Виды тригонометрических уравнений (работа 1)
Реферат
на тему:
“Виды тригонометрических уравнений”
Успенского Сергея
Харцызск
2001 год
Виды тригонометрических уравнений.
1. Простейшие тригонометрические уравнения:
Пример 1. 2sin(3x - /4) -1 = 0.
Решение. Решим уравнение относительно sin(3x - /4).
sin(3x - /4) = 1/2, отсюда по формуле решения уравнения sinx = а находим
3х - /4 = (-1)n arcsin 1/2 + n, nZ.
Зх - /4 = (-1)n /6 + n, nZ; 3x = (-1)n /6 + /4 + n, nZ;
x = (-1)n /18 + /12 + n/3, nZ
Если k = 2n (четное), то х = /18 + /12 + 2n/3, nZ.
Если k = 2n + 1 (нечетное число), то х = - /18 + /12 + ((2n + 1))/3 =
= /36 + /3 + 2n/3 = 13/36 + 2n/3, nz.
Ответ: х1 = 5/6 + 2n/3,nZ, x2 = 13/36 + 2n/3, nZ,
или в градусах: х, = 25° + 120 n, nZ; x, = 65° + 120° n, nZ.
Пример 2. sinx + з cosx = 1.
Решение. Подставим вместо з значение ctg /6, тогда уравнение примет вид
sinx + ctg /6 cosx = 1; sinx + (cos/6)/sin/6 cosx = 1;
sinx sin /6 + cos /6 cosx = sin /6; cos(x - /6) = 1/2.
По формуле для уравнения cosx = а находим
х - /6 = ± arccos 1/2 + 2n, nZ; x = ± /3 + /6 + 2n, nZ;
x1 = /3 + /6 + 2n, nZ; x1 = /2 + 2n, nZ;
x2 = - /3 + /6 + 2n, nZ; x2 = -/6 + 2n, nZ;
Ответ: x1 = /2 + 2n, nZ; x2 = -/6 + 2n, nZ.
2. Двучленные уравнения:
Пример 1. sin3x = sinx.
Решение. Перенесем sinx в левую часть уравнения и полученную разность преобразуем в произведение. sin3x - sinx == 0; 2sinx cos2x = 0.
Из условия равенства нулю произведения получим два простейших уравнения.
sinx = 0 или cos2x = 0.
x1 = n, nZ, x2 = /4 + n/2, nZ.
Ответ: x1 = n, nZ, x2 = /4 + n/2, nZ.
3. Разложение на множители:
Пример 1. sinx + tgx = sin2x / cosx
Решение. cosx 0; x /2 + n, nZ.
sinx + sinx/cosx = sin2x / cosx . Умножим обе части уравнения на cosx.
sinx cosx + sinx - sin2x = 0; sinx(cosx + 1 - sinx) = 0;
sinx = 0 или cosx - sinx +1=0;
x1 = n, nZ; cosx - cos(/2 - x) = -1; 2sin /4 sin(/4 - x) = -1;
2 sin(/4 - x) = -1; sin(/4 -x) = -1/2; /4 - x = (-1) n+1 arcsin 1/2 + n, nZ;
x2 = /4 - (-1) n+1 /4 - n, nZ; x2 = /4 + (-1) n /4 + n, nZ.
Если n = 2n (четное), то x = /2 + n, если n = 2n + l (нечетное), то x = n.
Ответ: x1 = n, nZ; x2 = /4 + (-I)n /4 + n, nZ.
4. Способ подстановки
Пример 1. 2 sin2x = 3cosx.
Решение. 2sin2x - 3cosx = 0; 2 (l - cos2x) - 3cosx = 0; 2cos2x + 3cosx - 2 = 0.
Пусть z = cosx, |z| 1. 2z2 + 32z - 2=0.
Д = 9+16 = 25; Д = 5; z1 = (-3 + 5)/4 = 1/2; z2 = (-3-5)/ 4 = -2 -
-не удовлетворяют условию для z. Тогда решим одно простейшее уравнение:
cosx = 1/2; х = ± /3 + 2n, nZ. Ответ: х = ± /3 + 2n, nZ.
5. Однородные уравнения
Однородные тригонометрические уравнения имеют такой вид:
a sin2x + b sinxcosx + c cos2x = 0 (однородное уравнение 2-й степени) или
a sin3x + b sin2x cosx + c sinx cos2x + d sin3x = 0 и т.д.
В этих уравнениях sinx 0, cosx 0. Решаются они делением обеих частей уравнения на sin2x или на cos2x и приводятся к уравнениям относительно tgx или ctgx.
Пример 1. 3sin2 2x - 2sin4x + 3cos22x = 0.
Решение. Разложим sin4x по формуле синуса двойного угла.
Получим уравнение 3sin22x - 4sin2xcos2x + 3cos22x = 0.
Разделим на cos22x. Уравнение примет вид 3 tg22x – 4tg2x + 3 = 0.
Пусть z = tg2x, тогда 3z2 - 4z + 3 = 0; Д = 4; Д = 2.
z1 = (4 +2)/23 = 6/23 = 3; z2 = (4 – 2)/23 = 1/3
tg2x = 3 или tg2x = 1/3
2x = /3 + n, nZ; 2x = /6 + n, nZ;
x1 = /6 + n/2, nZ ; x2 = /12 + n/2, nz.
Ответ: x1 = /6 + n/2, nZ ; x2 = /12 + n/2, nz.
6. Уравнение вида a sinx + b cosx = с
Пример 1. 3sinx + 4cosx = 5.
Решение. Разделим обе части уравнения на 5, тогда 3/5sinx + 4/5cosx = 1.
sin = 4/5; cos = 3/5; sin(x+) = 1, x + = /2 + 2n, nZ.
Ответ: x = /2 - arcsin 4/5 + 2n, nZ.
7. Дробно-рациональные тригонометрические уравнения
Уравнения, содержащие тригонометрические дроби, называются дробно-рациональными уравнениями. В этих уравнениях требуется следить за областью допустимых значений.
Пример 1. 1/(3-tgx) – 1/(3 +tgx) = sin2x
Решение. Область допустимых значений решений этого уравнения
tgx ± 3, х ± /8 + n, nZ и х ± /2 + n, nZ.
Левую часть уравнения приведем к общему знаменателю, а правую преобразуем с помощью формулы выражения синуса угла через тангенс половинного угла.
(3 + tgx - 3 + tgx)/3 - tg2x = 2tgx/ (1 + tg2x); 2tgx / (3 - tg2x) = 2tgx/(1 + tg2x)
x1 = n, nZ
Второе уравнение имеет вид
2tg2x - 2 = 0; tg2x = 1; tgx = ±1; x2 = ± /4 + n, nZ.
Ответ: x1 = n, nZ; х2 = ± /4 + n, nZ.
8. Иррациональные тригонометрические уравнения
Если в уравнении тригонометрическая функция находится под знаком радикала, то такое тригонометрическое уравнение будет иррациональным. В таких уравнениях следует соблюдать все правила, которыми пользуются при решении обычных иррациональных уравнений (учитывается область допустимых значений как самого уравнения, так и при освобождении от корня четной степени).
Пример 1. ( cos2x + ½) + ( sin2x + ½) = 2.
Решение. Уравнение имеет смысл при любом х. Возведем обе части уравнения в квадрат.
cos2x + ½ + 2 (( cos2x + ½) ( sin2x + ½)) + sin2x + ½ = 4
(( cos2x + ½) ( sin2x + ½)) = 1; ( cos2x + ½) ( sin2x + ½) = 1
( ½ + ½ cos2x + ½)( ½ - ½ cos2x + ½) = 1; (1 + ½ cos2x) (1 - ½ cos2x) = 1;
1 – ¼ cos22x = 1; cos2x=0; x = /4 + n/2, nz
Ответ: x = /4 + n/2, nz.
9. Тригонометрические уравнения, в которых под знаком тригонометрической функции находится функция
Особого внимания заслуживают тригонометрические уравнения со сложной зависимостью, когда под знаком тригонометрической функции находится какая-либо другая функция. Эти уравнения требуют дополнительного исследования множества решений.
Пример 1. tg(x2 + 5x)ctg 6=1.
Решение. Запишем уравнение в виде tg(x2+5x)=tg 6. Учитывая, что аргументы равных тангенсов отличаются на свои периоды теп, имеем х2 + 5х = 6 + n, nZ; х2 + 5х - (6+n) = 0, nz;
Д = 25 + 4(6 + n) = 49 + 4n, nZ; х1,2 = (-5 (49 + 4n))/2, nz
Решение имеет смысл, если 49 + 4n > 0, т.е. n -49/4; n -3.
Литераура:
“Математика” Р. Л . Вейцман, Л . Р. Вейцман, 2000 г.
(стр. 116 - 125)
“Алгебра начала анализа 10-11” А . Н . Колмогоров,
А . М . Абрамов, Ю . П . Дудницын, Б . М . Ивлев,
С . И . Шварцбурд, 1993 г.
(стр. 62 - 78)