Билеты по аналитической геометрии

1.doc

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ.

Пусть задана система векторов а>1>, а>2>, а>3>,…,а> (1) одной размерности.

Определение: система векторов (1) называется линейно-независимой, если равенство >1>1>+>2>2>+…+>=0 (2) выполняется лишь в том случае, когда все числа >1>, >2>,…, >=0 и R

Определение: система векторов (1) называется линейно-зависимой, если равенство (2) выполнимо хотя бы при одном >i>0 (i=1,…,k)

Свойства

    Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима

    Если система векторов содержит линейно-зависимую подсистему векторов, то она будет линейно-зависимой.

    Если система векторов линейно-независима, то и любая ее подсистема будет линейно независимой.

    Если система векторов содержит хотя бы один вектор, являющийся линейной комбинацией других векторов, то эта система векторов будет линейно зависимой.

Определение: два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых.

Определение: три вектора называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях.

Теорема: Если заданы два вектора a и b, причем а0 и эти векторы коллинеарны, то найдется такое действительное число , что b=a.

Теорема: Для того что бы два вектора были линейно-зависимы необходимо и достаточно, что бы они были коллениарны.

Доказательство: достаточность. Т.к. векторы коллинеарны, то b=a. Будем считать, что а,b0 (если нет, то система линейно-зависима по 1 свойству). 1b-a=0. Т.к. коэфф. При b0, то система линейно зависима по определению. Необходимость. Пусть а и b линейно-зависимы. а+b=0, 0. а= -b/*b. а и b коллинеарны по определению умножения вектора на число.

Теорема: для того, чтобы три вектора были линекно-зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны. Необходимость.

Дано: a, b, c – линейно-зависимы. Доказать: a, b, c – компланарны. Доказательство: т.к. векторы линейно-зависимы, то а+b+c=0, 0. с= - /*а - /*b. с-диагональ параллелограмма, поэтому a, b, c лежат в одной плоскости.

БАЗИС СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. РАЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.

1. Определение: пусть задана некоторая система векторов. Базисом этой системы называется мах. совокупность линейно-независимых векторов системы.

В множестве векторов на прямой базис состоит из одного ненулевого вектора.

В качестве базиса множества векторов на плоскости можно взять произвольную пару.

В множестве векторов в трехмерном пространстве базис состоит из трех некомпланарных векторов.

2. Прямоугольная (декартова) система координат на плоскости определяется заданием двух взаимно перпендикулярных прямых с общим началом и одинаковой масштабной ед. на осях.

Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве определяется заданием трех взаимно перпендикулярных прямых с общей точкойпересечения и одинаковой масштабной ед. на осях.

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

Определение: скалярным произведением двух векторов называется произведение длин двух векторов на косинус угла между ними.

(а,b)=|a| |b| cos u, u<90, пр-е полож.; u=90, пр-е =0; u>90, пр-е отриц.

Свойства:

    (а,b)= (b,а)

    (а,b)=  (а,b)

    (а+b,с)= (а,с)+ (b,с)

    (а,а)=|a|2 – скал.квадрат.

Определение: два вектора называются ортоганальными, когда скалярное пр-е равно 0.

Определение: вектор называется нормированным, если его скал.кв.равен 1.

Определение: базис множества векторов называется ортонормированным, если все векторы базиса взаимно-ортагональны и каждый вектор нормирован.

Теорема: Если векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат.

Найдем формулу угла между векторами по определению скалярного произведения. cos u=a,b/|a||b|=x>1>x>2>+y>1>y>2>+z>1>z>2>/sqrt(x>1>2+y>1>2+z>1>2)*sqrt(x>2>2+y>2>2+z>2>2)

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

Определение: векторным произведением двух векторов a и b обозначаемым [a,b] называется вектор с удовлетворяющий след. требованиям: 1. |c|=|a||b|sin u. 2. (с,а)=0 и (с,b)=0. 3. а, b, с образуют правую тройку.

Свойства:

    [a,b]= - [b,a]

    [а,b]=  [а,b]

    [a+b,c]=[a,c]+[b,c]

    [a,a]=0

Теорема: Длина векторного произведения векторов равна площади параллелограмма построенного на этих векторах.

Доказательство: справедливость теоремы вытекает из первого требования определения векторного произведения.

Теорема: Пусть векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, тогда векторное произведение равно определителю третьего порядка в первой строке которого наход-ся базисны векторы, во второй – координаты первого вектора, в третьей – координаты второго.

Определение: ортой вектора а называется вектор ед. длины имеющий одинаковое направление с вектором а. e>a>=a/|a|

РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ.

1.Общее ур-е пр. 2. Ур-е пр. в отрезках. 3. Каноническое ур-е пр. 4. Ур-е пр. ч/з две точки. 5. Ур-е пр. с углов. коэфф. 6. Нормальное ур-е прямой. Расст. от точки до прямой. 7. Параметрическое ур-е пр. 8. Пучок пр. 9.Угол между пр.

    Ах+By+C=0 (1), где A, B одновр.не равны нулю.

Теорема: n(A,B) ортоганален прямой заданной ур-ем (1).

Доказательство: подставим коорд. т.М>0> в ур-е (1) и получим Ах>0>+By>0>+C=0 (1’). Вычтем (1)-(1’) получим А(х-х>0>)+B(y-y>0>)=0, n(A,B), М>0>М(х-х>0>, y-y>0>). Слева в полученном равенстве записано скалярное произведение векторов, оно равно 0, значит n и M>0>M ортоганальны. Т.о. n ортоганлен прямой. Вектор n(A,B) называется нормальным вектором прямой.

Замечание: пусть ур-я А>1>х+B>1>y+C>1>=0 и А>2>х+B>2>y+C>2>=0 определяют одну и ту же прямую, тогда найдется такое действительное число t, что А>1>=t*А>2 >и т.д.

Определение: если хотя бы один из коэффициентов в ур-ии (1) =0, то ур-е называется неполным.

1. С=0, Ах+By=0 – проходит ч/з (0,0)

2. С=0, А=0, By=0, значит у=0

3. С=0, B=0, Ах=0, значит х=0

4. А=0, By+C=0, паралл. ОХ

5. B=0, Ах+C=0, паралл. OY

    x/a+y/b=1.

Геом.смысл: прямая отсекает на осях координат отрезки а и b

    x-x>1>/e=y-y>1>/m

Пусть на прямой задана точка и напр. вектор прямой (паралл.пр.). Возьмем на прямой произв. точки. q и M>1>М(х-х>1>; y-y>1>)

    x-x>1>/x>2>-x>1>=y-y>1>/y>2>-y>1>

Пусть на прямой даны две точки М>1>(x>1>;y>1>) и М>2>(x>2>;y>2>). Т.к. на прямой заданы две точки, то задан направляющий вектор q(x>2>-x>1>; y>2>-y>1>)

    y=kb+b.

u – угол наклона прямой. Tg угла наклона называется угловым коэффициентом прямой k=tg u

Пусть прямая задана в каноническом виде. Найдем угловой коэффициент прямой tg u = m/e. Тогда видим x-x>1>/e/e=y-y>1>/m/e. y-y>1>=k(x-x>1>) при y>1>-kx>1>=b, y=kx+b

    xcos+ysin-P=0

 - угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.

Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и 

Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1, n(cos, sin). Пусть М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2. ОМ*n=cosx+siny. Приравняем правые части.

Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.

Ах+By+C=0

xcos+ysin-P=0

т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.

Cos2=(A*t)2

Sin2=(B*t)2

-p=C*t

cos2+sin2=t2(A2+B2), t2=1/A2+B2, t=sqrt(1/ A2+B2). Sign t= - sign C

Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t.

Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.

7. Система: x=et+x>1> и y=mt+y>1>

НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ. Расстояние от точки до прямой.

1. xcos+ysin-P=0

 - угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.

Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и 

Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1, n(cos, sin). Пусть М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2. ОМ*n=cosx+siny. Приравняем правые части.

Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.

Ах+By+C=0

xcos+ysin-P=0

т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.

Cos2=(A*t)2

Sin2=(B*t)2

-p=C*t

cos2+sin2=t2(A2+B2), t2=1/A2+B2, t=sqrt(1/ A2+B2). Sign t= - sign C

Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t.

Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.

2. Обозначим d – расстояние от точки до прямой, а ч/з б – отклонение точки от прямой. б=d, если нач.коорд. и точка по разные стороны; = - d, если нач.коорд. и точка по одну сторону.

Теорема: Пусть задано нормальное уравнение прямой xcos+ysin-P=0 и М>1>(x>1>;y>1>), тогда отклонение точки М>1> = x>1>cos+y>1>sin-P=0

Задача: найти расстояние от точки М>0>(x>0>;y>0>) до прямой Ах+By+C=0. Т.к. d=|б|, то формула расстояний принимает вид d=| x>0>cos+y>0>sin-P|. d=|Ах>0>+By>0>+C|/sqrt(A2+B2)

ГИПЕРБОЛА.

Определение: ГМТ на плоскости модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная

Каноническое уравнение:

Будем считать, что фокусы гиперболы находятся на ОХ на одинаковом расстоянии от начала координат. |F>1>F>2>|=2c, М – произвольная точка гиперболы. r>1>, r2 – расстояния от М до фокусов;
|r>2>-r>1>|=2a; a<c;

,

x2c2-2a2xc+a2=a2(x2-2xc+c2+y2)

x2(c2-a2)-a2y2=a2(c2-a2)

c2-a2=b2

x2b2-a2y2=a2b2

- каноническое ур-е гиперболы

ПАРАБОЛА.

Определение: ГМТ на плоскости расстояние от которых до фиксированной точки на плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой этой плоскости называемой директрисой.

Каноническое уравнение:

Пусть фокус параболы находится на оси ОХ, а директриса расположение перпендикулярно оси ОХ, причем они находятся на одинаковом расстоянии от начала координат.

|DF|=p, М – произвольная точка параболы; К – точка на директрисе; МF=r; MK=d;

r=sqrt((x-p/2)2+y2); d=p/2+x

Приравниваем и получаем:

y2=2px - каноническое уравнение параболы

ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ И ДИРЕКТРИСА ЭЛЛИПСА И ГИПЕРБОЛЫ.

1. Определение: эксцентриситет – величина равная отношению с к а.

е=с/а

е эллипсв <1 (т.к. а>c)

е гиперболы >1 (т.к. с>a)

Определение: окружность – эллипс у которого а=b, с=0, е=0.

Выразим эксцентриситеты через а и b:

е эллипса является мерой его «вытянутости»

е гиперболы характеризует угол раствора между асимптотами

2. Директрисой D эллипса (гиперболы), соответствующей фокусу F, называется прямая расположенная в полуплоскости  перпендикулярно большой оси эллипса и отстоящий от его центра на расстоянии а/е>a (а/е<a)

D>1>: x= - a/e

D>2>: x= a/e

р=а(1-е2)/е – для эллипса

р=а(е2-1)/е – для гиперболы

ТЕОРЕМА ОБ ОТНОШЕНИИ РАССТОЯНИЙ. 2-ОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.

Теорема: Отношение расстояния любой точки эллипса (гиперболы) до фокуса к расстоянию от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная равная е эллипса (гиперболы).

Доказательство: для эллипса.

r>1>/d>1>=e

x|a|, xe+a>0

r>1>=xe+a

d>1> – расстояние от М(x,y) до прямой D>1>

xcos180+ysin180-p=0

x=-p

x=-a/e

б>=-x-a/e

d>1>=-б> (минус, т.к. прямая и точка по одну стороно о начала коорд.)

Определение: ГМТ на плоскости, отношение расстояния от которых до фокуса, к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная и представляет собой эллипс, если <1, гиперболу, если >1, параболу, если =1.

ПОЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.

Пусть задан эллипс, парабола или правая ветвь гиперболы.

Пусть задан фокус этих кривых. Поместим полюс полярной системы в фокус кривой, а полярную ось совместим с осью симметрии, на которой находится фокус.

r= 

d=p+cos

e=/p+cos

- полярное уравнение эллипса, параболы и правой ветви гиперболы.

КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пусть задан эллипс в каноническом виде. Найдем уравнение касательной к нему, проходящей через М>0>(x>0>;y>0>) – точка касания, она принадлежит эллипсу значит справедливо:

у-у>0>=y’(x>0>)(x-x>0>)

Рассмотрим касательную к кривой следовательно

ya2y>0>-a2y>0>2+b2x>0>x-b2x>0>2=0

- уравнение касательной к эллипсу.

- уравнение касательной к гиперболе.

- уравнение касательной к параболе.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ.

Преобразование на плоскости есть применение преобразований параллельного переноса и поворота.

Пусть две прямоугольные системы координат имеют общее начало. Рассмотрим все возможные скалярные произведения базисных векторов двумя способами:

>1>;е>1>’)=cos u

>1>;е>2>’)=cos (90+u)= -sin u

>2>;е>1>’)=cos (90-u)=sin u

>2>;е>2>’)=cos u

Базис рассматривается ортонормированный:

>1>;е>1>’)=(е>1>, >11>1>+>12>2>)= >11>

>1>;е>2>’)= (е>1>, >21>1>+>22>2>)= >21>

>2>;е>1>’)= >12>

>2>;е>2>’)= >22>

Приравниваем:

>11>=cos u

>21>= - sin u

>12>=sin u

>22>=cos u

Получаем:

x=a+x’cos u – y’sin u

y=b+x’sin u – y’cos u - формулы поворота системы координат на угол u.

------------

x=a+x’

y=b+y’ - формулы параллельного переноса

ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА.

Определение: Инвариантой ур-я (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат, называется функция зависящая от коэффициентов ур-я (1) и не меняющая своего значения при преобразовании системы координат.

Теорема: инвариантами уравнения (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат являются следующие величины: I>1>; I>2>; I>3>

Вывод: при преобразовании системы координат 3 величины остаются неизменными, поэтому они характеризуют линию.

Определение:

I>2>>0 – элиптический тип

I>2><0 – гиперболический тип

I>2>=0 – параболический тип

ЦЕНТР ЛИНИИ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пусть задана на плоскости линия уравнением (1).

Параллельный перенос:

Параллельно перенесем систему XOY на вектор OO’ т.о. что бы в системе X’O’Y’ коэфф. при x’ и y’ преобразованного уравнения кривой оказались равными нулю. После этого:

a>11>x’2+2a>12>x’y’+a>22>y’2+a’>33>=0 (2)

точка О’ находится из условия: a>13>’=0 и a>23>’=0.

Получается система a>11>x>0>+a>12>y>0>+a>13>=0 и a>12>x>0>+a>22>y>0>+a>23>=0

Покажем, что новое начало координат (если система разрешима) является центром симметрии кривой: f(x’;y’)=0, f(-x’;-y’)= f(x’;y’)

Но точка О’ существует если знаменатели у x>0> и y>0> отличны от нуля.

Точка O’ – единственная точка.

Центр симметрии кривой существует если I>2>0 т.е. центр симметрии имеют линии элиптического и гиперболического типа

Поворот:

Пусть система XOY повернута на угол u. В новой системе координат уравнение не содержит члена с x’y’ т.е. мы делаем коэфф. а>12>=0. a>12>’= -0,5(a>11>-a>22>)sin2u+a>12>cos2u=0 (разделим на sin2u), получим:

, после такого преобразования уравнение принимает вид

a>11>’x’2+a>22>’y’2+2a>13>’x’+2a>23>’y’+a>33>’=0 (3)

ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ЭЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА.

Теорема: Пусть задана линия элиптического типа т.е. I>2>>0 и пусть I>1>>0> >следовательно уравнение (1) определяет: 1. I>3><0 – эллипс; 2. I>3>=0 – точка; 3. I>3>>0 – ур-е (1) не определяет. Если I>3>=0 говорят, что эллипс вырождается в точку. Если I>3>>0 говорят, что задается мнимый эллипс. Пусть после ПП и поворота ур-е (1) принимает вид (*).

Доказательство:

1. пусть I>2>>0, I>1>>0, I>3><0, тогда

а>11>’’x’’2+a>22>’’ y’’2= -I>3>/I>2>

I>2>=a>11>’’a>22>’’ > 0

I>1>= a>11>’’+a>22>’’ > 0

a>11>’’ > 0; a>22>’’ > 0

> >

Итак, под корнями стоят положительные числа, следовательно, уравнение эллипса.

2. I>3>>0 в данном случае под корнем стоят отрицательные числа, следовательно уравнение не определяет действительного геометрического образа.

3. I>3>=0 в данном случае т(0,0) – случай вырождения эллипса.

ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА.

Теорема: Пусть уравнение (1) определяет линию гиперболического типа. Т.е. I>2><0, I>3>0 - ур-е (1) определяет гиперболу; I>3>=0 – пару пересекающихся прямых.

Доказательство: I>2><0; I>2>= a>11>’’a>22>’’ < 0. Пусть a>11>’’>0; a>22>’’<0

Пусть I>3>>0

> >

В данном случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОХ.

Пусть I>3><0

-(-а>11>’’)x’’2+a>22>’’ y’’2= -I>3>/I>2>

> >

В этом случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОY

Пусть I>3>=0

а>11>’’x’’2-(-a>22>’’)y’’2=0

> >

> >

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ КРИВЫХ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пусть крива второго порядка задана уравнением (1). Рассмотрим квадратную часть этого уравнения: u(x,y)= a>11>x2+2a>12>xy+a>22>y2

Определение: ненулевой вектор (, ) координаты которого обращают в ноль квадратичную часть называется вектором асимптотического направления заданной кривой.

(, ) – вектор асимптотического направления.

a>11>2+2a>12>+a>22>2=0 (*)

Рассмотрим (’, ’) параллельный (, ): > > следовательно > >. Дробь / характеризует вектор асимптотического направления.

Задача: выяснить какие асимптотические направления имеют кривые 2-го порядка.

Решение: положим, что 0 и поделим на 2, получим: a>11>(/)2+2a>12>/+a>22>=0 из этого квадратного уравнения найдем /.

> >

т.к. у линий гиперболического и параболического типов I>2>0, то они имеют асимптотические направления. Т.к. у эллипса I>2>>0 следовательно таких у него нет (говорят он имеет мнимые асимптотические направления).

Найдем асимптотические направления у гиперболы:

> >

(, )>1>=(a,b)

(, )>2>=(-a,b)

Векторы асимптотического направления являются направляющими векторами для асимптот.

Итак: гипербола имеет два асимптотических направления, которые определяются асимптотами гиперболы.

Найдем асимптотические направления у параболы:

y2=2px

y2-2px=0

u(x,y)= y2+0, y=0

(, )=(0,0)

Итак: вектор асимптотического направления параболы лежит на оси симметрии параболы, т.е. прямая асимптотического направления пересекает параболу в одной точке, след. асимптотой не является. Парабола имеет одно асимптотическое направление, но асимптот не имеет.

РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ.

Пусть задано трехмерное пространство.

Теорема: Плоскость в афинной системе координат задается уравнением первой степени от трех переменных: Ax+By+Cz+D=0, где A,B,C0 одновреенно. Справедлива и обратная теорема.

Теорема: Вектор n(A, B, C) ортоганален плоскости, задаваемой общим уравнением.

Вектор n – нормальный вектор плоскости.

2. Уравнение плоскости в отрезках: > >

3. Уравнение плоскости, определенной нормальным вектором и точкой.

Пусть n(A,B,C) и М(x>0>;y>0>;z>0>). Запишем ур-е пл-ти:

Ax+By+Cz+D=0

Ax>0>+By>0>+Cz>0>=-D

A(x-x>0>)+B(y-y>0>)+C(z-z>0>)=0

    Уравнение плоскости ч/з 3 точки.

Пусть известны три точки не принадл. одной прямой.

М>1>(x>1>;y>1>;z>1>); М>2>(x>2>;y>2>;z>2>); М>3>(x>3>;y>3>;z>3>)

Пусть М(x;y;z) – произвольная точка плоскости. Т.к. точки принадл. одной плоскости то векторы компланарны.

М>1>М x-x>1> y-y>1> z-z>1>

М>1>2>> >x>2>-x>1> y>2>-y>1 >z>2>-z>1 >=0

М>1>3>> >x>3>-x>1> y>3>-y>1> z>3>-z>1>

    Параметрическое ур-е плоскости.

Пусть плоскость определена точкой и парой некомпланарных векторов. V(V>1>;V>2>;V>3>); U(U>1>;U>2>;U>3>); M>0>(x>0>;y>0>;z>0>), тогда плостость имеет вид: система: x=x>0>+V>1>t+U>1>s и y=y>0>+V>2>t+U>2>s и z=z>0>+V>3>t+U>3>s

РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ.

Ax+By+Cz+D=0; M>0>(x>0>;y>0>;z>0>)

> >

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ.

Угол между плоскостями: пусть заданы две плоскости: A>1>x+B>1>y+C>1>z+D>1>=0; A>2>x+B>2>y+C>2>z+D>2>=0, поэтому n>1>(A>1>;B>1>;C>1>); n>2>(A>2>;B>2>;C>2>). Отыскание угла между плоскостями сводится к отысканию его между нормальными векторами.

> >

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ.

Пусть задана система векторов а>1>, а>2>, а>3>,…,а> (1) одной размерности.

Определение: система векторов (1) называется линейно-независимой, если равенство >1>1>+>2>2>+…+>=0 (2) выполняется лишь в том случае, когда все числа >1>, >2>,…, >=0 и R

Определение: система векторов (1) называется линейно-зависимой, если равенство (2) выполнимо хотя бы при одном >i>0 (i=1,…,k)

Свойства

    Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима

    Если система векторов содержит линейно-зависимую подсистему векторов, то она будет линейно-зависимой.

    Если система векторов линейно-независима, то и любая ее подсистема будет линейно независимой.

    Если система векторов содержит хотя бы один вектор, являющийся линейной комбинацией других векторов, то эта система векторов будет линейно зависимой.

Определение: два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых.

Определение: три вектора называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях.

Теорема: Если заданы два вектора a и b, причем а0 и эти векторы коллинеарны, то найдется такое действительное число , что b=a.

Теорема: Для того что бы два вектора были линейно-зависимы необходимо и достаточно, что бы они были коллинеарны.

Доказательство: достаточность. Т.к. векторы коллинеарны, то b=a. Будем считать, что а,b0 (если нет, то система линейно-зависима по 1 свойству). 1b-a=0. Т.к. коэфф. При b0, то система линейно зависима по определению. Необходимость. Пусть а и b линейно-зависимы. а+b=0, 0. а= -b/*b. а и b коллинеарны по определению умножения вектора на число.

Теорема: для того, чтобы три вектора были линекно-зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны. Необходимость.

Дано: a, b, c – линейно-зависимы. Доказать: a, b, c – компланарны. Доказательство: т.к. векторы линейно-зависимы, то а+b+c=0, 0. с= - /*а - /*b. с-диагональ параллелограмма, поэтому a, b, c лежат в одной плоскости.

БАЗИС СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. РАЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.

1. Определение: пусть задана некоторая система векторов. Базисом этой системы называется мах. совокупность линейно-независимых векторов системы.

В множестве векторов на прямой базис состоит из одного ненулевого вектора.

В качестве базиса множества векторов на плоскости можно взять произвольную пару.

В множестве векторов в трехмерном пространстве базис состоит из трех некомпланарных векторов.

2. Прямоугольная (декартова) система координат на плоскости определяется заданием двух взаимно перпендикулярных прямых с общим началом и одинаковой масштабной ед. на осях.

Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве определяется заданием трех взаимно перпендикулярных прямых с общей точкойпересечения и одинаковой масштабной ед. на осях.

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

Определение: скалярным произведением двух векторов называется произведение длин двух векторов на косинус угла между ними.

(а,b)=|a| |b| cos u, u<90, пр-е полож.; u=90, пр-е =0; u>90, пр-е отриц.

Свойства:

    (а,b)= (b,а)

    (а,b)=  (а,b)

    (а+b,с)= (а,с)+ (b,с)

    (а,а)=|a|2 – скал.квадрат.

Определение: два вектора называются ортоганальными, когда скалярное пр-е равно 0.

Определение: вектор называется нормированным, если его скал.кв.равен 1.

Определение: базис множества векторов называется ортонормированным, если все векторы базиса взаимно-ортагональны и каждый вектор нормирован.

Теорема: Если векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат.

Найдем формулу угла между векторами по определению скалярного произведения. cos u=a,b/|a||b|=x>1>x>2>+y>1>y>2>+z>1>z>2>/sqrt(x>1>2+y>1>2+z>1>2)*sqrt(x>2>2+y>2>2+z>2>2)

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

Определение: векторным произведением двух векторов a и b обозначаемым [a,b] называется вектор с удовлетворяющий след. требованиям: 1. |c|=|a||b|sin u. 2. (с,а)=0 и (с,b)=0. 3. а, b, с образуют правую тройку.

Свойства:

    [a,b]= - [b,a]

    [а,b]=  [а,b]

    [a+b,c]=[a,c]+[b,c]

    [a,a]=0

Теорема: Длина векторного произведения векторов равна площади параллелограмма построенного на этих векторах.

Доказательство: справедливость теоремы вытекает из первого требования определения векторного произведения.

Теорема: Пусть векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, тогда векторное произведение равно определителю третьего порядка в первой строке которого наход-ся базисны векторы, во второй – координаты первого вектора, в третьей – координаты второго.

Определение: ортой вектора а называется вектор ед. длины имеющий одинаковое направление с вектором а. e>a>=a/|a|

РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ.

1.Общее ур-е пр. 2. Ур-е пр. в отрезках. 3. Каноническое ур-е пр. 4. Ур-е пр. ч/з две точки. 5. Ур-е пр. с углов. коэфф. 6. Нормальное ур-е прямой. Расст. от точки до прямой. 7. Параметрическое ур-е пр. 8. Пучок пр. 9.Угол между пр.

    Ах+By+C=0 (1), где A, B одновр.не равны нулю.

Теорема: n(A,B) ортоганален прямой заданной ур-ем (1).

Доказательство: подставим коорд. т.М>0> в ур-е (1) и получим Ах>0>+By>0>+C=0 (1’). Вычтем (1)-(1’) получим А(х-х>0>)+B(y-y>0>)=0, n(A,B), М>0>М(х-х>0>, y-y>0>). Слева в полученном равенстве записано скалярное произведение векторов, оно равно 0, значит n и M>0>M ортоганальны. Т.о. n ортоганлен прямой. Вектор n(A,B) называется нормальным вектором прямой.

Замечание: пусть ур-я А>1>х+B>1>y+C>1>=0 и А>2>х+B>2>y+C>2>=0 определяют одну и ту же прямую, тогда найдется такое действительное число t, что А>1>=t*А>2 >и т.д.

Определение: если хотя бы один из коэффициентов в ур-ии (1) =0, то ур-е называется неполным.

1. С=0, Ах+By=0 – проходит ч/з (0,0)

2. С=0, А=0, By=0, значит у=0

3. С=0, B=0, Ах=0, значит х=0

4. А=0, By+C=0, паралл. ОХ

5. B=0, Ах+C=0, паралл. OY

    x/a+y/b=1.

Геом.смысл: прямая отсекает на осях координат отрезки а и b

    x-x>1>/e=y-y>1>/m

Пусть на прямой задана точка и напр. вектор прямой (паралл.пр.). Возьмем на прямой произв. точки. q и M>1>М(х-х>1>; y-y>1>)

    x-x>1>/x>2>-x>1>=y-y>1>/y>2>-y>1>

Пусть на прямой даны две точки М>1>(x>1>;y>1>) и М>2>(x>2>;y>2>). Т.к. на прямой заданы две точки, то задан направляющий вектор q(x>2>-x>1>; y>2>-y>1>)

    y=kb+b.

u – угол наклона прямой. Tg угла наклона называется угловым коэффициентом прямой k=tg u

Пусть прямая задана в каноническом виде. Найдем угловой коэффициент прямой tg u = m/e. Тогда видим x-x>1>/e/e=y-y>1>/m/e. y-y>1>=k(x-x>1>) при y>1>-kx>1>=b, y=kx+b

    xcos+ysin-P=0

 - угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.

Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и 

Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1, n(cos, sin). Пусть М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2. ОМ*n=cosx+siny. Приравняем правые части.

Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.

Ах+By+C=0

xcos+ysin-P=0

т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.

Cos2=(A*t)2

Sin2=(B*t)2

-p=C*t

cos2+sin2=t2(A2+B2), t2=1/A2+B2, t=sqrt(1/ A2+B2). Sign t= - sign C

Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t.

Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.

7. Система: x=et+x>1> и y=mt+y>1>

НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ. Расстояние от точки до прямой.

1. xcos+ysin-P=0

 - угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.

Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и 

Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1, n(cos, sin). Пусть М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2. ОМ*n=cosx+siny. Приравняем правые части.

Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.

Ах+By+C=0

xcos+ysin-P=0

т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.

Cos2=(A*t)2

Sin2=(B*t)2

-p=C*t

cos2+sin2=t2(A2+B2), t2=1/A2+B2, t=sqrt(1/ A2+B2). Sign t= - sign C

Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t.

Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.

2. Обозначим d – расстояние от точки до прямой, а ч/з б – отклонение точки от прямой. б=d, если нач.коорд. и точка по разные стороны; = - d, если нач.коорд. и точка по одну сторону.

Теорема: Пусть задано нормальное уравнение прямой xcos+ysin-P=0 и М>1>(x>1>;y>1>), тогда отклонение точки М>1> = x>1>cos+y>1>sin-P=0

Задача: найти расстояние от точки М>0>(x>0>;y>0>) до прямой Ах+By+C=0. Т.к. d=|б|, то формула расстояний принимает вид d=| x>0>cos+y>0>sin-P|. d=|Ах>0>+By>0>+C|/sqrt(A2+B2)

ГИПЕРБОЛА.

Определение: ГМТ на плоскости модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная

Каноническое уравнение:

Будем считать, что фокусы гиперболы находятся на ОХ на одинаковом расстоянии от начала координат. |F>1>F>2>|=2c, М – произвольная точка гиперболы. r>1>, r2 – расстояния от М до фокусов;
|r>2>-r>1>|=2a; a<c;

,

x2c2-2a2xc+a2=a2(x2-2xc+c2+y2)

x2(c2-a2)-a2y2=a2(c2-a2)

c2-a2=b2

x2b2-a2y2=a2b2

- каноническое ур-е гиперболы

ПАРАБОЛА.

Определение: ГМТ на плоскости расстояние от которых до фиксированной точки на плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой этой плоскости называемой директрисой.

Каноническое уравнение:

Пусть фокус параболы находится на оси ОХ, а директриса расположение перпендикулярно оси ОХ, причем они находятся на одинаковом расстоянии от начала координат.

|DF|=p, М – произвольная точка параболы; К – точка на директрисе; МF=r; MK=d;

r=sqrt((x-p/2)2+y2); d=p/2+x

Приравниваем и получаем:

y2=2px - каноническое уравнение параболы

ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ И ДИРЕКТРИСА ЭЛЛИПСА И ГИПЕРБОЛЫ.

1. Определение: эксцентриситет – величина равная отношению с к а.

е=с/а

е эллипсв <1 (т.к. а>c)

е гиперболы >1 (т.к. с>a)

Определение: окружность – эллипс у которого а=b, с=0, е=0.

Выразим эксцентриситеты через а и b:

е эллипса является мерой его «вытянутости»

е гиперболы характеризует угол раствора между асимптотами

2. Директрисой D эллипса (гиперболы), соответствующей фокусу F, называется прямая расположенная в полуплоскости  перпендикулярно большой оси эллипса и отстоящий от его центра на расстоянии а/е>a (а/е<a)

D>1>: x= - a/e

D>2>: x= a/e

р=а(1-е2)/е – для эллипса

р=а(е2-1)/е – для гиперболы

ТЕОРЕМА ОБ ОТНОШЕНИИ РАССТОЯНИЙ. 2-ОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.

Теорема: Отношение расстояния любой точки эллипса (гиперболы) до фокуса к расстоянию от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная равная е эллипса (гиперболы).

Доказательство: для эллипса.

r>1>/d>1>=e

x|a|, xe+a>0

r>1>=xe+a

d>1> – расстояние от М(x,y) до прямой D>1>

xcos180+ysin180-p=0

x=-p

x=-a/e

б>=-x-a/e

d>1>=-б> (минус, т.к. прямая и точка по одну стороно о начала коорд.)

Определение: ГМТ на плоскости, отношение расстояния от которых до фокуса, к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная и представляет собой эллипс, если <1, гиперболу, если >1, параболу, если =1.

ПОЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.

Пусть задан эллипс, парабола или правая ветвь гиперболы.

Пусть задан фокус этих кривых. Поместим полюс полярной системы в фокус кривой, а полярную ось совместим с осью симметрии, на которой находится фокус.

r= 

d=p+cos

e=/p+cos

- полярное уравнение эллипса, параболы и правой ветви гиперболы.

КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пусть задан эллипс в каноническом виде. Найдем уравнение касательной к нему, проходящей через М>0>(x>0>;y>0>) – точка касания, она принадлежит эллипсу значит справедливо:

у-у>0>=y’(x>0>)(x-x>0>)

Рассмотрим касательную к кривой следовательно

ya2y>0>-a2y>0>2+b2x>0>x-b2x>0>2=0

- уравнение касательной к эллипсу.

- уравнение касательной к гиперболе.

- уравнение касательной к параболе.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ.

Преобразование на плоскости есть применение преобразований параллельного переноса и поворота.

Пусть две прямоугольные системы координат имеют общее начало. Рассмотрим все возможные скалярные произведения базисных векторов двумя способами:

>1>;е>1>’)=cos u

>1>;е>2>’)=cos (90+u)= -sin u

>2>;е>1>’)=cos (90-u)=sin u

>2>;е>2>’)=cos u

Базис рассматривается ортонормированный:

>1>;е>1>’)=(е>1>, >11>1>+>12>2>)= >11>

>1>;е>2>’)= (е>1>, >21>1>+>22>2>)= >21>

>2>;е>1>’)= >12>

>2>;е>2>’)= >22>

Приравниваем:

>11>=cos u

>21>= - sin u

>12>=sin u

>22>=cos u

Получаем:

x=a+x’cos u – y’sin u

y=b+x’sin u – y’cos u - формулы поворота системы координат на угол u.

------------

x=a+x’

y=b+y’ - формулы параллельного переноса

ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА.

Определение: Инвариантой ур-я (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат, называется функция зависящая от коэффициентов ур-я (1) и не меняющая своего значения при преобразовании системы координат.

Теорема: инвариантами уравнения (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат являются следующие величины: I>1>; I>2>; I>3>

Вывод: при преобразовании системы координат 3 величины остаются неизменными, поэтому они характеризуют линию.

Определение:

I>2>>0 – элиптический тип

I>2><0 – гиперболический тип

I>2>=0 – параболический тип

ЦЕНТР ЛИНИИ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пусть задана на плоскости линия уравнением (1).

Параллельный перенос:

Параллельно перенесем систему XOY на вектор OO’ т.о. что бы в системе X’O’Y’ коэфф. при x’ и y’ преобразованного уравнения кривой оказались равными нулю. После этого:

a>11>x’2+2a>12>x’y’+a>22>y’2+a’>33>=0 (2)

точка О’ находится из условия: a>13>’=0 и a>23>’=0.

Получается система a>11>x>0>+a>12>y>0>+a>13>=0 и a>12>x>0>+a>22>y>0>+a>23>=0

Покажем, что новое начало координат (если система разрешима) является центром симметрии кривой: f(x’;y’)=0, f(-x’;-y’)= f(x’;y’)

Но точка О’ существует если знаменатели у x>0> и y>0> отличны от нуля.

Точка O’ – единственная точка.

Центр симметрии кривой существует если I>2>0 т.е. центр симметрии имеют линии элиптического и гиперболического типа

Поворот:

Пусть система XOY повернута на угол u. В новой системе координат уравнение не содержит члена с x’y’ т.е. мы делаем коэфф. а>12>=0. a>12>’= -0,5(a>11>-a>22>)sin2u+a>12>cos2u=0 (разделим на sin2u), получим:

, после такого преобразования уравнение принимает вид

a>11>’x’2+a>22>’y’2+2a>13>’x’+2a>23>’y’+a>33>’=0 (3)

ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ЭЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА.

Теорема: Пусть задана линия элиптического типа т.е. I>2>>0 и пусть I>1>>0> >следовательно уравнение (1) определяет: 1. I>3><0 – эллипс; 2. I>3>=0 – точка; 3. I>3>>0 – ур-е (1) не определяет. Если I>3>=0 говорят, что эллипс вырождается в точку. Если I>3>>0 говорят, что задается мнимый эллипс. Пусть после ПП и поворота ур-е (1) принимает вид (*).

Доказательство:

1. пусть I>2>>0, I>1>>0, I>3><0, тогда

а>11>’’x’’2+a>22>’’ y’’2= -I>3>/I>2>

> >

I>2>=a>11>’’a>22>’’ > 0

I>1>= a>11>’’+a>22>’’ > 0

a>11>’’ > 0; a>22>’’ > 0

> >

Итак, под корнями стоят положительные числа, следовательно, уравнение эллипса.

2. I>3>>0 в данном случае под корнем стоят отрицательные числа, следовательно уравнение не определяет действительного геометрического образа.

3. I>3>=0 в данном случае т(0,0) – случай вырождения эллипса.

ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА.

Теорема: Пусть уравнение (1) определяет линию гиперболического типа. Т.е. I>2><0, I>3>0 - ур-е (1) определяет гиперболу; I>3>=0 – пару пересекающихся прямых.

Доказательство: I>2><0; I>2>= a>11>’’a>22>’’ < 0. Пусть a>11>’’>0; a>22>’’<0

Пусть I>3>>0

> >

В данном случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОХ.

Пусть I>3><0

-(-а>11>’’)x’’2+a>22>’’ y’’2= -I>3>/I>2>

> >

В этом случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОY

Пусть I>3>=0

а>11>’’x’’2-(-a>22>’’)y’’2=0

> >

> >

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ КРИВЫХ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пусть крива второго порядка задана уравнением (1). Рассмотрим квадратную часть этого уравнения: u(x,y)= a>11>x2+2a>12>xy+a>22>y2

Определение: ненулевой вектор (, ) координаты которого обращают в ноль квадратичную часть называется вектором асимптотического направления заданной кривой.

(, ) – вектор асимптотического направления.

a>11>2+2a>12>+a>22>2=0 (*)

Рассмотрим (’, ’) параллельный (, ): > > следовательно > >. Дробь / характеризует вектор асимптотического направления.

Задача: выяснить какие асимптотические направления имеют кривые 2-го порядка.

Решение: положим, что 0 и поделим на 2, получим: a>11>(/)2+2a>12>/+a>22>=0 из этого квадратного уравнения найдем /.

> >

т.к. у линий гиперболического и параболического типов I>2>0, то они имеют асимптотические направления. Т.к. у эллипса I>2>>0 следовательно таких у него нет (говорят он имеет мнимые асимптотические направления).

Найдем асимптотические направления у гиперболы:

> >

(, )>1>=(a,b)

(, )>2>=(-a,b)

Векторы асимптотического направления являются направляющими векторами для асимптот.

Итак: гипербола имеет два асимптотических направления, которые определяются асимптотами гиперболы.

Найдем асимптотические направления у параболы:

y2=2px

y2-2px=0

u(x,y)= y2+0, y=0

(, )=(0,0)

Итак: вектор асимптотического направления параболы лежит на оси симметрии параболы, т.е. прямая асимптотического направления пересекает параболу в одной точке, след. асимптотой не является. Парабола имеет одно асимптотическое направление, но асимптот не имеет.

РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ.

Пусть задано трехмерное пространство.

Теорема: Плоскость в афинной системе координат задается уравнением первой степени от трех переменных: Ax+By+Cz+D=0, где A,B,C0 одновреенно. Справедлива и обратная теорема.

Теорема: Вектор n(A, B, C) ортоганален плоскости, задаваемой общим уравнением.

Вектор n – нормальный вектор плоскости.

2. Уравнение плоскости в отрезках: > >

3. Уравнение плоскости, определенной нормальным вектором и точкой.

Пусть n(A,B,C) и М(x>0>;y>0>;z>0>). Запишем ур-е пл-ти:

Ax+By+Cz+D=0

Ax>0>+By>0>+Cz>0>=-D

A(x-x>0>)+B(y-y>0>)+C(z-z>0>)=0

    Уравнение плоскости ч/з 3 точки.

Пусть известны три точки не принадл. одной прямой.

М>1>(x>1>;y>1>;z>1>); М>2>(x>2>;y>2>;z>2>); М>3>(x>3>;y>3>;z>3>)

Пусть М(x;y;z) – произвольная точка плоскости. Т.к. точки принадл. одной плоскости то векторы компланарны.

М>1>М x-x>1> y-y>1> z-z>1>

М>1>2 >x>2>-x>1> y>2>-y>1 >z>2>-z>1 >=0

М>1>3 >x>3>-x>1> y>3>-y>1> z>3>-z>1>

    Параметрическое ур-е плоскости.

Пусть плоскость определена точкой и парой некомпланарных векторов. V(V>1>;V>2>;V>3>); U(U>1>;U>2>;U>3>); M>0>(x>0>;y>0>;z>0>), тогда плостость имеет вид: система: x=x>0>+V>1>t+U>1>s и y=y>0>+V>2>t+U>2>s и z=z>0>+V>3>t+U>3>s

РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ.

Ax+By+Cz+D=0; M>0>(x>0>;y>0>;z>0>)

> >

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ.

Угол между плоскостями: пусть заданы две плоскости: A>1>x+B>1>y+C>1>z+D>1>=0; A>2>x+B>2>y+C>2>z+D>2>=0, поэтому n>1>(A>1>;B>1>;C>1>); n>2>(A>2>;B>2>;C>2>). Отыскание угла между плоскостями сводится к отысканию его между нормальными векторами.

> >

Пучки и связки плоскостей.

Определение: пучком плоскостей называется совокупность плоскостей, проходящих ч/з одну и ту же прямую.

Что бы задать пучок плоскостей д.б. определены две плоскости

Теорема: Пусть две плоскости пучка заданы уравнениями: A>1>x+B>1>y+C>1>z+D>1>=0; A>2>x+B>2>y+C>2>z+D>2>=0, тогда любая другая плоскость пучка задана уравнением: (A>1>x+B>1>y+C>1>z+D>1>)+(A>2>x+B>2>y+C>2>z+D>2>), где  и  принадлежат R и не равны нулю одновременно.

Определение: связкой плоскостей называется совокупность плоскостей, роходящих ч/з одну точку. Эта точка называется центром связки.

Условия для плоскостей:

1. n>1> параллелен n>2> > > - параллельности.

2. A>1>A>2>+B>1>B>2>+C>1>C>2>=0 – перпендикулярности.

3. пересечения трех плоскостей в одной точке:

Пусть заданы три плоскости: система: A>1>x+B>1>y+C>1>z+D>1>=0; A>2>x+B>2>y+C>2>z+D>2>=0; A>3>x+B>3>y+C>3>z+D>3>=0

Данная система должна иметь единственное решение, а поэтому ее определитель составленный из коэфф. при каждом не равен 0.

3.doc

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ.

Пусть задана система векторов а>1>, а>2>, а>3>,…,а> (1) одной размерности.

Определение: система векторов (1) называется линейно-независимой, если равенство >1>1>+>2>2>+…+>=0 (2) выполняется лишь в том случае, когда все числа >1>, >2>,…, >=0 и R

Определение: система векторов (1) называется линейно-зависимой, если равенство (2) выполнимо хотя бы при одном >i>0 (i=1,…,k)

Свойства

    Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима

    Если система векторов содержит линейно-зависимую подсистему векторов, то она будет линейно-зависимой.

    Если система векторов линейно-независима, то и любая ее подсистема будет линейно независимой.

    Если система векторов содержит хотя бы один вектор, являющийся линейной комбинацией других векторов, то эта система векторов будет линейно зависимой.

Определение: два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых.

Определение: три вектора называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях.

Теорема: Если заданы два вектора a и b, причем а0 и эти векторы коллинеарны, то найдется такое действительное число , что b=a.

Теорема: Для того что бы два вектора были линейно-зависимы необходимо и достаточно, что бы они были коллениарны.

Доказательство: достаточность. Т.к. векторы коллинеарны, то b=a. Будем считать, что а,b0 (если нет, то система линейно-зависима по 1 свойству). 1b-a=0. Т.к. коэфф. При b0, то система линейно зависима по определению. Необходимость. Пусть а и b линейно-зависимы. а+b=0, 0. а= -b/*b. а и b коллинеарны по определению умножения вектора на число.

Теорема: для того, чтобы три вектора были линекно-зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны. Необходимость.

Дано: a, b, c – линейно-зависимы. Доказать: a, b, c – компланарны. Доказательство: т.к. векторы линейно-зависимы, то а+b+c=0, 0. с= - /*а - /*b. с-диагональ параллелограмма, поэтому a, b, c лежат в одной плоскости.

БАЗИС СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. РАЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.

1. Определение: пусть задана некоторая система векторов. Базисом этой системы называется мах. совокупность линейно-независимых векторов системы.

В множестве векторов на прямой базис состоит из одного ненулевого вектора.

В качестве базиса множества векторов на плоскости можно взять произвольную пару.

В множестве векторов в трехмерном пространстве базис состоит из трех некомпланарных векторов.

2. Прямоугольная (декартова) система координат на плоскости определяется заданием двух взаимно перпендикулярных прямых с общим началом и одинаковой масштабной ед. на осях.

Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве определяется заданием трех взаимно перпендикулярных прямых с общей точкойпересечения и одинаковой масштабной ед. на осях.

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

Определение: скалярным произведением двух векторов называется произведение длин двух векторов на косинус угла между ними.

(а,b)=|a| |b| cos u, u<90, пр-е полож.; u=90, пр-е =0; u>90, пр-е отриц.

Свойства:

    (а,b)= (b,а)

    (а,b)=  (а,b)

    (а+b,с)= (а,с)+ (b,с)

    (а,а)=|a|2 – скал.квадрат.

Определение: два вектора называются ортоганальными, когда скалярное пр-е равно 0.

Определение: вектор называется нормированным, если его скал.кв.равен 1.

Определение: базис множества векторов называется ортонормированным, если все векторы базиса взаимно-ортагональны и каждый вектор нормирован.

Теорема: Если векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат.

Найдем формулу угла между векторами по определению скалярного произведения. cos u=a,b/|a||b|=x>1>x>2>+y>1>y>2>+z>1>z>2>/sqrt(x>1>2+y>1>2+z>1>2)*sqrt(x>2>2+y>2>2+z>2>2)

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

Определение: векторным произведением двух векторов a и b обозначаемым [a,b] называется вектор с удовлетворяющий след. требованиям: 1. |c|=|a||b|sin u. 2. (с,а)=0 и (с,b)=0. 3. а, b, с образуют правую тройку.

Свойства:

    [a,b]= - [b,a]

    [а,b]=  [а,b]

    [a+b,c]=[a,c]+[b,c]

    [a,a]=0

Теорема: Длина векторного произведения векторов равна площади параллелограмма построенного на этих векторах.

Доказательство: справедливость теоремы вытекает из первого требования определения векторного произведения.

Теорема: Пусть векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, тогда векторное произведение равно определителю третьего порядка в первой строке которого наход-ся базисны векторы, во второй – координаты первого вектора, в третьей – координаты второго.

Определение: ортой вектора а называется вектор ед. длины имеющий одинаковое направление с вектором а. e>a>=a/|a|

РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ.

1.Общее ур-е пр. 2. Ур-е пр. в отрезках. 3. Каноническое ур-е пр. 4. Ур-е пр. ч/з две точки. 5. Ур-е пр. с углов. коэфф. 6. Нормальное ур-е прямой. Расст. от точки до прямой. 7. Параметрическое ур-е пр. 8. Пучок пр. 9.Угол между пр.

    Ах+By+C=0 (1), где A, B одновр.не равны нулю.

Теорема: n(A,B) ортоганален прямой заданной ур-ем (1).

Доказательство: подставим коорд. т.М>0> в ур-е (1) и получим Ах>0>+By>0>+C=0 (1’). Вычтем (1)-(1’) получим А(х-х>0>)+B(y-y>0>)=0, n(A,B), М>0>М(х-х>0>, y-y>0>). Слева в полученном равенстве записано скалярное произведение векторов, оно равно 0, значит n и M>0>M ортоганальны. Т.о. n ортоганлен прямой. Вектор n(A,B) называется нормальным вектором прямой.

Замечание: пусть ур-я А>1>х+B>1>y+C>1>=0 и А>2>х+B>2>y+C>2>=0 определяют одну и ту же прямую, тогда найдется такое действительное число t, что А>1>=t*А>2 >и т.д.

Определение: если хотя бы один из коэффициентов в ур-ии (1) =0, то ур-е называется неполным.

1. С=0, Ах+By=0 – проходит ч/з (0,0)

2. С=0, А=0, By=0, значит у=0

3. С=0, B=0, Ах=0, значит х=0

4. А=0, By+C=0, паралл. ОХ

5. B=0, Ах+C=0, паралл. OY

    x/a+y/b=1.

Геом.смысл: прямая отсекает на осях координат отрезки а и b

    x-x>1>/e=y-y>1>/m

Пусть на прямой задана точка и напр. вектор прямой (паралл.пр.). Возьмем на прямой произв. точки. q и M>1>М(х-х>1>; y-y>1>)

    x-x>1>/x>2>-x>1>=y-y>1>/y>2>-y>1>

Пусть на прямой даны две точки М>1>(x>1>;y>1>) и М>2>(x>2>;y>2>). Т.к. на прямой заданы две точки, то задан направляющий вектор q(x>2>-x>1>; y>2>-y>1>)

    y=kb+b.

u – угол наклона прямой. Tg угла наклона называется угловым коэффициентом прямой k=tg u

Пусть прямая задана в каноническом виде. Найдем угловой коэффициент прямой tg u = m/e. Тогда видим x-x>1>/e/e=y-y>1>/m/e. y-y>1>=k(x-x>1>) при y>1>-kx>1>=b, y=kx+b

    xcos+ysin-P=0

 - угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.

Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и 

Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1, n(cos, sin). Пусть М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2. ОМ*n=cosx+siny. Приравняем правые части.

Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.

Ах+By+C=0

xcos+ysin-P=0

т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.

Cos2=(A*t)2

Sin2=(B*t)2

-p=C*t

cos2+sin2=t2(A2+B2), t2=1/A2+B2, t=sqrt(1/ A2+B2). Sign t= - sign C

Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t.

Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.

7. Система: x=et+x>1> и y=mt+y>1>

НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ. Расстояние от точки до прямой.

1. xcos+ysin-P=0

 - угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.

Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и 

Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1, n(cos, sin). Пусть М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2. ОМ*n=cosx+siny. Приравняем правые части.

Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.

Ах+By+C=0

xcos+ysin-P=0

т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.

Cos2=(A*t)2

Sin2=(B*t)2

-p=C*t

cos2+sin2=t2(A2+B2), t2=1/A2+B2, t=sqrt(1/ A2+B2). Sign t= - sign C

Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t.

Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.

2. Обозначим d – расстояние от точки до прямой, а ч/з б – отклонение точки от прямой. б=d, если нач.коорд. и точка по разные стороны; = - d, если нач.коорд. и точка по одну сторону.

Теорема: Пусть задано нормальное уравнение прямой xcos+ysin-P=0 и М>1>(x>1>;y>1>), тогда отклонение точки М>1> = x>1>cos+y>1>sin-P=0

Задача: найти расстояние от точки М>0>(x>0>;y>0>) до прямой Ах+By+C=0. Т.к. d=|б|, то формула расстояний принимает вид d=| x>0>cos+y>0>sin-P|. d=|Ах>0>+By>0>+C|/sqrt(A2+B2)

ГИПЕРБОЛА.

Определение: ГМТ на плоскости модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная

Каноническое уравнение:

Будем считать, что фокусы гиперболы находятся на ОХ на одинаковом расстоянии от начала координат. |F>1>F>2>|=2c, М – произвольная точка гиперболы. r>1>, r2 – расстояния от М до фокусов;
|r>2>-r>1>|=2a; a<c;

,

x2c2-2a2xc+a2=a2(x2-2xc+c2+y2)

x2(c2-a2)-a2y2=a2(c2-a2)

c2-a2=b2

x2b2-a2y2=a2b2

- каноническое ур-е гиперболы

ПАРАБОЛА.

Определение: ГМТ на плоскости расстояние от которых до фиксированной точки на плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой этой плоскости называемой директрисой.

Каноническое уравнение:

Пусть фокус параболы находится на оси ОХ, а директриса расположение перпендикулярно оси ОХ, причем они находятся на одинаковом расстоянии от начала координат.

|DF|=p, М – произвольная точка параболы; К – точка на директрисе; МF=r; MK=d;

r=sqrt((x-p/2)2+y2); d=p/2+x

Приравниваем и получаем:

y2=2px - каноническое уравнение параболы

ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ И ДИРЕКТРИСА ЭЛЛИПСА И ГИПЕРБОЛЫ.

1. Определение: эксцентриситет – величина равная отношению с к а.

е=с/а

е эллипсв <1 (т.к. а>c)

е гиперболы >1 (т.к. с>a)

Определение: окружность – эллипс у которого а=b, с=0, е=0.

Выразим эксцентриситеты через а и b:

е эллипса является мерой его «вытянутости»

е гиперболы характеризует угол раствора между асимптотами

2. Директрисой D эллипса (гиперболы), соответствующей фокусу F, называется прямая расположенная в полуплоскости  перпендикулярно большой оси эллипса и отстоящий от его центра на расстоянии а/е>a (а/е<a)

D>1>: x= - a/e

D>2>: x= a/e

р=а(1-е2)/е – для эллипса

р=а(е2-1)/е – для гиперболы

ТЕОРЕМА ОБ ОТНОШЕНИИ РАССТОЯНИЙ. 2-ОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.

Теорема: Отношение расстояния любой точки эллипса (гиперболы) до фокуса к расстоянию от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная равная е эллипса (гиперболы).

Доказательство: для эллипса.

r>1>/d>1>=e

x|a|, xe+a>0

r>1>=xe+a

d>1> – расстояние от М(x,y) до прямой D>1>

xcos180+ysin180-p=0

x=-p

x=-a/e

б>=-x-a/e

d>1>=-б> (минус, т.к. прямая и точка по одну стороно о начала коорд.)

Определение: ГМТ на плоскости, отношение расстояния от которых до фокуса, к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная и представляет собой эллипс, если <1, гиперболу, если >1, параболу, если =1.

ПОЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.

Пусть задан эллипс, парабола или правая ветвь гиперболы.

Пусть задан фокус этих кривых. Поместим полюс полярной системы в фокус кривой, а полярную ось совместим с осью симметрии, на которой находится фокус.

r= 

d=p+cos

e=/p+cos

- полярное уравнение эллипса, параболы и правой ветви гиперболы.

КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пусть задан эллипс в каноническом виде. Найдем уравнение касательной к нему, проходящей через М>0>(x>0>;y>0>) – точка касания, она принадлежит эллипсу значит справедливо:

у-у>0>=y’(x>0>)(x-x>0>)

Рассмотрим касательную к кривой следовательно

ya2y>0>-a2y>0>2+b2x>0>x-b2x>0>2=0

> >

> >

> > - уравнение касательной к эллипсу.

> > - уравнение касательной к гиперболе.

> > - уравнение касательной к параболе.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ.

Преобразование на плоскости есть применение преобразований параллельного переноса и поворота.

Пусть две прямоугольные системы координат имеют общее начало. Рассмотрим все возможные скалярные произведения базисных векторов двумя способами:

>1>;е>1>’)=cos u

>1>;е>2>’)=cos (90+u)= -sin u

>2>;е>1>’)=cos (90-u)=sin u

>2>;е>2>’)=cos u

Базис рассматривается ортонормированный:

>1>;е>1>’)=(е>1>, >11>1>+>12>2>)= >11>

>1>;е>2>’)= (е>1>, >21>1>+>22>2>)= >21>

>2>;е>1>’)= >12>

>2>;е>2>’)= >22>

Приравниваем:

>11>=cos u

>21>= - sin u

>12>=sin u

>22>=cos u

Получаем:

x=a+x’cos u – y’sin u

y=b+x’sin u – y’cos u - формулы поворота системы координат на угол u.

------------

x=a+x’

y=b+y’ - формулы параллельного переноса

ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА.

Определение: Инвариантой ур-я (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат, называется функция зависящая от коэффициентов ур-я (1) и не меняющая своего значения при преобразовании системы координат.

Теорема: инвариантами уравнения (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат являются следующие величины: I>1>; I>2>; I>3>

Вывод: при преобразовании системы координат 3 величины остаются неизменными, поэтому они характеризуют линию.

Определение:

I>2>>0 – элиптический тип

I>2><0 – гиперболический тип

I>2>=0 – параболический тип

ЦЕНТР ЛИНИИ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пусть задана на плоскости линия уравнением (1).

Параллельный перенос:

Параллельно перенесем систему XOY на вектор OO’ т.о. что бы в системе X’O’Y’ коэфф. при x’ и y’ преобразованного уравнения кривой оказались равными нулю. После этого:

a>11>x’2+2a>12>x’y’+a>22>y’2+a’>33>=0 (2)

точка О’ находится из условия: a>13>’=0 и a>23>’=0.

Получается система a>11>x>0>+a>12>y>0>+a>13>=0 и a>12>x>0>+a>22>y>0>+a>23>=0

Покажем, что новое начало координат (если система разрешима) является центром симметрии кривой: f(x’;y’)=0, f(-x’;-y’)= f(x’;y’)

Но точка О’ существует если знаменатели у x>0> и y>0> отличны от нуля.

Точка O’ – единственная точка.

Центр симметрии кривой существует если I>2>0 т.е. центр симметрии имеют линии элиптического и гиперболического типа

Поворот:

Пусть система XOY повернута на угол u. В новой системе координат уравнение не содержит члена с x’y’ т.е. мы делаем коэфф. а>12>=0. a>12>’= -0,5(a>11>-a>22>)sin2u+a>12>cos2u=0 (разделим на sin2u), получим:

> >, после такого преобразования уравнение принимает вид

a>11>’x’2+a>22>’y’2+2a>13>’x’+2a>23>’y’+a>33>’=0 (3)

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ.

Пусть задана система векторов а>1>, а>2>, а>3>,…,а> (1) одной размерности.

Определение: система векторов (1) называется линейно-независимой, если равенство >1>1>+>2>2>+…+>=0 (2) выполняется лишь в том случае, когда все числа >1>, >2>,…, >=0 и R

Определение: система векторов (1) называется линейно-зависимой, если равенство (2) выполнимо хотя бы при одном >i>0 (i=1,…,k)

Свойства

    Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима

    Если система векторов содержит линейно-зависимую подсистему векторов, то она будет линейно-зависимой.

    Если система векторов линейно-независима, то и любая ее подсистема будет линейно независимой.

    Если система векторов содержит хотя бы один вектор, являющийся линейной комбинацией других векторов, то эта система векторов будет линейно зависимой.

Определение: два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых.

Определение: три вектора называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях.

Теорема: Если заданы два вектора a и b, причем а0 и эти векторы коллинеарны, то найдется такое действительное число , что b=a.

Теорема: Для того что бы два вектора были линейно-зависимы необходимо и достаточно, что бы они были коллинеарны.

Доказательство: достаточность. Т.к. векторы коллинеарны, то b=a. Будем считать, что а,b0 (если нет, то система линейно-зависима по 1 свойству). 1b-a=0. Т.к. коэфф. При b0, то система линейно зависима по определению. Необходимость. Пусть а и b линейно-зависимы. а+b=0, 0. а= -b/*b. а и b коллинеарны по определению умножения вектора на число.

Теорема: для того, чтобы три вектора были линекно-зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны. Необходимость.

Дано: a, b, c – линейно-зависимы. Доказать: a, b, c – компланарны. Доказательство: т.к. векторы линейно-зависимы, то а+b+c=0, 0. с= - /*а - /*b. с-диагональ параллелограмма, поэтому a, b, c лежат в одной плоскости.

БАЗИС СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. РАЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.

1. Определение: пусть задана некоторая система векторов. Базисом этой системы называется мах. совокупность линейно-независимых векторов системы.

В множестве векторов на прямой базис состоит из одного ненулевого вектора.

В качестве базиса множества векторов на плоскости можно взять произвольную пару.

В множестве векторов в трехмерном пространстве базис состоит из трех некомпланарных векторов.

2. Прямоугольная (декартова) система координат на плоскости определяется заданием двух взаимно перпендикулярных прямых с общим началом и одинаковой масштабной ед. на осях.

Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве определяется заданием трех взаимно перпендикулярных прямых с общей точкойпересечения и одинаковой масштабной ед. на осях.

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

Определение: скалярным произведением двух векторов называется произведение длин двух векторов на косинус угла между ними.

(а,b)=|a| |b| cos u, u<90, пр-е полож.; u=90, пр-е =0; u>90, пр-е отриц.

Свойства:

    (а,b)= (b,а)

    (а,b)=  (а,b)

    (а+b,с)= (а,с)+ (b,с)

    (а,а)=|a|2 – скал.квадрат.

Определение: два вектора называются ортоганальными, когда скалярное пр-е равно 0.

Определение: вектор называется нормированным, если его скал.кв.равен 1.

Определение: базис множества векторов называется ортонормированным, если все векторы базиса взаимно-ортагональны и каждый вектор нормирован.

Теорема: Если векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат.

Найдем формулу угла между векторами по определению скалярного произведения. cos u=a,b/|a||b|=x>1>x>2>+y>1>y>2>+z>1>z>2>/sqrt(x>1>2+y>1>2+z>1>2)*sqrt(x>2>2+y>2>2+z>2>2)

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

Определение: векторным произведением двух векторов a и b обозначаемым [a,b] называется вектор с удовлетворяющий след. требованиям: 1. |c|=|a||b|sin u. 2. (с,а)=0 и (с,b)=0. 3. а, b, с образуют правую тройку.

Свойства:

    [a,b]= - [b,a]

    [а,b]=  [а,b]

    [a+b,c]=[a,c]+[b,c]

    [a,a]=0

Теорема: Длина векторного произведения векторов равна площади параллелограмма построенного на этих векторах.

Доказательство: справедливость теоремы вытекает из первого требования определения векторного произведения.

Теорема: Пусть векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, тогда векторное произведение равно определителю третьего порядка в первой строке которого наход-ся базисны векторы, во второй – координаты первого вектора, в третьей – координаты второго.

Определение: ортой вектора а называется вектор ед. длины имеющий одинаковое направление с вектором а. e>a>=a/|a|

РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ.

1.Общее ур-е пр. 2. Ур-е пр. в отрезках. 3. Каноническое ур-е пр. 4. Ур-е пр. ч/з две точки. 5. Ур-е пр. с углов. коэфф. 6. Нормальное ур-е прямой. Расст. от точки до прямой. 7. Параметрическое ур-е пр. 8. Пучок пр. 9.Угол между пр.

    Ах+By+C=0 (1), где A, B одновр.не равны нулю.

Теорема: n(A,B) ортоганален прямой заданной ур-ем (1).

Доказательство: подставим коорд. т.М>0> в ур-е (1) и получим Ах>0>+By>0>+C=0 (1’). Вычтем (1)-(1’) получим А(х-х>0>)+B(y-y>0>)=0, n(A,B), М>0>М(х-х>0>, y-y>0>). Слева в полученном равенстве записано скалярное произведение векторов, оно равно 0, значит n и M>0>M ортоганальны. Т.о. n ортоганлен прямой. Вектор n(A,B) называется нормальным вектором прямой.

Замечание: пусть ур-я А>1>х+B>1>y+C>1>=0 и А>2>х+B>2>y+C>2>=0 определяют одну и ту же прямую, тогда найдется такое действительное число t, что А>1>=t*А>2 >и т.д.

Определение: если хотя бы один из коэффициентов в ур-ии (1) =0, то ур-е называется неполным.

1. С=0, Ах+By=0 – проходит ч/з (0,0)

2. С=0, А=0, By=0, значит у=0

3. С=0, B=0, Ах=0, значит х=0

4. А=0, By+C=0, паралл. ОХ

5. B=0, Ах+C=0, паралл. OY

    x/a+y/b=1.

Геом.смысл: прямая отсекает на осях координат отрезки а и b

    x-x>1>/e=y-y>1>/m

Пусть на прямой задана точка и напр. вектор прямой (паралл.пр.). Возьмем на прямой произв. точки. q и M>1>М(х-х>1>; y-y>1>)

    x-x>1>/x>2>-x>1>=y-y>1>/y>2>-y>1>

Пусть на прямой даны две точки М>1>(x>1>;y>1>) и М>2>(x>2>;y>2>). Т.к. на прямой заданы две точки, то задан направляющий вектор q(x>2>-x>1>; y>2>-y>1>)

    y=kb+b.

u – угол наклона прямой. Tg угла наклона называется угловым коэффициентом прямой k=tg u

Пусть прямая задана в каноническом виде. Найдем угловой коэффициент прямой tg u = m/e. Тогда видим x-x>1>/e/e=y-y>1>/m/e. y-y>1>=k(x-x>1>) при y>1>-kx>1>=b, y=kx+b

    xcos+ysin-P=0

 - угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.

Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и 

Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1, n(cos, sin). Пусть М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2. ОМ*n=cosx+siny. Приравняем правые части.

Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.

Ах+By+C=0

xcos+ysin-P=0

т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.

Cos2=(A*t)2

Sin2=(B*t)2

-p=C*t

cos2+sin2=t2(A2+B2), t2=1/A2+B2, t=sqrt(1/ A2+B2). Sign t= - sign C

Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t.

Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.

7. Система: x=et+x>1> и y=mt+y>1>

НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ. Расстояние от точки до прямой.

1. xcos+ysin-P=0

 - угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.

Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и 

Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1, n(cos, sin). Пусть М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2. ОМ*n=cosx+siny. Приравняем правые части.

Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.

Ах+By+C=0

xcos+ysin-P=0

т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.

Cos2=(A*t)2

Sin2=(B*t)2

-p=C*t

cos2+sin2=t2(A2+B2), t2=1/A2+B2, t=sqrt(1/ A2+B2). Sign t= - sign C

Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t.

Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.

2. Обозначим d – расстояние от точки до прямой, а ч/з б – отклонение точки от прямой. б=d, если нач.коорд. и точка по разные стороны; = - d, если нач.коорд. и точка по одну сторону.

Теорема: Пусть задано нормальное уравнение прямой xcos+ysin-P=0 и М>1>(x>1>;y>1>), тогда отклонение точки М>1> = x>1>cos+y>1>sin-P=0

Задача: найти расстояние от точки М>0>(x>0>;y>0>) до прямой Ах+By+C=0. Т.к. d=|б|, то формула расстояний принимает вид d=| x>0>cos+y>0>sin-P|. d=|Ах>0>+By>0>+C|/sqrt(A2+B2)

ГИПЕРБОЛА.

Определение: ГМТ на плоскости модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная

Каноническое уравнение:

Будем считать, что фокусы гиперболы находятся на ОХ на одинаковом расстоянии от начала координат. |F>1>F>2>|=2c, М – произвольная точка гиперболы. r>1>, r2 – расстояния от М до фокусов;
|r>2>-r>1>|=2a; a<c;

,

x2c2-2a2xc+a2=a2(x2-2xc+c2+y2)

x2(c2-a2)-a2y2=a2(c2-a2)

c2-a2=b2

x2b2-a2y2=a2b2

- каноническое ур-е гиперболы

ПАРАБОЛА.

Определение: ГМТ на плоскости расстояние от которых до фиксированной точки на плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой этой плоскости называемой директрисой.

Каноническое уравнение:

Пусть фокус параболы находится на оси ОХ, а директриса расположение перпендикулярно оси ОХ, причем они находятся на одинаковом расстоянии от начала координат.

|DF|=p, М – произвольная точка параболы; К – точка на директрисе; МF=r; MK=d;

r=sqrt((x-p/2)2+y2); d=p/2+x

Приравниваем и получаем:

y2=2px - каноническое уравнение параболы

ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ И ДИРЕКТРИСА ЭЛЛИПСА И ГИПЕРБОЛЫ.

1. Определение: эксцентриситет – величина равная отношению с к а.

е=с/а

е эллипсв <1 (т.к. а>c)

е гиперболы >1 (т.к. с>a)

Определение: окружность – эллипс у которого а=b, с=0, е=0.

Выразим эксцентриситеты через а и b:

е эллипса является мерой его «вытянутости»

е гиперболы характеризует угол раствора между асимптотами

2. Директрисой D эллипса (гиперболы), соответствующей фокусу F, называется прямая расположенная в полуплоскости  перпендикулярно большой оси эллипса и отстоящий от его центра на расстоянии а/е>a (а/е<a)

D>1>: x= - a/e

D>2>: x= a/e

р=а(1-е2)/е – для эллипса

р=а(е2-1)/е – для гиперболы

ТЕОРЕМА ОБ ОТНОШЕНИИ РАССТОЯНИЙ. 2-ОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.

Теорема: Отношение расстояния любой точки эллипса (гиперболы) до фокуса к расстоянию от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная равная е эллипса (гиперболы).

Доказательство: для эллипса.

r>1>/d>1>=e

x|a|, xe+a>0

r>1>=xe+a

d>1> – расстояние от М(x,y) до прямой D>1>

xcos180+ysin180-p=0

x=-p

x=-a/e

б>=-x-a/e

d>1>=-б> (минус, т.к. прямая и точка по одну стороно о начала коорд.)

Определение: ГМТ на плоскости, отношение расстояния от которых до фокуса, к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная и представляет собой эллипс, если <1, гиперболу, если >1, параболу, если =1.

ПОЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.

Пусть задан эллипс, парабола или правая ветвь гиперболы.

Пусть задан фокус этих кривых. Поместим полюс полярной системы в фокус кривой, а полярную ось совместим с осью симметрии, на которой находится фокус.

r= 

d=p+cos

e=/p+cos

- полярное уравнение эллипса, параболы и правой ветви гиперболы.

КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пусть задан эллипс в каноническом виде. Найдем уравнение касательной к нему, проходящей через М>0>(x>0>;y>0>) – точка касания, она принадлежит эллипсу значит справедливо:

у-у>0>=y’(x>0>)(x-x>0>)

Рассмотрим касательную к кривой следовательно

ya2y>0>-a2y>0>2+b2x>0>x-b2x>0>2=0

- уравнение касательной к эллипсу.

- уравнение касательной к гиперболе.

- уравнение касательной к параболе.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ.

Преобразование на плоскости есть применение преобразований параллельного переноса и поворота.

Пусть две прямоугольные системы координат имеют общее начало. Рассмотрим все возможные скалярные произведения базисных векторов двумя способами:

>1>;е>1>’)=cos u

>1>;е>2>’)=cos (90+u)= -sin u

>2>;е>1>’)=cos (90-u)=sin u

>2>;е>2>’)=cos u

Базис рассматривается ортонормированный:

>1>;е>1>’)=(е>1>, >11>1>+>12>2>)= >11>

>1>;е>2>’)= (е>1>, >21>1>+>22>2>)= >21>

>2>;е>1>’)= >12>

>2>;е>2>’)= >22>

Приравниваем:

>11>=cos u

>21>= - sin u

>12>=sin u

>22>=cos u

Получаем:

x=a+x’cos u – y’sin u

y=b+x’sin u – y’cos u - формулы поворота системы координат на угол u.

------------

x=a+x’

y=b+y’ - формулы параллельного переноса

ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА.

Определение: Инвариантой ур-я (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат, называется функция зависящая от коэффициентов ур-я (1) и не меняющая своего значения при преобразовании системы координат.

Теорема: инвариантами уравнения (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат являются следующие величины: I>1>; I>2>; I>3>

Вывод: при преобразовании системы координат 3 величины остаются неизменными, поэтому они характеризуют линию.

Определение:

I>2>>0 – элиптический тип

I>2><0 – гиперболический тип

I>2>=0 – параболический тип

ЦЕНТР ЛИНИИ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пусть задана на плоскости линия уравнением (1).

Параллельный перенос:

Параллельно перенесем систему XOY на вектор OO’ т.о. что бы в системе X’O’Y’ коэфф. при x’ и y’ преобразованного уравнения кривой оказались равными нулю. После этого:

a>11>x’2+2a>12>x’y’+a>22>y’2+a’>33>=0 (2)

точка О’ находится из условия: a>13>’=0 и a>23>’=0.

Получается система a>11>x>0>+a>12>y>0>+a>13>=0 и a>12>x>0>+a>22>y>0>+a>23>=0

Покажем, что новое начало координат (если система разрешима) является центром симметрии кривой: f(x’;y’)=0, f(-x’;-y’)= f(x’;y’)

Но точка О’ существует если знаменатели у x>0> и y>0> отличны от нуля.

Точка O’ – единственная точка.

Центр симметрии кривой существует если I>2>0 т.е. центр симметрии имеют линии элиптического и гиперболического типа

Поворот:

Пусть система XOY повернута на угол u. В новой системе координат уравнение не содержит члена с x’y’ т.е. мы делаем коэфф. а>12>=0. a>12>’= -0,5(a>11>-a>22>)sin2u+a>12>cos2u=0 (разделим на sin2u), получим:

, после такого преобразования уравнение принимает вид

a>11>’x’2+a>22>’y’2+2a>13>’x’+2a>23>’y’+a>33>’=0 (3)

ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ЭЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА.

Теорема: Пусть задана линия элиптического типа т.е. I>2>>0 и пусть I>1>>0> >следовательно уравнение (1) определяет: 1. I>3><0 – эллипс; 2. I>3>=0 – точка; 3. I>3>>0 – ур-е (1) не определяет. Если I>3>=0 говорят, что эллипс вырождается в точку. Если I>3>>0 говорят, что задается мнимый эллипс. Пусть после ПП и поворота ур-е (1) принимает вид (*).

Доказательство:

1. пусть I>2>>0, I>1>>0, I>3><0, тогда

а>11>’’x’’2+a>22>’’ y’’2= -I>3>/I>2>

> >

I>2>=a>11>’’a>22>’’ > 0

I>1>= a>11>’’+a>22>’’ > 0

a>11>’’ > 0; a>22>’’ > 0

> >

Итак, под корнями стоят положительные числа, следовательно, уравнение эллипса.

2. I>3>>0 в данном случае под корнем стоят отрицательные числа, следовательно уравнение не определяет действительного геометрического образа.

3. I>3>=0 в данном случае т(0,0) – случай вырождения эллипса.

ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА.

Теорема: Пусть уравнение (1) определяет линию гиперболического типа. Т.е. I>2><0, I>3>0 - ур-е (1) определяет гиперболу; I>3>=0 – пару пересекающихся прямых.

Доказательство: I>2><0; I>2>= a>11>’’a>22>’’ < 0. Пусть a>11>’’>0; a>22>’’<0

Пусть I>3>>0

> >

В данном случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОХ.

Пусть I>3><0

-(-а>11>’’)x’’2+a>22>’’ y’’2= -I>3>/I>2>

> >

В этом случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОY

Пусть I>3>=0

а>11>’’x’’2-(-a>22>’’)y’’2=0

> >

> >

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ КРИВЫХ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пусть крива второго порядка задана уравнением (1). Рассмотрим квадратную часть этого уравнения: u(x,y)= a>11>x2+2a>12>xy+a>22>y2

Определение: ненулевой вектор (, ) координаты которого обращают в ноль квадратичную часть называется вектором асимптотического направления заданной кривой.

(, ) – вектор асимптотического направления.

a>11>2+2a>12>+a>22>2=0 (*)

Рассмотрим (’, ’) параллельный (, ): > > следовательно > >. Дробь / характеризует вектор асимптотического направления.

Задача: выяснить какие асимптотические направления имеют кривые 2-го порядка.

Решение: положим, что 0 и поделим на 2, получим: a>11>(/)2+2a>12>/+a>22>=0 из этого квадратного уравнения найдем /.

> >

т.к. у линий гиперболического и параболического типов I>2>0, то они имеют асимптотические направления. Т.к. у эллипса I>2>>0 следовательно таких у него нет (говорят он имеет мнимые асимптотические направления).

Найдем асимптотические направления у гиперболы:

> >

(, )>1>=(a,b)

(, )>2>=(-a,b)

Векторы асимптотического направления являются направляющими векторами для асимптот.

Итак: гипербола имеет два асимптотических направления, которые определяются асимптотами гиперболы.

Найдем асимптотические направления у параболы:

y2=2px

y2-2px=0

u(x,y)= y2+0, y=0

(, )=(0,0)

Итак: вектор асимптотического направления параболы лежит на оси симметрии параболы, т.е. прямая асимптотического направления пересекает параболу в одной точке, след. асимптотой не является. Парабола имеет одно асимптотическое направление, но асимптот не имеет.

РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ.

Пусть задано трехмерное пространство.

Теорема: Плоскость в афинной системе координат задается уравнением первой степени от трех переменных: Ax+By+Cz+D=0, где A,B,C0 одновреенно. Справедлива и обратная теорема.

Теорема: Вектор n(A, B, C) ортоганален плоскости, задаваемой общим уравнением.

Вектор n – нормальный вектор плоскости.

2. Уравнение плоскости в отрезках: > >

3. Уравнение плоскости, определенной нормальным вектором и точкой.

Пусть n(A,B,C) и М(x>0>;y>0>;z>0>). Запишем ур-е пл-ти:

Ax+By+Cz+D=0

Ax>0>+By>0>+Cz>0>=-D

A(x-x>0>)+B(y-y>0>)+C(z-z>0>)=0

    Уравнение плоскости ч/з 3 точки.

Пусть известны три точки не принадл. одной прямой.

М>1>(x>1>;y>1>;z>1>); М>2>(x>2>;y>2>;z>2>); М>3>(x>3>;y>3>;z>3>)

Пусть М(x;y;z) – произвольная точка плоскости. Т.к. точки принадл. одной плоскости то векторы компланарны.

М>1>М x-x>1> y-y>1> z-z>1>

М>1>2 >x>2>-x>1> y>2>-y>1 >z>2>-z>1 >=0

М>1>3 >x>3>-x>1> y>3>-y>1> z>3>-z>1>

    Параметрическое ур-е плоскости.

Пусть плоскость определена точкой и парой некомпланарных векторов. V(V>1>;V>2>;V>3>); U(U>1>;U>2>;U>3>); M>0>(x>0>;y>0>;z>0>), тогда плостость имеет вид: система: x=x>0>+V>1>t+U>1>s и y=y>0>+V>2>t+U>2>s и z=z>0>+V>3>t+U>3>s

РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ.

Ax+By+Cz+D=0; M>0>(x>0>;y>0>;z>0>)

> >

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ.

Угол между плоскостями: пусть заданы две плоскости: A>1>x+B>1>y+C>1>z+D>1>=0; A>2>x+B>2>y+C>2>z+D>2>=0, поэтому n>1>(A>1>;B>1>;C>1>); n>2>(A>2>;B>2>;C>2>). Отыскание угла между плоскостями сводится к отысканию его между нормальными векторами.

> >

Пучки и связки плоскостей.

Определение: пучком плоскостей называется совокупность плоскостей, проходящих ч/з одну и ту же прямую.

Что бы задать пучок плоскостей д.б. определены две плоскости

Теорема: Пусть две плоскости пучка заданы уравнениями: A>1>x+B>1>y+C>1>z+D>1>=0; A>2>x+B>2>y+C>2>z+D>2>=0, тогда любая другая плоскость пучка задана уравнением: (A>1>x+B>1>y+C>1>z+D>1>)+(A>2>x+B>2>y+C>2>z+D>2>), где  и  принадлежат R и не равны нулю одновременно.

Определение: связкой плоскостей называется совокупность плоскостей, роходящих ч/з одну точку. Эта точка называется центром связки.

Условия для плоскостей:

1. n>1> параллелен n>2> > > - параллельности.

2. A>1>A>2>+B>1>B>2>+C>1>C>2>=0 – перпендикулярности.

3. пересечения трех плоскостей в одной точке:

Пусть заданы три плоскости: система: A>1>x+B>1>y+C>1>z+D>1>=0; A>2>x+B>2>y+C>2>z+D>2>=0; A>3>x+B>3>y+C>3>z+D>3>=0

Данная система должна иметь единственное решение, а поэтому ее определитель составленный из коэфф. при каждом не равен 0.