 |
|
|
Q>4> |
-6 |
2 |
10 |
14 |
|
1/2 |
1/8 |
1/8 |
¼ |
Q>1>=8,4 r>1>=10,4
Q>2>=-1,8 r>2>=4,7
Q>3>=16 r>3>=17,4
Q>4>=2 r>4>=8,7
(Q>1>)=2 Q>1>-r>1>=6,4
(Q>2>)=2 Q>2>-r>2>=-8,3
(Q>3>)=2 Q>3>-r>3>=14,6
(Q>4>)=2 Q>4>-r>4>=-4,7
Лучшей операцией является операция №3, худшей операцией является операция №2.
Оптимальной точки нет, так как нет ни одной точки, не доминируемой никакой другой.