Интеграл по комплексной переменной

Интеграл по комплексной переменной.

Определение 1: Кривая Г называется гладкой ,если она имеет непрерывно изменяющуюся касательную.

Определение 2: Кривая называется кусочно-гладкой ,если она состоит из конечного числа гладких дуг.

Основные свойства : Пусть на комплексной плоскости Z задана кусочно-гладкая кривая С длиной , используя параметрическое задание кривой С зададим tи (t), где иявляются кусочно-гладкими кривыми от действительной переменной t. Пусть <= t<=причем и могут быть бесконечными числами .

Пусть и удовлетворяют условию : [‘(t)]²+ [‘(t)]²  0. Очевидно, что задание координат  =tи (t), равносильно заданию комплексной функции  (t)= (t) i(t).

Пусть в каждой точке  (t) кривой С определена некоторая функция f ( ). Разобьем кривую С на n – частичных дуг точками деления _>0>, _>1>, _>2>, …, _>n>_>-1> соответствующие возрастающим значениям параметра t, т.е. t_>0>, t_>1>, …, t _>i>_>+1> > t _>i>.

 _>i> = _>i> –  _>i>_>-1>. Составим интегрируемую функцию S = f (*) _>i> . (1)
где *– производная точки этой дуги.

Если при стремлении max | _>i> | 0 существует предел частных сумм не зависящий ни от способа разбиения кривой С на частичные дуги, ни от выбора точек  _>i> , то этот предел называется интегралом от функции f ( ) по кривой С.

_>> (2)

f (_>i>* ) = u (P_>i>*) + iv (P_>i>*) (3)

где  _>i> = (t) i(t) ((t) и(t) - действительные числа)

Подставив (3) в (1) получим :

(4)

Очевидно, что (4) состоит из суммы двух частных сумм, криволинейных интегралов действительной переменной. Переходя в (4) к пределу при  и  0 и предполагая, что данные пределы существуют, получаем :

(5)

Заметим, что для существования криволинейного интегралов, входящих в (5), а тем самым и для существования интеграла (2) достаточно кусочной непрерывности функций u и v. Это означает, что (2) существует и в случае неаналитичности функции f ( ).

Сформулируем некоторые свойства интеграла от функции комплексной переменной. Из равенства (5) следуют свойства :

О ограниченности интеграла.

При этом z =  ( ).

7.) Пусть Cp – окружность радиуса , с центром в точке Z_>0>. Обход вокруг контура Cp осуществляется против часовой стрелки. Cp :  = Z_>0> + eⁱ^, 0    2, d = ieⁱ^ d .

Кусочно-гладкую замкнутую кривую будем называть замкнутым контуром, а интеграл по замкнутому контуру – контурным интегралом.

ТЕОРЕМА КОШИ.

В качестве положительного обхода контура выберем направление при котором внутренняя область, ограниченная данным замкнутым контуром остается слева от направления движения :

Для действительной переменной имеют место формулы Грина. Известно, что если функции P(x, y) и Q(x, y) являются непрерывными в некоторой заданной области G, ограниченны кусочно-гладкой кривой С, а их частные производные 1-го порядка непрерывны в G, то имеет место формула Грина:

( 8 )

ТЕОРЕМА : Пусть в односвязной области G задана аналитическая функция f(Z), тогда интеграл от этой функции по замкнутому контуру Г целиком лежащему в G , равен нулю.

Доказательство : из формулы (5) следует:

Т.к. f( ) аналитическая всюду, то U(x, y), V(x, y) - непрерывны в области, ограниченной этим контуром и при этом выполняются условия Коши-Римана. Используя свойство криволинейных интегралов:

Аналогично :

По условию Коши-Римана в последних равенствах скобки равны нулю, а значит и оба криволинейных интеграла равны нулю. Отсюда :

ТЕОРЕМА 2 (Вторая формулировка теоремы Коши) : Если функция f() является аналитической в односвязной области G, ограниченной кусочно-гладким контуром C, и непрерывна в замкнутой области G, то интеграл от такой функции по границе С области G равен нулю.

TEOPEMA 3 (Расширение теоремы Коши на многосвязную область) :

Пусть f () является аналитической функцией в многосвязной области G, ограниченной извне контуром С_>0>, а изнутри контурами С_>1>, С_>2>, .. ,С_>n> (см. рис.). Пусть f () непрерывна в замкнутой области G, тогда :

, где С – полная граница области G, состоящая из контуров С_>1>, С_>2>, .. , С_>n>. Причем обход кривой С осуществляется в положительном направлении.

Неопределенный интеграл.

Следствием формулы Коши является следующее положение : пусть f(Z) аналитична в односвязной области G, зафиксируем в этой области точку Z_>0> и обозначим:

интеграл по какой-либо кривой, целиком лежащей в области G, содержащей Z_>0> и Z, в силу теории Коши этот интеграл не зависит от выбора кривой интегрирования и является однозначной функцией Ф(Z). Аналитическая функция Ф(Z) называется первообразной от функции f(Z) в области G, если в этой области имеет место равенство : Ф (Z) = f( Z).

Определение: Совокупность всех первообразных называется неопределенным интегралом от комплексной функции f(Z). Так же как и в случае с функцией действительного переменного имеет место равенство :

( 9)

Это аналог формулы Ньютона-Лейбница.

Интеграл Коши. Вывод формулы Коши.

Ранее была сформулирована теорема Коши, которая позволяет установить связь между значениями аналитической функции во внутренних точках области ее аналитичности и граничными значениями этой функции.

Пусть функция f(Z) – аналитическая функция в односвязной области G, ограниченной контуром С. Возьмем внутри этой области произвольную точку Z_>0> и в области G вокруг этой точки построим замкнутый контур Г. Рассмотрим вспомогательную функцию  (Z). Эта функция аналитична в области G всюду, кроме точки Z=Z_>0>. Проведем контур  с достаточным радиусом, ограничивающий точку Z_>0>, тогда функция будет аналитична в некоторой двусвязной области, заключенной между контурами Г и . Согласно теореме Коши имеем :

По свойствам интегралов :

(2 )

Так как левый интеграл в (2) не зависит от выбора контура интегрирования, то и правый интеграл также не будет зависеть от выбора контура. Выберем в качестве  окружность _>> с радиусом  . Тогда:

(3)

Уравнение окружности _>> :  = Z_>0> + eⁱ^ (4)

Подставив (4) в (3) получим :

( 5 )

( 6 )

(7)

Устремим _>> 0, т.е.  0.

Тогда т.к. функция f() аналитична в точке Z=Z_>0> и всюду в области G, а следовательно и непрерывна в G, то для всех >0 существует >0, что для всех  из –окрестности точки Z0 выполняется | f() – f(Z_>0>) | < .

(8)

Подставив ( 7) в ( 6) с учетом ( 8) получаем :

Подставляя в ( 5) и выражая f(Z0) имеем :

(9)

Это интеграл Коши.

Интеграл, стоящий в (9) в правой части выражает значение аналитической функции f() в некоторой точке Z_>0> через ее значение на произвольном контуре  , лежащем в области аналитичности функции f() и содержащем точку Z_>0> внутри.

Очевидно, что если бы функция f() была аналитична и в точках контура С, то в качестве границы  в формуле (9) можно было использовать контур С.

Приведенные рассуждения остаются справедливыми и в случае многосвязной области G.

Следствие : Интеграл Коши, целиком принадлежащий аналитической области G имеет смысл для любого положения Z_>0> на комплексной плоскости при условии, что эта точка есть внутренней точкой области Г. При этом если Z_>0> принадлежит области с границей Г, то значение интеграла равно (9), а если т. Z_>0> принадлежит внешней области, то интеграл равен нулю :

При Z_>0>  Г указанный интеграл не существует.

Интегралы, зависящие от параметра.

Рассматривая интеграл Коши, видим, что подинтегральная функция зависит от 2-х комплексных переменных : переменной интегрирования  и Z_>0>. Таким образом интеграл Коши может быть рассмотрен как интеграл, зависящий от параметра, в качестве которого выбираем точку Z_>0>.

Пусть задана функция двух комплексных переменных  (Z,  ), причем Z= x + iy в точке, принадлежащей некоторой комплексной плоскости G. = + i  С. (С - граница G).

Взаимное расположение области и кривой произвольно. Пусть функция  (Z,  ) удовлетворяет условиям : 1) Функция для всех значений  С является аналитической в области G. 2) Функция  (Z,  ) и ее производная  являются непрерывными функциями по совокупности переменных Z и  при произвольном изменении области G и переменных на кривой С. Очевидно, что при сделанных предположениях :

Интеграл существует и является функцией комплексной переменной. Справедлива формула :

_>> (2)

Эта формула устанавливает возможность вычисления производной от исходного интеграла путем дифференцирования подинтегральной функции по параметру.

ТЕОРЕМА. Пусть f(Z) является аналитической функцией в области G и непрерывной в области G (G включая граничные точки ), тогда во внутренних точках области G существует производная любого порядка от функции f(Z) причем для ее вычисления имеет место формула :

(3)

С помощью формулы (3) можно получить производную любого порядка от аналитической функции f (Z) в любой точке Z области ее аналитичности. Для доказательства этой теоремы используется формула (2) и соответственные рассуждения, которые привели к ее выводу.

ТЕОРЕМА МОРЕРА. Пусть f(Z) непрерывна в односвязной области G и интеграл от этой функции по любому замкнутому контуру, целиком принадлежащему G равен 0. Тогда функция f (Z) является аналитической функцией в области G. Эта теорема обобщается и на случай многосвязной области G.

Разложение функции комплексного переменного в ряды.

Если функция f(x, y) определена и непрерывна вместе с частными производными (до n-го порядка ), то существует разложение этой функции в ряд Тейлора :

_>>

Итак, если задана функция f (z) комплексного переменного, причем f (z) непрерывная вместе с производными до n-го порядка, то:

_>> (2) – разложение в ряд Тейлора.

Формула (2) записана для всех Z принадлежащих некоторому кругу | Z-Z_>0> |<R, где R – радиус сходимости ряда (2).

Функция f (z), которая может быть представлена в виде ряда (2) является аналитической функцией. Неаналитическая функция в ряд Тейлора не раскладывается.

_>> (3)

_>> (4)

_>> (5)

Причем | Z | < R, R  .

Формулы ЭЙЛЕРА.

Применим разложение (3) положив, что Z = ix и Z= - ix;

_>>

_>> (6)

Аналогично взяв Z = - ix получим :

_>> (7)

Из (6) и (7) можно выразить т.н. формулы Эйлера :

_>> (8)

В общем случае :

_>> (9)

Известно, что :

_>> (10)

Тогда из (9) и (10) вытекает связь между тригонометрическими и гиперболическими косинусами и синусами:

_>>

Ряд ЛОРАНА.

Пусть функция f(z) является аналитической функцией в некотором круге радиусом R, тогда ее можно разложить в ряд Тейлора (2). Получим тот же ряд другим путем.

ТЕОРЕМА 1.

Однозначная функция f(Z) аналитическая в круге радиусом |Z-Z_>0>| < R раскладывается в сходящийся к ней степенной ряд по степеням Z-Z_>0>.

Опишем в круге радиусом R окружность r, принадлежащую кругу с радиусом R.

Возьмем в круге радиуса r точку Z, а на границе области точку , тогда f(z) будет аналитична внутри круга с радиусом r и на его границе. Выполняется условие для существования интеграла Коши :

_>> (13)

_>> (11)

Поскольку

_>>, то выражение _>> можно представить как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем _>>, т.е. :

_>>_>>

_>> (12)

Представим равномерно сходящимся рядом в круге радиуса r, умножая (12) на 1/(2i) и интегрируя по L при фиксированном Z, получим : слева интеграл (13) который равен f (Z), а справа будет сумма интегралов :

_>>

Обозначая _>>, получим : _>> (14)

Это разложение функции f (Z) в круге R в ряд Тейлора. Сравнивая (14) с рядом (2) находим, что _>> (15)

ТЕОРЕМА 2.

Если однозначная функция f(Z) аналитична вне круга с радиусом r с центром в точке Z_>0> для всех Z выполняется неравенство r < |Z-Z_>0> |, то она представляется рядом :

_>> (16)

где h - ориентированная против часовой стрелки окружность радиуса r (сколь угодно большое число). Если обозначить _>> (17) , получим :

_>> (18)

ТЕОРЕМА 3.

Если однозначная функция f(Z) аналитическая в кольце Z< |Z-Z_>0> |<R, где 0 Z<R< , то она раскладывается в сходящийся степенной ряд :

_>> (19)

f_>1> и f_>2> можно представить в виде двух рядов :

_>> (20)

_>> (21)

Ряд (19) – ряд Лорана, при этом ряд (20) сходится в круге радиуса R, ряд (21) сходится вне круга радиуса R функции f_>2>(Z). Общая область сходимости ряда – кольцо между r и R.

f_>1>(Z) – правильная часть.

f_>2>(Z) – главная часть ряда Лорана.

Ряд Тейлора – частный случай ряда Лорана при отсутствии главной его части.

Классификация изолированных особых точек. Вычеты.

Определение 1. Особой точкой функции f(Z) определенной в области (замкнутой) G, ограниченной Жордановой кривой, называется точка Z=Z_>0>  G в которой аналитичность функции f1(Z) нарушается. Рабочая точка Z=Z_>0> функции f(Z), ограниченной в круге |Z-Z0|<R называется изолированной, если функция f(Z) в каждой точке этого круга аналитична, кроме самой точки Z=Z_>0>. В зависимости от поведения функции f(Z) в окрестности изолированных особых точек последние классифицируются на :

Устранимые особые точки. Ими называются особые точки, для которых существует _>>, где А – конечное число.
Если для особой точки существует предел _>>, то такая особая точка называется полюсом.
Если _>> не существует, то точка Z=Z_>0> называется существенной особой точкой.

Если С_>->_>n>=0, то особая точка есть устранимая особая точка.

_>>

Пусть f(Z_>0>)=C_>0> и C_>-n> для всех n=1,2,3,..,m отличного от 0, а для всех n  m+1 C_>-n>=0, тогда Z=Z_>0> будет являться полюсом порядка m.

При m>1 такой полюс будет называться простым.

_>>, если m  , то в этом случае в точке Z=Z_>0> имеем существенную особенность.

Определение 2. Вычетом функции f(Z) в круге |Z-Z_>0>|<R, ограничивающем изолированную особую точку Z=Z0 называется интеграл : _>> , где L – ориентированный против часовой стрелки контур целиком расположенный в круге радиуса R, содержащем Z_>0>. Вычет существует только для изолированных особых точек. Очевидно, что вычет функции f(z) при Z=Z_>0> равен первому коэффициенту ряда главной части Лорана : _>>

Если полюс имеет кратность m  1, то для определения вычетов используется формула :

_>> (3)

при m=1 :

_>>

Основная теорема о вычетах.

Пусть f(z) аналитическая в области G кроме конечного числа полюсов Z = a_>1>, a_>2>, …, a_>k>.  –произвольный, кусочно-гладкий замкнутый контур содержащий внутри себя эти точки и целиком лежащий внутри области G. В этом случае интеграл _>>равен сумме вычетов относительно a_>1>, a_>2>, …, a_>k> и т.д. умноженный на 2i :

_>> (5)

Пример :

Найти вычет _>>

Особые точки : Z_>1>=1, Z_>2>= - 3.

Определим порядок полюсов – все полюсы первого порядка.

Используем формулу (3) :

_>>

Интегральные преобразования.

Операционное исчисление и некоторые его приложения.

Пусть задана функция действительного переменного t, которая удовлетворяет условиям :

_>>
Функция f(t) кусочно-непрерывная (имеет конечное число точек разрыва первого рода).
Для любого значения параметра t>0 существует M>0 и S00 такие, что выполняется условие : |f(t)|<Me ^S⁰^t

Рассмотрим функцию f(t)e^-^pt , где р – комплексное число р = ( а + i b).

_>> (1)

Применим к этому соотношению формулу Эйлера :

_>>

Проинтегрировав это равенство получим :

_>> (2)

Оценим левую часть равенства (2) :

_>>

А согласно свойству (3) |f(t)| < Me ^S⁰^t

_>>

В случае если a>S_>0> имеем :

_>>

Аналогично можно доказать, что существует и сходится второй интеграл в равенстве (2).

Таким образом при a>S_>0> интеграл, стоящий в левой части равенства (2) также существует и сходится. Этот интеграл определяет собой функцию от комплексного параметра р :

_>> (3)

Функция F(p) называется изображением функции f(t) по Лапласу, а функция f(t) по отношению к F(p) называется оригиналом.

f(t)  F(p), где F(p) – изображение функции f(t) по Лапласу.

_>> - это оператор Лапласа.

Смысл введения интегральных преобразований.

Этот смысл состоит в следующем : с помощью перехода в область изображения удается упростить решение многих задач, в частности свести задачу решения многих задач дифференциального, интегрального и интегро-дифференциального уравнения к решению алгебраических уравнений.

Теорема единственности: если две функции  tиt имеют одно и то же изображение F(p), то эти функции тождественно равны.

Смысл теоремы : если при решении задачи мы определим изображение искомой функции, а затем по изображению нашли оригинал, то на основании теоремы единственности можно утверждать, что найденная функция является решением в области оригинала и причем единственным.

Изображение функций _>0>(t), sin (t), cos (t).

Определение: _>> называется единичной функцией.

Единичная функция удовлетворяет требованиям, которые должны быть наложены на функцию для существования изображения по Лапласу. Найдем это изображение :

_>>

Изображение единичной функции _>>

Рассуждая аналогичным образом получим изображение для функции sin(t) :

_>>

интегрируя по частям получим :

_>> т.е. _>>

Аналогично можно доказать, что cos (t) переходит в функцию _>>в области преобразований. Откуда : _>>

Изображение функции с измененным масштабом независимого переменного.

_>>где а – константа.

Таким образом : _>>

_>> и _>>

Свойства линейности изображения.

Теорема : изображение суммы нескольких функций умноженное на постоянные равны сумме изображений этих функций умноженных на те же постоянные.

_>>

Если _>>, то _>>, где _>>

Теорема смещения : если функция F(p) это изображение f(t), то F(+p) является изображением функции e^-^t f(t) (4)

Доказательство :

Применим оператор Лапласа к левой части равенства (4)

_>>

Что и требовалось доказать.

Таблица основных изображений:

F(p)	f(t)	F(p)	f(p)
_>>	1	_>>	_>>
_>>	_>>	_>>	_>>
_>>	_>>	_>>	_>>
_>>	_>>	_>>	_>>
_>>	_>>	_>>	_>>
_>>	_>>	_>>	_>>

Изображение производных.

Теорема. Если _>>, то справедливо выражение :

_>> (1)

Доказательство :

_>>

_>> (2)

_>> (3)

Подставляя (3) в (2) и учитывая третье условие существования функции Лапласа имеем :

_>>

Что и требовалось доказать.

Пример: Решить дифференциальное уравнение :

_>> Если x(0)=0 и x’(0)=0

Предположим, что x(t) – решение в области оригиналов и _>>, где _>>- решение в области изображений.

_>>

Изображающее уравнение :

_>>

Теорема о интегрировании оригинала. Пусть _>> находится в области оригиналов, _>>, тогда _>>также оригинал, а его изображение _>>.

Таким образом операции интегрирования в области оригиналов соответствует операция деления в области изображений.

Теорема о интегрировании изображений : Пусть _>> – функция оригинал, которая имеет изображение _>>и _>> также оригинал, а _>>- является сходящимся интегралом, тогда _>>.

Толкование теоремы : операция деления на аргумент в области оригиналов соответствует операции интегрирования в пределах от р до  в области изображений.

Понятие о свертке функций. Теорема о свертке.

Пусть заданы две функции a(t) и b(t), удовлетворяющие условиям существования изображения по Лапласу, тогда сверткой таких функций называется следующая функция :

_>> (1)

Свертка обозначается следующим образом :

_>> (1’)

Равенства (1) и (1’) идентичны.

Свертка функции подчиняется переместительному закону.

Доказательство:

_>>

Теорема о умножении изображений. Пусть _>>и _>>, тогда произведение изображений _>> представляется сверткой оригиналов _>>.

Доказательство :

Пусть изображение свертки _>>

_>> (1)

Интеграл (1) представляет собой повторный интеграл относительно переменных t и  . Изменим порядок интегрирования. Переменные t и  входят в выражение симметрично. Замена переменной производится эквивалентно.

_>>

Если в последнем интеграле сделать замену переменной, то после преобразований последний интеграл преобразуется в функцию F_>2>(p).

Операция умножения двух функций в пространстве изображений соответствует операции свертки их оригиналов в области оригиналов. Обобщением теоремы о свертке есть теорема Эфроса.

Теорема Эфроса. Пусть функция _>> находится в области оригиналов, _>>, а Ф(р) и q(р) – аналитические функции в области изображений, такие, что _>>, тогда _>>.

В практических вычислениях важную роль играет следствие из теоремы о свертке, наз. интеграл Дюамеля. Пусть все условия теоремы выполняются, тогда

_>> (2)

Соотношение (2) применяется при решении дифференциальных уравнений.

Обратное преобразование Лапласа.

_>> - Это прямое преобразование Лапласа.

Обратное преобразование есть возможность получить функцию-оригинал через известную функцию-изображение :

_>>, где s – некоторая константа.

Пользоваться формулой для обратного преобразования можно при определенном виде функции F(p), либо для численного нахождения функции-оригинала по известному изображению.

Теоремы разложения.

Известная методика разложения дробно-рациональных функций на сумму элементарных дробей (1)-(4) может быть представлена в виде двух теорем разложения.

Первая теорема разложения. Пусть F(p) – изображение некоторой функции, тогда эта функция представляется в виде _>>, k – постоянная, может быть сколь угодно большим числом, _>>, то возможен почленный переход в пространство оригиналов с помощью формулы : _>>.

Вторая теорема разложения. Если изображение представляется дробно-рациональной функцией _>>. Степень числа s меньше степени знаменателя n, знаменатель имеет корни _>1>, _>2>, …,  _>n> соответствующий кратности k_>1>, k_>2>, …, k_>n> , при этом k_>1>+ k_>2> +…+ k_>n> = n. В этом случае оригинал функции определяется по формуле :

_>>

_>> (3)

Например :

_>>

Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа.

Преобразование Лапласа имеет вид :

_>> (1)

На f(t) наложены условия :

f(t) определена и непрерывна на всем интервале: (- ;  )
f(t) 0 , t  (-  ;0)
При M, S_>0> >0 , для всех t > 0 выполняется условие |f(t)|<Me ^S⁰^t

Если отказаться от условий 2 и 3, и считать, что f(t) принимает произвольное значение при t < 0, то вместо (1) можно рассмотреть следующий интеграл :

_>> (2)

Формула (2) – двустороннее преобразование Лапласа.

Пусть в (1) и (2) p =a + in, где a и n – действительные числа.

Предположим, что Re(p) = a = 0, т.е.

_>> (4)

_>> (5)

и (5) соответственно односторонние и двусторонние преобразования Фурье.

Для существования преобразования Фурье, функция должна удовлетворять условиям :

Должна быть определена на промежутке (- ;  ) , непрерывна всюду, за исключением конечного числа точек разрыва первого рода.
Любой конечный промежуток оси t можно разделить на конечное число промежутков, в каждом из которых функция либо кусочно-гладкая, либо кусочно-монотонная.
Функция абсолютно интегрируема : _>>, это условие выполняется, если |f(t)|<Me ^S⁰^t

Из существования преобразования Лапласа не следует преобразование Фурье. Преобразования Фурье существуют для более узкого класса функций. Преобразования Фурье не существуют для постоянной и ограниченной функции : f(t) = C

_>>

Аналогично преобразования Фурье не существуют и для гармоничных функций :

_>> т.к. _>>

Если f(t) = 0 при t>0 и преобразование для этой функции существует, то оно может быть получено из таблицы оригиналов и изображений для преобразования Лапласа путем замены параметра t на iu, но при этом необходимо убедиться, что F(p) не обращается в число справа от мнимой оси.

Если f(t)  0, t<0

_>> (6)

_>>

Обозначим _>>

Очевидно, что _>> (6’)

Функция (6) называется спектральной плотностью

_>>

В связи с изложенным можно указать два пути отыскания спектральной плотности :

Вычисление интеграла (5)
Использование преобразования Лапласа или Фурье.

Непосредственное вычисление спектральной плотности для абсолютно интегрируемой функции.

Функция F(iu) может быть представлена, как комплексная функция действительной переменной

_>> (7)

|F(iu)| - амплитудное значение спектральной плотности,  (u) – фазовый угол.

В алгебраической форме : F(iu) = a(u) +ib(u)

_>> (8)

_>> (9)

Для непосредственного вычисления спектральной плотности вычисляется интеграл (6), а затем по формулам (8) и (9) определяется амплитудное значение |F(iu)| и фазовый угол  (u).

Пример.

Найти спектральную плотность импульса :_>>

_>>

откуда _>>, далее

_>>

Отыскание спектральной плотности для неабсолютно интегрируемых функций.

Прямое преобразование Фурье для таких функций не существует, существует преобразование Лагранжа.

Прямое преобразование Фурье необходимо :

Для облегчения процесса решения дифференциальных и интегральных уравнений.
Для исследования амплитудной и частотной характеристик спектральной плотности, определенной всюду на числовой оси.

Введем следующее определение спектральной плотности для неабсолютно интегрируемых функций:

Если для заданной функции y=f(t) существует непрерывное изображение по Лапласу F(p), то спектральной плотностью функции называется изображение функции по Лапласу при p = iu.

Спектральной плотностью F_>1>(iu) неабсолютно интегрируемой функции называется предел от спектральной плотности F_>2>(iu) абсолютно интегрируемой функции.

_>>