Аркфункции (работа 1)

Примеры: в нижеследующих примерах приведены образцы исследования элементарных функций, заданных формулами, содержащими обратные тригонометрические функции.

Пример №1. Исследовать функции arcsin(1/x) и arccos(1/y) и построить их графики.

Решение: Рассмотрим 1-ю функцию

y = arcsin(1/x)

π/2

-π/2

(f): | 1/x | ≤ 1 ,

| x | ≥ 1 ,

( - ∞ ; -1 ] U [ 1; + ∞ )

-1

Функция нечетная

( f(x) убывает на пр. [0;1] , f(y) убывает на пр. [0;π/2] )

аметим, что функция y=arccosec(x) определяется из условий cosec(y)=x и y є [-π/2; π/2], но из условия cosec(y)=x следует sin(y)=1/x, откуда

=arcsin(1/x). Итак, arccos(1/x)=arcsec(x)

Д(f): ( - ∞ ; -1 ] U [ 1; + ∞ )

π/2

-1

Пример №2. Исследовать функцию y=arccos(x²).

π/2

ешение:

Д(f): [-1;1]

Четная

f(x) убывает на пр. [0;1]

-1

(x) возрастает на пр. [-1;0]

Пример №3. Исследовать функцию y=arccos²(x).

Решение: Пусть z = arccos(x), тогда y = z²

f(z) убывает на пр. [-1;1] от π до 0.

f(y) убывает на пр. [-1;1] от π² до 0.

-1

Пример №4. Исследовать функцию y=arctg(1/(x²-1))

Решение:

Д(f): ( - ∞ ; -1 ) U ( -1; 1 ) U ( 1; +∞ )

Т.к. функция четная, то достаточно исследовать функцию на двух промежутках:

[

0 ; 1 ) и ( 1 ; +∞ )

π/2

< x <

+∞

-1

u=1/(x²-1)

-1

↘

+ ∞

- ∞

↘

y=arctg(u)

- π/4

↘

π/2

- π/2

↘

-π/2

-π/4

Тригонометрические операции над аркфункциями

Тригонометрические функции от одного и того же аргумента выражаются алгебраически одна через другую, поэтому в результате выполнения какой-либо тригонометрической операции над любой из аркфункций получается алгебраическое выражение.

В силу определения аркфункций:

sin(arcsin(x)) = x , cos(arccos(x)) = x

(справедливо только для x є [-1;1] )

tg(arctg(x)) = x , ctg(arcctg(x)) = x

(справедливо при любых x )

Графическое различие между функциями, заданными формулами:

y=x и y=sin(arcsin(x))

-1

Сводка формул, получающихся в результате выполнения простейших тригонометрических операций над аркфункциями.

Аргумент функция	arcsin(x)	arccos(x)	arctg(x)	arcctg(x)
sin	sin(arcsin(x))=x
cos		x
tg			x	1 / x
ctg			1 / x	x

Справедливость всех этих формул может быть установлена при помощи рассуждений, приведенных ниже:

Т.к. cos²x + sin²x = 1 и φ = arcsin(x)

Перед радикалом следует взять знак “+”, т.к. дуга принадлежит правой полуокружности (замкнутой) , на которой косинус неотрицательный.

Значит, имеем

Из тождества следует:

_>>

Имеем

_>>

Ниже приведены образцы выполнения различных преобразований посредством выведения формул.

Пример №1. Преобразовать выражение _>>

Решение: Применяем формулу _>>, имеем: _>>

Пример №2. Подобным же образом устанавливается справедливость тождеств:

_>>

Пример №3. Пользуясь ...

_>>

Пример №4. Аналогично можно доказать следующие тождества:

_>>

Пример №5. Положив в формулах

_>>, и _>>

_>>, получим:

_>>, _>>

Пример №6. Преобразуем _>>

Положив в формуле _>>, _>>

Получим:

_>>

Перед радикалами взят знак “+”, т.к. дуга _>>принадлежит I четверти, а потому левая часть неотрицательная.

Соотношения между аркфункциями

Соотношения первого рода – соотношения между аркфункциями, вытекающими из зависимости между тригонометрическими функциями дополнительных дуг.

Теорема. При всех допустимых х имеют место тождества:

_>>

arcsin(x)

arccos(x)

_>>

-1

Соотношения второго рода – соотношения между аркфункциями, вытекающие из соотношений между значениями тригонометрических функций от одного и того же аргумента. Посредством соотношений 2-го рода производятся преобразования одной аркфункции в другую (но от различных аргументов).

Случай №1. Значения двух данных аркфункций заключены в одной и той же полуокружности.

Пусть, например, рассматривается дуга α, заключенная в интервале (-π/2; π/2).

Данная дуга может быть представлена как в виде арксинуса, так и в виде арктангенса. В самом деле, дуга _>>имеет синус, равный sinα и заключена, так же как и α, в интервале (-π/2; π/2), следовательно

_>>

Аналогично можно дугу α представить в виде арктангенса:

_>>

А если бы дуга α была заключена в интервале ( 0 ; π ), то она могла бы быть представлена как в виде арккосинуса, так и в виде арккотангенса:

_>>

Так, например:

_>>

Аналогично:

_>>

Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых содержаться в одной и той же полуокружности (правой или верхней).

Выражение _>>_>>через арктангенс.

Пусть _>>, тогда

_>>

Дуга _>>, по определению арктангенса, имеет тангенс, равный _>> и расположена в интервале (-π/2; π/2).

Дуга _>>имеет тот же тангенс и расположена в том же интервале (-π/2; π/2).

Следовательно,

_>> (1)

(в интервале ( -1 : 1 )

Выражение _>>через арксинус.

Т.к. _>>, то _>> (2)

в интервале _>>

Выражение арккосинуса через арккотангенс. Из равенства _>>следует тождество

_>> (3)

Случай №2. Рассмотрим две аркфункции, значения которых выбираются в различных промежутках (например, арксинус и арккосинус; арккосинус и арктангенс и т.п.). Если аргумент какой-либо аркфункции (т.е. значение тригонометрической функции) положителен, то соответственно аркфункция (дуга), заключенная в первой четверти, может быть представлена при помощи любой аркфункции; так, например,

_>>

Поэтому каждая из аркфункций от положительного аргумента может быть выражена посредством любой другой аркфункции.

Значение какой-либо аркфункции от отрицательного аргумента принадлежит либо промежутку от -π/2 до 0, либо промежутку от π/2 до π и не может быть представлено в виде аркфункции, значение которой принадлежит другому (из этих двух) промежутку.

Так, например, дуга _>> не может быть значением арксинуса. В этом случае

_>>

Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых выбираются в различных полуокружностях.

Выражение арксинуса через арккосинус.

Пусть _>>, если _>>, то _>>. Дуга имеет косинус, равный _>>, а поэтому _>>

При _>>это равенство выполняться не может. В самом деле, в этом случае

_>>, а для функции _>>имеем: _>>

так как аргумент арккосинуса есть арифметический корень _>>, т.е. число неотрицательное.

Расположение рассматриваемых дуг пояснено на рисунке:

Х>0 X<0

При отрицательных значениях Х имеем Х<0, а при положительных X>0, и

Таким образом, имеем окончательно:

если , (4)

, если

График функции

-1

Область определения есть сегмент [-1;1]; согласно равенству (4), закон соответствия можно выразить следующим образом:

, если

Аналогично установим, что при имеем:

, если же , то

Таким образом:

, если (5)

, если

Выражение арктангенса через арккосинус. Из соотношения

при _>>имеем:

_>>

Если же х<0, то

_>>

Итак,

_>> _>>, если _>> (6)

_>>, если _>>

Выражение арккосинуса через арктангенс. Если _>>, то _>>

При _>> имеем:

_>>

Итак,

_>> _>>, если _>> (7)

_>>, если _>>

Выражение арктангенса через арккотангенс.

_>> _>>, если х>0 (8)

_>>,если x<0

При x>0 равенство (8) легко установить; если же x<0, то

_>>.

Выражение арксинуса через арккотангенс.

_>> _>>, если _>> (9)

_>>, если _>>

Выражение арккотангенса через арксинус.

_>> _>>, если 0<x (10)

_>>, если х<0

Выражение арккотангенса через арктангенс.

_>> _>>, если x>0 (11)

_>>, если x<0

Примеры:

Пример №1. Исследовать функцию _>>

Решение. Эта функция определена для всех значений х, за исключением значения х=0 (при х=0) второе слагаемое теряет смысл). Воспользовавшись формулой (8) получим:

y= 0 , если x>0

-π , если x<0

На чертеже изображен график

данной функции

Пример №2. Исследовать функцию

Решение: Первое слагаемое определено для значений , второе – для тех же значений аргумента. Преобразим первое слагаемое по формуле (4).

Т.к. , то получаем

откуда:

на сегменте [0;1]

Пример №3. Исследовать функцию

Решение: Выражения, стоящие под знаками аркфункций не превосходят по абсолютной величине единицы, поэтому данная функция определена для всех значений х. Преобразуем первое слагаемое по формуле (4).

Приняв во внимание равенство

, если

получим:

y = 0 , если

, если

Выполнение обратных тригонометрических операций над тригонометрическими функциями.

При преобразовании выражений вида

следует принимать во внимание в какой четверти находится аргумент х и в каком промежутке находится значение данной аркфункции. Рассмотрим, например, первое из данных выражений:

Согласно определению арксинуса, y – есть дуга правой полуокружности (замкнутая), синус которой равен sin x;

Областью определения функции служит интервал , так как при всех действительных значениях х значение промежуточного аргумента содержится на сегменте . При произвольном действительном х значение y (в общем случае) отлично от значения х.

Так, например, при х=π/6 имеем:

но при х=5π/6

В силу периодичности синуса функция arcsin x также является периодической с периодом 2π, поэтому достаточно исследовать ее на сегменте [-π/2; 3π/2] величиной 2π.

Если значение х принадлежит сегменту [-π/2; π/2] то y=x, на этом сегменте график функции совпадает с биссектрисой координатного угла.

Если значение х принадлежит сегменту [π/2; 3π/2], то в этом случае дуга π-х принадлежит сегменту [-π/2; π/2]; и, так как

, то имеем y=π-х;

в этом промежутке график функции совпадает с прямой линией y=π-х. Если значение х принадлежит сегменту [3π/2; 5π/2], то, пользуясь периодичностью или путем непосредственной проверки, получим:

y=х-2π

Если значение х принадлежит сегменту [-3π/2; -π/2], то

y=-π-х

Если значение х принадлежит сегменту [-5π/2; -3π/2], то

y=х+2π

Вообще, если , то

y=х-2πk

и если , то

y=(π-х)+2πk

График функции представлен на рисунке. Это ломаная линия с бесконечным множеством прямолинейных звеньев.

-π

Рассмотрим функцию

Согласно определению арккосинуса, имеем:

cos y = cos x, где _>>

Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел; функция периодическая, с периодом, равным 2π. Если значение Х принадлежит сегменту [0; π], то y = x. Если х принадлежит сегменту [π; 2π], то дуга 2π-х принадлежит сегменту [0; π] и _>>, поэтому:

_>>

Следовательно, на сегменте [π; 2π] имеем y = 2π - x

Если х принадлежит сегменту [2π; 3π], то y = x - 2π

Если х принадлежит сегменту [3π; 4π], то y = 4π – x

Вообще, если _>>, то y = x - 2πk

Если же _>>, то y = -x + πk

Графиком функции _>>является ломаная линия

-π

Формулы сложения

Формулы сложения дают выражения для суммы или разности двух (или нескольких) аркфункций через какую-либо данную аркфункцию. Пусть дана сумма аркфункций; над этой суммой можно выполнить любую тригонометрическую операцию. (....) В соответствии с этим дуга-функция может быть выражена посредством любой данной аркфункции. Однако в различных случаях (при одних и тех же аркфункциях) могут получаться различные формулы, в зависимости от промежутка, в котором берется значение рассматриваемой аркфункции.

Сказанное пояснено ниже на числовых примерах.

Примеры.

Пример №1. Преобразовать в арксинус сумму

Решение: эта сумма является суммой двух дуг α и β, где

;

В данном случае (т.к. , а следовательно, ), а также , поэтому .

Вычислив синус дуги γ, получим:

Т.к. сумма γ заключена на сегменте [-π/2; π/2], то

Пример №2. Представить дугу γ, рассмотренную в предыдущем примере, в виде арктангенса. Имеем:

Откуда

_>>

Пример №3. Представить посредством арктангенса сумму _>>

Решение: в данном случае (в отличие от предыдущего) дуга γ оканчивается во второй четверти, т.к. _>>, а _>>. Вычисляем _>>

В рассматриваемом примере _>>, так как дуги γ и _>>заключены в различных интервалах,

_>>, а _>>

В данном случае _>>

Пример №4. Представить дугу γ, рассмотренную в предыдущем примере, в виде арккосинуса.

Решение: имеем

_>>

Обе дуги γ и _>>расположены в верхней полуокружности и имеют одинаковый косинус, следовательно, эти дуги равны: _>>

Так как суммы и разности любых аркфункций можно выражать при помощи произвольных аркфункций, то можно получать самые разнообразные формулы сложения. Однако все эти формулы выводятся при помощи однотипных рассуждений. Ниже в качестве примеров даются некоторые из формул сложения, по этим образцам можно получить аналогичные формулы в различных прочих случаях.

Формулы сложения аркфункций от положительных аргументов.

Пусть α и β – две дуги, заключенные в промежутке от 0 до π/2 (первая четверть):

_>>, и _>>

Сумма α + β заключена в верхней полуокружности _>>, следовательно, ее можно представить в виде аркфункции, значение которой выбирается в том же интервале, т.е. в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса:

_>>;

_>>

Разность α – β заключена в правой полуокружности: _>>

Следовательно, она может быть представлена в виде арксинуса, а также в виде арктангенса:

_>>;

_>>

Так как значение всякой аркфункции от положительного аргумента заключено в интервале (0; π/2) то сумму двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса, а разность двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде арктангенса.

Ниже приведены образцы соответствующих преобразований.

Преобразуем в арккосинус _>>, где _>> и _>>

Имеем:

_>>

Откуда

_>>

Аналогично

_>>, где 0 < x < 1, 0 < y < 1

_>>

Формулы сложения аркфункций от произвольных аргументов.

Выразить сумму _>>через арксинус

По определению арксинуса

_>> и _>>,

откуда

_>>

Для дуги γ возможны следующие три случая:

Случай 1: _>>

Если числа x и y разных знаков или хотя бы одно из них равно нулю, то имеет место случай 1.

В самом деле, при _>>и _>>, имеем:

_>>, и _>>,

откуда

_>>

При x > 0, y > 0 для дуги γ имеет место одна из следующих двух систем неравенств:

а) _>> б) _>>

Необходимым и достаточным признаком, позволяющим отличить один от другого случаи а) и б), является выполнение неравенства:

_>> в случае а) и _>> в случае б)

В самом деле, взаимно исключающие друг друга соотношения а) и б) влекут за собой взаимно исключающие следствия _>> и _>>(соответственно), а потому эти следствия служат необходимыми и достаточными признаками наличия данных соотношений.

Вычислив _>>, получим:

_>>

При x > 0, y > 0 наличие случая 1 означает выполнения неравенства а) т.е. _>>или

_>>

Откуда

_>> и, следовательно, _>>

Наличие случая 1 при x < 0, y < 0 означает выполнение неравенств

_>>;

но тогда для положительных аргументов –x и –y имеет место случай 1, а потому

_>> или _>>

Случай 2. _>>

В этом случае x > 0, y > 0, т.е. выполняется неравенство б); из условия _>>получим _>>

Случай 3. _>>

Этот случай имеет место при x < 0, y < 0, и _>>

Изменив знаки на противоположные придем к предыдущему случаю:

_>>

откуда _>>

Дуги γ и _>> имеют одинаковый синус, но (по определению арксинуса) _>>, следовательно в случае 1 _>>;

в случае 2 _>> и в случае 3 _>>.

Итак, имеем окончательно:

_>> , _>> или _>>

_>> _>>; x > 0, y > 0, и _>> (1)

_>>; x < 0, y < 0, и _>>

Пример:

_>>

_>>; _>>

2. Заменив в (1) x на –x получим:

_>> , _>> или _>>

_>> _>>; x > 0, y > 0, и _>> (2)

_>>; x < 0, y < 0, и _>>

3. Выразить сумму _>>через арккосинус

_>> и _>>

имеем

_>>

Возможны следующие два случая.

Случай 1: _>>если _>>, то

_>>

Приняв во внимание, что обе дуги _>>и _>>расположены в промежутке [0;π] и что в этом промежутке косинус убывает, получим

_>>

и следовательно, _>>, откуда _>>

Случай 2: _>>. Если _>>, то

_>>,

откуда при помощи рассуждений, аналогичных предыдущим, получим _>>. Из сопоставления результатов следует, что случай 1 имеет место, если _>>, а случай 2, если

_>>.

Из равенства _>> следует, что дуги

_>> и _>> имеют одинаковый косинус.

В случае 1 _>>, в случае 2 _>>, следовательно,

_>> _>>, _>>