Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени
Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени
Валентин Подвысоцкий
Уравнение:
|
X4 + TX2 + PX + Q = 0 |
(1) |
имеет четыре корня X>1>, X>2>, X>3>, X>4>.
Известно, что:
|
X>1> + X>2> + X>3> + X>4> = 0, |
(2) |
|
X>1>X>2> + X>1>X>3> + X>1>X>4> + X>2>X>3> + X>2>X>4> + X>3>X>4> = T, |
(3) |
|
X>1>X>2>X>3> + X>1>X>2>X>4> + X>1>X>3>X>4> + X>2>X>3>X>4> = –P, |
(4) |
|
X>1>X>2>X>3>X>4> = Q. |
(5) |
Путем простых алгебраических преобразований из соотношений (2), (3), (4) получаем:
|
X>1>X>2> + X>3>X>4> = T + (X>1> + X>2>)2, |
(6) |
|
(X>1> + X>2>)(X>1>X>2> – X>3>X>4>) = P. |
(7) |
Составляем квадратное уравнение:
|
Y2 – (X>1>X>2>+X>3>X>4>)Y + X>1>X>2>X>3>X>4> = 0, |
(8) |
где Y>1> = X>1>X>2>, Y>2> = X>3>X>4>.
Используя ф-лы (5), (6), (7) и обозначая A = (X>1> + X>2>)2 перепишем уравнение (8) в виде:
Y2 – (T + A)Y + Q = 0.
Решая уравнение (8) получаем:
|
X>1>X>2> = 1/>2>(T + A2 + ([T + А]2 – 4Q)1/2), |
(9) |
|
X>3>X>4> = 1/>2>(T + A2 – ([T + A]2 – 4Q)1/2). |
(10) |
Таким образом, используя ф-лы (9), (10) получаем:
|
X>1>X>2> – X>3>X>4> = ([T + A]2 – 4Q)1/2. |
(11) |
Учитывая, что A1/2 = X>1> + X>2> перепишем формулу (7) в виде:
|
X>1>X>2> – X>3>X>4> = Р/А1/2. |
(12) |
Подставляя в ф-лу (12) ф-лу (11) получаем
|
P/A1/2 = ([T + A]2 – 4Q)1/2. |
(13) |
Путем простых алгебраических преобразований из ф-лы (13) получаем кубическое уравнение относительно переменной А:
|
A3 + 2TA2 + (T2 – 4Q)A – P2 = 0. |
(14) |
Таким образом решение уравнение четвертой степени (1) сводится к решению кубического уравнения (13), где A=(X>1>+X>2>)2 и двух квадратных уравнений:
|
X2 – (X>1> + X>2>)X + X>1>X>2> = 0, |
(15) |
|
X2 – (X>3> + X>4>)X + X>3>X>4> = 0. |
(16) |
Используя ф-лы (9), (10) и учитывая, что X>1> + X>2> = – (X>3>+X>4>) перепишем ф-лы (15), (16) в виде:
|
X2 – A1/2X + 1/>2>(T+A + ([T + A]2 – 4Q)1/2) = 0, |
(17) |
|
X2 + A1/2X + 1/>2>(T+A – ([T + A]2 – 4Q)1/2) = 0. |
(18) |
Полное уравнение четвертой степени X4 + KX3 + TX2 + PX + Q = 0 сводится уравнению (1) путем замены переменной X на переменную Y = X + K/4.
Список литературы
Для подготовки данной применялись материалы сети Интернет из общего доступа