Кинематика

Кинематика

тема 1 кинематика точки

1.1 предмет изучения

С самого рождения и на протяжении всей своей жизни мы встречаемся с движением материи. Простейшей формой движения материи является механика. В разделе «кинематика» мы будем изучать только одну сторону механического движения – геометрическую, т.е. мы будем изучать геометрию движения тела без учета его массы и сил, действующих на него. Механически движение в общем смысле будет изучаться в разделе «динамика».

Под движением в механике мы будем понимать перемещение данного тела в пространстве и времени по отношению к другим телам.

Для определения положения движущего тела вводится система отсчета, связанная с телом, условно принимаемым за неподвижное. Движение тела происходит в пространстве и времени. Мы будем рассматривать трехмерное эвклидо пространство. За единицу длины в нем принимается 1 метр. Время считается универсальным, т. е. не зависящим от выбранной системы отсчета. За единицу времени принимается 1 секунда. В задачах механики время принимается за независимую переменную. Все остальные кинематические величины (расстояния, скорости, ускорения и т.д.) являются функциями времени.

Прежде чем изучать движение его необходимо задать, т.е. описать каким-либо математическими формулами так, чтобы можно было узнать положение тела и все его кинематические характеристики в любой момент времени.

Основная задача кинематики заключается в том, чтобы по известному закону движения тела (или какой-либо его точки) найти все остальные

кинематические характеристики движения.

Изучение кинематики мы начнем с изучения движения простейшего тела – точки, т.е. такого тела, размерами которого можно пренебречь и рассматривать его как геометрическую точку.

1.2 Способы задания движения точки

Мы будем рассматривать три способа задания движения: векторный, координатный и естественный.

1.2.1 Векторный способ

Положение движущейся точки М определяется с помощью радиуса вектора > >, проведенного из некоторого неподвижного центра О в эту точку (рис. 1.1). В процессе движения этот вектор изменяется по величине и направлению, т.е. является функцией времени. Зависимость

>> (1.1)

называется уравнением движения (или законом движения) в векторной форме. Линия, описываемая концом этого вектора называется траекторией движения.


1.2.2 Координатный способ

С неподвижным центром О связывается неподвижная система координат ОХ у Z. Положение точки определяется тремя координатами: х, у, z (рис. 1.2). В процессе движения эти координаты изменяются, т.е. они являются функциями времени.


Зависимости

х=f>1>(t); у=f>2>(t); z=f>3>(t) (1.2)

называются уравнениями движения точки в координатной форме. Эти уравнения являются одновременно параметрическими уравнениями траектории движения (параметром является t).

Чтобы получить уравнение траектории в явной форме, надо из уравнений (1.2) исключить параметр t.

1.2.3 Естественный способ

При естественном способе задания движения траектория заранее известна. На траектории выбирается начало отсчета (т. 0) и устанавливается положи-тельное и отрицательное направления отсчета.

Положение точки на траектории однозначно определяется криволинейной координатой S, измеряемой вдоль траектории. Зависимость

S = f(t) (1.3)

называется уравнением движения в естественной форме.


1.2.4 Связь между способами задания движения

Координатный векторный способы связаны зависимостью:

>> (1.4)

где > > - единичные орты координатных осей.

Переход от координатного способа к естественному:

>>

здесь: > >; >> >>

(т.е. здесь и в дальнейшем производная по времени обозначается точкой над буквой).

1.3 Определение скорости и ускорение точки при векторном задании движения

Пусть точка за время > > переходит из положения М в положение М>1>, двигаясь вдоль траектории (Рис. 1.4) > > называется вектором перемеще-ния. > > - средняя скорость.

Например, вектор > > по хорде М М>1>. если уменьшать промежуток времени > >, то хорда будет приближаться к касательной, а средняя скорость к мгновенной.

Рис. 1.4

>>

>> (1.6)

Направлен вектор скорости по касательной к траектории.

Определение ускорения:

Пусть в положении М скорость > >, а в положении М>1> (через время > >) скорость > >. Приращение скорости > >(рис. 1.5).

Среднее ускорение:

>>

Ускорение в данный момент

>>

>> (1.7)

Лежит вектор ускорения в плоскости, проведенных через касательной к траектории в двух бесконечно близких точках. Эта плоскость называется соприкасающейся или плоскостью главной кривизны.

1.4 Определение скорости и ускорения точки при координатном способе задания движения

при координатном способе задания движения:

>> (а)

с другой стороны:

>> (б)

Сравнивая (а) и (б) находим:

>>; >>; >> (1.8)

т.е. проекция вектора скорости на оси координат равны первым производным по времени от соответствующих координат.

Величина скорости:

>> (1.9)

направление вектора скорости определяется с помощью направляющих косинусов, т.е. косинусов углов между вектором скорости и осями координат (рис. 1.6).


>> (1.10)

Аналогично ищем ускорения:

>>

Сравнивая (в), (г), (д) находим:

>> (1.11)

Проекция ускорения равны первым производным по времени от соответствующих проекций скорости или вторым производным по времени от соответствующих координат.

Величина ускорения:

>> (1.12)

Направляющие косинусы:

>>; >>; >>; (1.13)

1.5 Определение скорости и ускорения точки при естественном задании движения

Пусть за время > > точка переместилась из положения М в положение М>1>, совершив перемещение > >(рис. 1.17).


величина скорости точки:

>>>>

>> (1.14)

Направлена скорость по касательной к траектории:

Найдем ускорение точки.

Пусть в положении М точка имеет скорость > >(рис. 1.8).

Полное ускорение точки будет:

>> >> >>

Обозначим угол между касательными через > > (угол смежности). Спроецируем вектор ускорения > > на касательную > >и нормам п.

>>

>>


Найдем эти пределы, учитывая, что при > >одновременно и > > и > >.

>>

где ρ – радиус кривизны траектории в данной точке.

Подставив эти значения в а>п> получим:

>>

Т.о. величины касательного, нормального и полного ускорений определяется формулами:

>>

Касательное ускорение направлено по касательной к траектории (в сторону скорости при ускоренном движении и противоположно скорости – при замедленном) и характеризует изменение величины скорости.

Нормальное ускорение направлено по нормам к траектории к центру кривизны и характеризует изменение направления скорости.

1.6 Частные случаи движения точки

По виду траектории движение делится на прямолинейное и криволинейное. При прямолинейном движении а>п> = 0, т.к. ρ = ∞.

По изменению величины скорости движения делится на равномерные и неравномерные.

Движение называется равномерным, если величина скорости постоянна (V=const).

Закон равномерного движения:

S=S>0>+V>t> (1.18)

Движение называется равномерным, если величина касательного ускорения постоянна.

>>

Т.о. равномерное движение описывается двумя формулами:

>> (1.19)

Нормальное ускорение направлено от данной точки к оси вращения

Тема 2 Простейшие движения тела

К простейшим движениям твердого тела относятся поступательное движение и вращательное движение вокруг неподвижной оси.

2.1 Поступательное движение твердого тела

Поступательным называется такое движение тела, при котором любой отрезок прямой проведенной в теле перемещается параллельно самому себе.

Это самое простое движение тела.

Оно описывается одной теоремой:

При поступательном движении тела все его точки описывают одинаковые, при наложении совпадающие траектории, и имеют одинаковые скорости и одинаковые ускорения.

Доказательство:

Проведем в теле произвольный отрезок АВ. При движении тела он остается параллельным самому себе (рис. 2.1). траектория точки А на величину АВ, т.е. они одинаковые.


Проведем из неподвижного центра О радиусы-векторы точек А и В (>>), а также вектор > > из точки А в точку В.

Очевидно, что

>>

Продифференцируем это векторное равенство по времени, учитывая, что > >.

>>; но > >, значит

>> (2.1)

дифференцируя (2.1) по времени: > >, получаем:

>> (2.2)

Так как точки А и В взяты произвольно, то все выводы справедливы для всех точек тела.

Следовательно, при поступательном движении тела его можно считать точкой и пользоваться формулами кинематики точки.

2.2 Вращение тела вокруг неподвижной оси

Вращательным называется такое движение тела, при котором хотя бы две точки, принадлежащие телу или жестко с ним связанные, во все время движения остаются неподвижными. Прямая, проходящая через эти две неподвижные точки называется осью вращения.

Проведем через ось вращения две полуплоскости: неподвижную І и подвижную II, жестко связанную с телом и вращающуюся вместе с ним (рис. 2.2).

Положением тела будет однозначно определяться углом φ между этими полуплоскостями. Угол φ называется углом поворота. Измеряется он в радианах. Положительное направление φ – против часовой стрелки, если смотреть навстречу оси Z.

Зависимость

φ = φ(t) (2.3)

называется уравнением вращательного движения.


Быстрота вращения характеризуется угловой скоростью ω. Средняя угловая скорость определяется как отношения приращения угла поворота ∆φ к промежутку времени ∆t, за который оно произошло.

>>

Угловая скорость в данный момент времени:

>> (2.3)

Вектор угловой скорости > > направлен по оси вращения в ту сторону, чтобы, глядя навстречу ему, мы видели вращение происходящей против часовой стрелки. Изменяется ω в радиан/сек. На производстве угловую скорость измеряют в об/мин. В этом случае она обозначается буквой «п».

Формула перехода:

>> (2.4)

Изменение угловой скорости характеризуется угловым ускорением ε, которая определяется как первая производная от угловой скорости или вторая производная от угла поворота по времени:

>> (2.5)

Направлен вектор > > также по оси вращения в сторону > > при ускоренном и противоположном > > при замедленном вращении. Единица измерения – 1Рад/с2.

2.3 Равномерное и равнопеременное вращение

Вращение называется равномерным, если угловая скорость постоянна, т.е. ω = const.

Закон равномерного вращения:

φ=φ>0>+ω>t>> > (2.6)

Вращение называется равнопеременным, если угловое ускорение постоянно, т.е. ε = const.

Но > >. Разделяя переменные и интеграции > > находим, что

>> (2.7)

Подставив сюда > > и еще раз интегрируя > >, получим уравнение переменного вращения:

>> (2.8)

2.4 Скорости и ускорение точек вращающегося тела

пусть за время dt тело повернулось на угол dφ, а точка М, находящаяся на расстоянии R от оси вращения, получила перемещение dS=ч* dφ (рис. 2.3).

Тогда скорость точки

>> (2.9)

Направлен вектор скорости > >по касательной к траекториям, т.е. по касательной к окружности радиуса R, центр которой лежит на оси вращения, а ее плоскость перпендикулярна оси вращения.

Найдем нормальное и касательное ускорение точки:


>>


Нормальное ускорение направлено от данной точки к оси вращения.

Касательное ускорение направлено по касательной к округлости, которую описывает точка и совпадает с направлением скорости при ускоренном вращении, а при немедленном – противоположно скорости.

Рассмотрим векторное произведение > > (рис. 2.4). Его модуль > >, а направление совпадает с направлением скорости. Из этого делаем вывод, что вектор скорости:

>> (2.11)

взяв от этого выражения производную по времени, получим:

>>

Первое произведение по величине и направлению совпадает с касательным, а вторая – с нормальным ускорением.

Таким образом, касательная и нормальная составляющие вектора полного ускорения при вращательном движении определяется формулами:

>> (2.12)


Отметим, что радиус-вектор > > точки М можно проводить из любой точки О>1>, лежащей на оси вращения (все точки оси вращения неподвижны) и что этот вектор постоянный по модулю (у него меняется только направление).

2.5 Простейшие передаточные механизмы

Передаточными называют механизмы, служащие для передачи вращения с одного вала на другой. К простейшим из них относятся: зубчатые, ременные, цепные и фрикционные. Схематическое изображение зубчатых и фрикционных механизмов показано на рис. 2.5а, а ременных и цепных на рис. 2.5.б.

Найдем скорость точки а: > > на колесе І и > > на колесе ІІ. Так как проскальзывание отсутствует, то > >.

Отсюда:

>> (2.13)

т.е. угловые скорости обратно пропорциональны радиусом колес. Величина i>1-2> называется передаточным отношением.

У зубчатых и цепных передач – передаточное отношение точное, у ременных и фрикционных – может быть проскальзывание. Ременные и цепные передачи позволяют передавать вращение на большие расстояния, чем зубчатые и фрикционные. С устройством передаточных механизмов, их изготовлением, расчетами и эксплуатацией вы познакомитесь в курсах «Теория механизмов и машин» и «Детали машин».

Тема 3 Сложное движение точки

3.1 Основные определения

До сих пор мы рассматриваем движение точки в одной, неподвижной системе отсчета. Однако, часто встречаются случаи, когда точка движется по определенному закону в некоторой системе отсчета, которая, в свою очередь, перемещается относительно неподвижной системы отсчета. Такое движение точки называется сложным. Введем основные определения сложного движения точки.

Движение точки в подвижной системе отсчета называется относительным. Скорость и ускорение точки в этом движении называются относительными и обозначаются: > > (или > >).

Движение точки вместе с подвижной системой называется переносным. Скорость и ускорение той точки М/ подвижной системы, в которой в данный момент находится движущаяся точка М, являются для данной точки переносной скоростью и переносным ускорением и обозначаются > > (или > >).

Движение точки относительно неподвижной системы отсчета называется абсолютным. Скорость и ускорение точки в этом движении называются абсолютными и обозначаются > > (или > >).

Пусть точка М движется в подвижной системе отсчета охуz. Ее координаты х, у, z являются функциями времени, а координаты х/, у/, z/ точки М/ подвижной системы, в которой в данный момент находится движущая точка М, являются константами. Но в любой момент времени

х = х/, у = у/, z = z/ (3.1)

Введем в рассмотрение радиусы-векторы, определяющие положение точек М и М/ в подвижной и неподвижной системах отсчета (рис. 3.1).

>> - радиус-вектор, определяющий положение начала подвижной системы охуz в неподвижной системе отсчета о>1>х>1>у>1>z>1>.

>>=>>- радиус-вектор, определяющий положение движущейся точки М в подвижной системе отсчета. Он описывает относительное движение точки.

>>- радиус-вектор, определяющий положение точки М/ подвижной системы в этой же системе.

>>- радиус-вектор, определяющий положение точки М/ подвижной системы в неподвижной системе отсчета. Он описывает переносное движение точки.

>>- радиус-вектор, определяющий положение движущейся точки М в неподвижной системе отсчета. Он описывает абсолютное движение.

3.2 Теоремы о схождении скоростей и ускорений

Скорости и ускорения точки в различных движениях будем определять как первую и вторую производные по времени от соответствующих радиусов-векторов.

    Относительную скорость и относительное ускорение находим как первую и вторую производные по времени от радиус-вектора > >, считая единичные орты > > константами (в подвижной системе – они постоянны).

>>

    Переносную скорость и переносное ускорение находим как первую и вторую производные по времени от радиус-вектора > >, считая координаты х/, у/, z/ константами, а единичные орты – переменными.

>>

так как дифференцирование проведено, то мы можем воспользоваться равенствами (3.1), т.е. заменить х/ на х, у/ на у, z/ на z:

>>

    Абсолютную скорость и абсолютное ускорение находим как первую и вторую производные по времени от радиус-вектора > >, считая все величины переменными:

>>

Таким образом доказана теорема сложения скоростей:

Абсолютная скорость равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей.

>> (3.6)

находим абсолютное ускорение:

>>

где введено обозначение:

>> (3.7)

Величина > >, определяемая равенством (3.7) называется поворотным ускорением или ускорением Кориолиса, по имени французского ученого, доказавшего теорему сложения ускорений:

Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме переносного, относительного и Кориолисов ускорений.

>> (3.8)

3.3 Ускорение Кориолиса, его величина направление и физический смысл

Рассмотрим ускорение Кориолиса, определяемое равенством (3.7). Если подвижная система движется относительно неподвижной поступательно (т.е. переносное движение поступательное), то единичные орты будут постоянны и по модулю и по направлению и их производные по времени будут равны нулю, следовательно и ускорение Кориолиса равно нулю.

Теорема о сложении ускорений при поступательном переносном движении будет выражаться равенством:

>>>> (3.9)

Рассмотрим переносное вращательное движение. Пусть подвижная система вращается вокруг оси О3 с угловой скоростью > >(рис. 3.2). единичные орты > > можно рассматривать как радиус-векторы точек А, В и С соответственно. А производные по времени от радиус-векторов точек дают скорости точек.


Следовательно:

>>; >>; >> (а)

с другой стороны, скорости точек А, В и С мы можем найти как во вращательном движении по формуле (2.11):

>>; >>; >> (б)

сравнивая (а) и (б) находим, что:

>>; >>; >>; (в)

Подставим эти значения в формулу (3.7)

>>

Таким образом ускорение Кориолиса равно удвоенному векторному произведению вектора угловой скорости переносного движения на вектор относительной скорости.

>> (3.10)

Его величина

>> (3.11)


В соответствии с правилом векторного произведения ускорения Кориолиса направлено перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы > > и > >, в ту сторону, чтобы, глядя навстречу ему, мы видим поворот вектора > > к вектору > > на меньший угол происходящим против часовой стрелки.

Другое правило: чтобы найти направление ускорения Кориолиса, надо вектор > >спроецировать на плоскость, перпендикулярно оси переносного вращения, и полученную проекцию повернуть на 90о в сторону вращения. Эти и будет направление вектора > >.

Физический смысл ускорения Кориолиса выясним на таком примере. Пусть круглая платформа вращается с постоянной угловой скоростью > >, а по радиусу платформы двигается точка М с постоянной относительной скоростью V>ч>> >(рис. 3.3). В некоторый момент точка занимает положение М>о>,> >а через промежуток времени > > положение М>1. >При этом произошло изменение относительной скорости за счет переносного движения (изменилось направление вектора > >) и изменение переносной скорости за счет относительного движения (изменилась величина > > в результате удаления точки от оси вращения). Эти два изменения и характеризуются ускорением Кориолиса.

Таким образом, ускорение Кориолиса характеризует изменение относительной скорости в результате переносного движения и изменение переносной скорости в результате относительного движения.

В общем случае движения формулы (3.8) удобнее использовать в таком виде:

>> (3.12)

Задача кинематики плоского движения твердого тела - найти характеристики движения самого тела и отдельных его точек. В данном задании к таким характеристикам относятся векторы угловой скорости и углового ускорения тела.

>Рис. 1>

Основные формулы кинематики плоского движения твердого тела - векторные формулы, связывающие соответственно скорости и ускорения двух произвольных точек плоской фигуры, например, точек А и В (рис. 1)

>>>B> = > >>A> + > >>BA> = > >>A> + > > ´ > >; (1)

>>>B> = > >>A> + > > + > > = > >>A> + > > × (>> ´ > >) + > > × > >; (2)

где > >, > >, - векторы угловой скорости и углового ускорения вращения плоской фигуры вокруг любой оси, например Az' перпендикулярной плоскости движения Oxy относительно системы координат Ax'y'z', оси которой параллельны осям неподвижной системы координат Оxyz.На рис.1 оси Оz. и Аz' не изображены, так как считается, что они перпендикулярны к плоскости рисунка и направлены на наблюдателя, а плоскости Охy и Аx'y' совпадают с плоскостью рисунка.

Левые части выражений

>>>BA> = > > ´ > >; > > = > > × (>> ´ > >) = > > × > >>BA>; > > = > > × > >;

являются соответственно векторами скорости, нормального и касательного ускорения точки В относительно системы координат Ax'y'z' при вращении отрезка АВ в плоскости рисунка вокруг точки A, называемой в таком случае полюсом, с угловой скоростью > > и угловым ускорением > >. Индексы n и t, в выражениях > > и > >указывают, что эти векторы направлены соответственно по внутренней нормали и касательной в точке B к окружности радиуса r = AB с центром в точке А. Модули упомянутых векторов находятся по формулам

½>>>BA>½ = > > ´ AB; ½>>½ = > > = > > ´ AB; ½>>½ = > > ´ AB; (3)

Векторы > >>BA>, > >, > > лежат в плоскости движения плоской фигуры тела, причем ненулевые векторы > >>BA>, > > перпендикулярны отрезку AB, а ненулевой вектор > > направлен от точки В к точке А . Таким образом, для этих векторов всегда известны линии действия.

Поскольку модуль ускорения > >может быть вычислен по формуле (3) через угловую скорость тела > >, обычно известную к этапу нахождения ускорений, целесообразно в формуле (2) вектор > > записывать вслед за известным вектором > >>, т.е. перед вектором > >.

Векторы > > и > > параллельны оси Оz и поэтому полностью определяются своими проекциями на эту ось

Модуль проекции равен модулю вектора > >; > >, а знак проекции указывает на направление вектора. Например, если проекции векторов положительны (>>, то векторы > > направлены так же, как и > >, или ось Oz. Таким образом, при плоском движении тела задача нахождения векторов > > сводится к задаче отыскания их проекций на ось Oz или Az'.

Если > > (рад) - угол между осью Ax' (Ох) и вектором > > (рис. 1) и за положительное направление отсчета угла > > для выбранной системы координат принято направление против хода часовой стрелки, то

>>>> рад/с; > > = > >>>= > >>>рад/с. (4)

О направлении векторов > > и > > судят по круговым стрелкам > > и > > согласно правилу: "круговая стрелка, направленная против хода стрелки часов, соответствует вектору, направленному так же, как ось Oz".

Из формул, использующих понятие МЦС (точка Р) на рис.2,

>> ´ > >; > >>B> = > >; > >;

>>; > >, (5)

следует, что в данный момент времени распределение скоростей точек тела при плоском движении таково, как если бы тело вращалось вокруг оси Р>z> с угловой скоростью > >.


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

Если отсчитывать угол 90 от направления вектора скорости точки > >>A> к направлению АР от этой точки до МЦС, то направление отсчета угла совпадает с направлением круговой стрелки > >. Этот факт можно использовать для определения направления вектора > >.

Из формул, использующих понятие МЦУ (точка Q на рис. 3),

>>

>>; > >>>; (6)

>>,

следует, что в данный момент времени распределение ускорений точек тела при плоском движении таково, как если бы тело вращалось вокруг оси Q>z> с угловой скоростью > > и угловым ускорением > >.

Угол > > отсчитывается от вектора ускорения какой-либо точки в направлении круговой стрелки > >. При отыскании положения МЦУ по ускорениям двух точек, например по > > и > >, под углом > > к соответствующим ускорениям проводят лучи AQ и BQ. Точка пересечения лучей (точка Q) является МЦУ плоской фигуры в данный момент времени.

Направления векторов > > и > > помимо формул (4) могут быть найдены из отдельных векторных формул

>>; > >; > >. (7)

Рис. 4

Чтобы избежать анализа расположения трех взаимно перпендикулярных векторов формул (7) при известных > >, > >, > > направления > > и > > находят аналогично случаю вращательного движения тела вокруг неподвижной оси (рис. 4).

>Рис. 5>

Кинематика плоского движения

катка радиуса R. при отсутствии скольжения по направляющей (в общем случае криволинейной), имеет некоторые особенности вследствие того, что мгновенный центр скоростей катка (точка Р ) совпадает с точкой окружности касающейся направляющей (рис. 5). Поэтому при движении катка расстояние от его центра (точки А) до МЦС является неизменным во времени и равным R.

AP(t) = const = R (8)

Свойство неизменности расстояния АР позволяет установить дополнительные соотношения, удобные для расчетов кинематических характеристик катка. Представим вектор скорости точки А с помощью:

а) формулы естественного способа задания движения точки

>>, где > > - единичный вектор естественного трехгранника, касательный в точке A к кривой ее движения; S>A> - криволинейная координата точки;

б) формулы (7) плоского движения тела

>>,

>>;

>>- орт оси Оz, перпендикулярной плоскости движения катка Qxy; j - угол, задающий направление какого-либо отрезка плоской фигуры катка. Ввиду произвольности выбора такого отрезка, обычно собственно отрезок, не указывают на рисунках, а изображают лишь круговую стрелку положительного направления отсчета угла j, называя его углом поворота катка.

Приравнивая правые части последних формул, имеем

>>.

Поскольку вектoр > > коллинеарен результату векторного произведения

>> (>>^>>, > >^>>), то

>>.

Откуда, используя свойство (8), получим формулы

>>, или > >, (9)

справедливые для любого момента времени t.

В правой части формулы (9) берется знак "+", если при мысленном увеличении угла поворота катка j в направлении против хода стрелки часов наблюдается возрастание координаты S> центра движущегося катка в положительном направлении ее отсчета, иначе берется знак "-".

Так, например, для случая отсчетов S>и j, изображенном на рис.5, в формуле (9) необходимо брать знак "-".

Дифференцируя и интегрируя по времени соотношения (9), придем к выражениям

>>, или > >, (10),

а также > >,

где С - некоторая константа, значение которой зависит от выбора начал отсчетов S> и j. Обычно принимают С=0, так как считают, что когда S>=0, j также равно нулю. Из произведения соответствующих частей формул (9), (10),

>> (11)

следует, что если векторы > >, > > сонаправлены, то сонаправлены и векторы > >, > >.

Таким образом, с помощью формул (1-4), (8-9) могут быть найдены характеристики векторов скоростей и ускорений точек, векторов угловых скоростей и ускорений звеньев механизма, а с помощью формул (5, 6), (11) осуществлена их проверка.

Нахождение кинематических характеристик движения (>>, > >, > >, > >) при помощи векторных формул (1), (2) рекомендуется проводить следующим образом:

    написать формулу (1) или (2) применительно к конкретным точкам рассматриваемого звена механизма. При этом в качестве полюса следует взять точку с известными кинематическими характеристиками движения;

    установить, известны или неизвестны на данном этапе решения две независимые характеристики {проекции на две оси или модуль и направляющий угол) для каждого вектора, входящего в уравнение (1) или (2). Найти значения тех независимых характеристик векторов, которые могут быть установлены из условий движения звена без решения рассматриваемого векторного уравнения;

3) решить векторное уравнение графоаналитическим или аналитическим методом (метод проекций).