Интеграл Пуассона (работа 1)

Интеграл Пуассона.

Пусть x , g(x) , xR1 –суммируемые на -,  , 2- периодические, комплекснозначные функции. Через fg(x) будем обозначать свертку

fg(x) =dt

Из теоремы Фубини легко следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на -, и

c>n >( fg ) = c>n> ( f ) c>n> ( g ) , n = 0, 1 , 2 , ... ( 1 )

где  c>n> ( f ) -- коэффициенты Фурье функции f ( x ) :

c>n> = -i n tdt , n = 0, 

Пусть  L1 (-) . Рассмотрим при   r  функцию

>r> ( x ) = >n> ( f ) rn ei n x , x  , ( 2 )

где ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного r ,  r  . Коэффициенты Фурье функции >r> х равны

c>n> ( f>r> ) = c>n>  r n  , n = 0 , , а это согласно (1) значит, что >r > x  можно представить в виде свертки :

>r> ( x ) = , ( 3 )

где

, t   ( 4 )

Функция двух переменных Р>r> (t) , 0 r , t   , называется ядром Пуассона , а интеграл (3) -- интегралом Пуассона .

Следовательно,

P>r> ( t ) = , 0r   , t  . ( 5 )

Если  L ( -  )  действительная функция , то , учитывая , что

c>-n >( f ) = c>n>( f ) , n = 0 из соотношения (2) мы получим :

f>r> ( x ) =

= , ( 6 )

где

F ( z ) = c>0> ( f ) + 2 ( z = reix ) ( 7 )

    аналитическая в единичном круге функция . Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции  L1( -,  ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция

u ( z ) = >r> (eix ) , z = reix , 0  r 1 , x  [ -,  ] .

При этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) = 0 задается формулой

v (z) = Im F (z) = . ( 8 )

Утверждение1.

Пусть u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге  z     функция и  (x) = u (eix) , x,   . Тогда

u (z) = ( z = reix ,  z    ) ( 10 ).

Так как ядро Пуассона P>r> (t) - действительная функция, то равенство (10) достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция:

=,  z   +  .

Но тогда

и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).

Прежде чем перейти к изучению поведения функции >r >(x) при r , отметим некоторые свойства ядра Пуассона:

а) ;

б) ;

в) для любого >0

Соотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б) достаточно положить в (2) и (3)  х  .

Теорема 1.

Для произвольной (комплекснозначной) функции ( -,  ) , 1  p <  , имеет место равенство

;

если же  (x) непрерывна на [ -,  ] и  (-) =  () , то

.

Доказательство.

В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона

( 12 )

Для любой функции , пользуясь неравенством Гельдера и положительностью ядра Пуассона , находим

.

Следовательно,

.

Для данного    найдем  =  () такое, что . Тогда для r , достаточно близких к единице, мы получим оценку

.

Аналогично второе неравенство вытекает из неравенства

.

Теорема 1 доказана.

Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого типа", которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.

Определение1.

Пусть функция суммируема на любом интервале (-А, А), А > 0 . Максимальной функцией для функции называется функция

где супремум берется по всем интервалам I , содержащим точку х.

Определение 2.

Оператор называется оператором слабого типа (р,р) , если для любого y > 0

.

Теорема 2 (Фату).

Пусть - комплекснозначная функция из . Тогда

для п.в. .

Доказательство.

Покажем, что для и

, ( 13 )

где С - абсолютная константа , а M ( f, x ) - максимальная функция для f (x) 1. Для этой цели используем легко выводимую из (5) оценку

(К - абсолютная константа).

Пусть - такое число, что

.

Тогда для

.

Неравенство (13) доказано. Используя затем слабый тип (1,1) оператора , найдем такую последовательность функций ,что

,

( 14 )

для п.в. .

Согласно (13) при x (-2)

Учитывая , что по теореме 1 для каждого x [- ] и (14)

Из последней оценки получим

при n.

Теорема 2 доказана.

Замечание.

Используя вместо (13) более сильное неравенство (59), которое мы докажем позже, можно показать, что для п.в. x [- ] , когда точка reit стремится к eix по некасательному к окружности пути.

1 Мы считаем , что f (x) продолжена с сохранением периодичности на отрезок 22 (т.е.
f (x) = f (y) , если x,y  [-2,2] и x-y=2) и f (x) = 0 , если x   .