Метод потенциалов для решения транспортной задачи в матричной форме. Задача оптимального распределения ресурсов

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Факультет «Экономический»

Кафедра «Экономика, финансы и управление на транспорте»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине: «ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ»

Воронеж 2008

Задача №1

Метод потенциалов для решения транспортной задачи в матричной форме с ограничениями пропускной способности.

Задание:

  1. Построить оптимальный план перевозок каменного угля с пяти станций А>i> (i = 1,2,3,4,5), до девяти крупных потребителей, имеющих подъездные пути В>j> (j = 1,2,…,9).

  2. Определить объем тонно-километровой работы начального и оптимального планов перевозки грузов.

Исходные данные (вариант 67):

Данные о наличии ресурсов на пяти станциях отправления А>i> приведены в таблице 1, данные о размерах прибытия груза В>j> на девять станций назначения – в таблице 2.

Таблица 1 - Ресурсы станций отправления А>i> (строки матрицы)

Номер станции отправления

Значение

А>1>

150

А>2>

160

А>3>

400

А>4>

150

А>5>

140

Итого:

1000

Таблица 2 - Объем потребности В>j> получателя (столбцы матрицы)

Номер станции назначения

Значение

В>1>

135

В>2>

105

В>3>

95

В>4>

115

В>5>

85

В>6>

105

В>7>

90

В>8>

135

В>9>

135

Итого:

1000

Решение:

Расстояние перевозки от каждой i–й станции отправления до каждой j–й станции назначения указано в правом верхнем углу каждой клетки матрицы. В левом верхнем углу ряда клеток матрицы указаны ограничения пропускной способности.

Условием задачи установлено, что размер всех ресурсов у отправителей равен общей потребности получателей:

С учетом полученных условий необходимо найти такие неотрицательные значения величин объемов перевозок х>ij>, при которых сумма произведений значений критерия С>ij> на размер перевозок будет минимальной, т.е.

Первоначально строится начальный план базисного варианта способом наименьшего значения критерия.

Любой допустимый план является оптимальным тогда и только тогда, когда каждой строке и каждому столбцу матрицы могут быть присвоены некоторые числа U>i> и V>j>, называемые потенциалами и отвечающие условиям:

V>j> – U>i> ≤ C>ij> для х>ij> = 0; (1)

V>j> – U>i> = C>ij> для d>ij> > х>ij>> >> 0; (2)

V>j> – U>i> ≥ C>ij> для х>ij> = d>ij>; (3)

где V>j> – потенциал j–го столбца;

U>i> – потенциал i–й строки;

C>ij> – расстояние перевозки от i–го поставщика до j–го потребителя;

х>ij>> >– корреспонденция (размеры перевозок) от i–го поставщика до j–го потребителя;

d>ij> – величина пропускной способности ij клетки.

Присвоение потенциалов начинают со строки, в которой среди базисных клеток имеется максимальное расстояние. Этой строке можно присвоить любой положительный потенциал, например, 100. Затем, используя условие оптимальности (2), находят потенциалы остальных строк и столбцов по формулам:

для j–го столбца

V>j> = U>i> + C>ij>;

для i–й строки

U>i> = V>j> – C>ij>.

Корреспонденция улучшения плана находится из следующего выражения:

х>ул> = min [х>ij>> четн>, (d>ij> – х>ij>)>нечетн>]

В>j>

А>i>

В1=135

В2=105

В3=95

В4=115

В5=85

В6=105

В7=90

В8=135

В9=135

U>i>

– 90

30

100

110

150

30 50

+ 60

80

90

 

А1=150

45

 

 

 

 

30

75

 

 

100

х

 

 

1+40

 

 

х

 

 

 

+ 10

40

45

50

– 25

70

30 15

30

10 30

 

А2=160

80

 

 

 

80

 

 

 

180

х

 

 

1+20

х

1+10

 

 

 

 

10 20

35

80

160

90

+ 80

– 70

40

60

 

А3=400

10

105

 

 

 

●

15

135

135

90

 

х

1+20

 

1+25

1+90

х

х

х

 

50

5

40

30

120

40

75

30

40 20

 

А4=150

 

 

 

95

 

55

 

 

 

220

 

 

 

х

 

х

 

 

 

 

15

15 25

10

20 35

+ 25

– 80

20

70

90

 

А5=140

 

 

95

20

5

20

 

 

 

180

 

 

х

 

х

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V>j>

190

125

190

250

205

260

160

130

150

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(х) = 45·90 + 30·50 + 75·60 + 80·10 + 80·25 + 10·20 + 105·35 + 15·70 + 135·40 + 135·60 + 95·30 + 55·40 + 95·10 + 20·35 + 5·25 + 20·80 = 39700 ден. ед.

80 – 70 + 60 – 90 + 10 – 25 + 25 – 80 = – 90 < 0 – цикл подходит

r = {15; 45; 80; 20} =15

 

В>j>

А>i>

В1=135

В2=105

В3=95

В4=115

В5=85

В6=105

В7=90

В8=135

В9=135

U>i>

 

– 90

+ 30

100

110

150

30 50

60

80

90

 

А1=150

30

●

 

 

 

30

90

 

 

100

х

1+85

 

1+40

 

 

х

1+40

1+50

 

+10

40

45

50

– 25

70

30 15

30

10 30

 

А2=160

95

 

 

 

65

 

 

 

 

180

х

 

 

1+20

х

1+10

 

1+10

 

 

10 20

– 35

80

160

90

+ 80

70

40

60

 

А3=400

10

105

 

 

 

15

 

135

135

180

 

х

 

 

 

х

 

х

х

 

50

5

40

30

120

40

75

30

40 20

 

А4=150

 

 

 

95

 

55

 

 

 

220

 

 

 

х

 

х

 

 

 

 

15

15 25

10

20 35

+ 25

– 80

20

70

90

 

А5=140

 

 

95

20

20

5

 

 

 

180

 

 

х

 

х

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V>j>

190

215

190

250

205

260

160

220

240

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(х) = 39700 – 90·15 = 38350 ден.ед.

30 – 90 + 10 – 25 + 25 – 80 + 80 – 35 = – 85 < 0 – цикл подходит

r = {30; 65; 5; 105} = 5

 

В>j>

А>i>

В1=135

В2=105

В3=95

В4=115

В5=85

В6=105

В7=90

В8=135

В9=135

U>i>

 

– 90

+ 30

100

110

150

30 50

60

80

90

 

А1=150

25

5

 

 

 

30

90

 

 

100

 

х

х

 

 

 

х

 

 

 

 

+ 10

40

45

50

– 25

70

30 15

30

10 30

 

А2=160

100

 

 

 

60

 

 

 

 

180

 

х

 

 

 

х

 

 

 

 

 

 

10 20

– 35

80

160

+ 90

80

70

40

60

 

А3=400

10

100

 

 

●

20

 

135

135

95

 

 

х

1+15

 

1+20

х

 

х

х

 

 

50

5

40

30

120

40

75

30

40 20

 

А4=150

 

 

 

95

 

55

 

 

 

135

 

1+5

 

1+15

х

 

х

 

 

 

 

 

15

15 25

10

20 35

25

80

20

70

90

 

А5=140

 

 

95

20

25

 

 

 

 

180

 

 

 

х

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V>j>

190

130

190

165

205

175

160

135

155

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(х) = 38350 – 85·5 = 37925 ден.ед.

90 – 25 + 10 – 90 + 30 – 35 = – 20 < 0 – цикл подходит

r = {60; 25; 100} = 25

 

В>j>

А>i>

В1=135

В2=105

В3=95

В4=115

В5=85

В6=105

В7=90

В8=135

В9=135

U>i>

 

90

30

100

110

150

30 50

60

80

90

 

А1=150

 

30

 

 

 

30

90

 

 

105

 

х

 

 

 

 

х

 

 

 

10

40

45

50

25

70

30 15

30

10 30

 

А2=160

125

 

 

 

35

 

 

 

 

165

х

 

 

 

х

 

 

 

 

 

10 20

35

80

160

90

80

70

40

60

 

А3=400

10

75

 

 

25

20

 

135

135

100

 

х

 

 

х

х

 

х

х

 

50

5

40

30

120

40

75

30

40 20

 

А4=150

 

 

 

95

 

55

 

 

 

140

 

 

 

х

 

х

 

 

 

 

15

15 25

10

20 35

25

80

20

70

90

 

А5=140

 

 

95

20

25

 

 

 

 

165

 

 

х

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V>j>

175

135

175

170

190

180

165

140

160

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

План оптимальный.

F(х) = 37925 – 20·25 = 37425 ден.ед.

Ответ: F(х)>нач.> = 39700 ден.ед.; F(х)>опт.> = 37425 ден.ед.

Задача №2

Графический метод решения задачи оптимизации производственных процессов

Задание: Решить задачу линейного программирования графическим методом. Исходные данные (вариант 7):

Целевая функция: f(x) = x>1> + 2x>2> → max,

Ограничения: –x>1> – x>2> ≥ –1, x>1>– 2x>2 >≤ 1.

Решение:

–х>1 >– х>2 >≥ –1

х>1> – 2х>2> ≤ 1 (–1)

х>1 >≥ 0; х>2> ≥ 0

х>1 >+ х>2 >≤ 1

2х>2 >– х>1> ≥ 1

х>1 >+ х>2 >= 1

х>1 >= 1 – х>2 >

Если х>1 >= 0, то х>2 >= 1;

если х>2 >= 0, то х>1 >= 1.

х>1> – 2х>2> = 1

х>1 >= 1 + 2х>2>

Если х>1 >= 0, то х>2 >= –1/2;

если х>2 >= 0, то х>1 >= 1.

Строим прямые уравнений ограничений и находим область допустимых решений (рис. 1).

х>2> ≤ – х>1> +1 – нижняя полуплоскость;

2х>2> ≥ х>1> –1 – верхняя полуплоскость.

Рис. 1 - Решением системы неравенств является т. С (0;1)

Ответ: х>1>= 0

х>2> = 1

Задача №3

Применение симплекс-алгоритма для решения экономической оптимизированной задачи управления производством.

Исходные данные (вариант 7):

Целевая функция: f(x) = x>1> + 2x>2> –3х>3> → max.

Ограничения: x>1> + x>2> + х>3> = 25,

2x>1 >– 3x>2 >+ 3х>3> ≥ 10;

x>1 >– 3x>2 >+ 4х>3> ≤ 30.

Решение:

Т.к. дана задача на максимизацию целевой функции f, то она сводится к задаче на минимизацию функции –f.

Введем функцию q = –f = –x>1> – 2x>2> +3х>3>

От ограничений неравенств переходим к ограничениям-равенствам, введя новые переменные х>4> и х>5>:

х>4 >= 2x>1 >– 3x>2 >+ 3х>3> – 10; х>5> = –x>1 >+ 3x>2 >– 4х>3> + 30.

Получим следующую основную задачу линейного программирования:


x>1> + x>2> + х>3> = 25

х>4 >= 2x>1 >– 3x>2 >+ 3х>3> – 10

х>5> = –x>1 >+ 3x>2 >– 4х>3> + 30

q = –x>1> – 2x>2> +3х>3> → min

Выразим из 1-го уравнения х>1> через другие неизвестные и подставим это его выражение в другие уравнения, а также в уравнение для функции q. Получим:

x>1> = –x>2> – х>3> + 25

х>4 >= –2x>2 >– 2x>3 >+ 50 –3х>2> + 3х>3 >– 10

х>5> = х>2 >+ x>3 >– 25 + 3х>2> – 4x>3 >+ 30

q = x>2> + х>3> – 25 + 2х>2> + 3x>3 >

x>1> = –x>2> – х>3> + 25 (1)

х>4 >= –5x>2 >+ х>3 >+ 40 (2)

х>5> = 4х>2 >– 3x>3 >+ 5 (3)

q = –x>2> + 4х>3> – 25 (4)

Выразим х>2> из второго ограничения и подставим его выражение в первое и третье ограничения, а также в выражение для целевой функции:

5x>2> = х>3 >– х>4 >+ 40

х>2> = 0,2х>3> – 0,2х>4 >+ 8

x>1> = –0,2x>3> + 0,2х>4> – 8 –x>3 >+ 25

х>2> = 0,2х>3> – 0,2х>4 >+ 8

х>5> = 0,8х>3 >– 0,8x>4 >+ 32 –3x>3 >+ 5

q = –0,2x>3> + 0,2х>4> – 8 + 4х>3> – 25

x>1> = –1,2x>3> + 0,2х>4 >+ 17

х>2> = 0,2х>3> – 0,2х>4 >+ 8

х>5> = –2,2х>3 >– 0,8x>4 >+ 37

q = 3,8x>3> + 0,2х>4> – 33

В выражении для функции q оба неизвестных входят со знаком «+». Поэтому можно утверждать, что найден оптимальный план: х>3> = х>4> = 0. Подставив эти значения в последнюю систему ограничений, получим и остальные неизвестные:

х>1> = 17; х>2> = 8; х>5> = 37;

Оптимальное значение функции q = – 33, следовательно

f(x) = 33 млрд.руб.

Ответ: f(x) = 33 млрд.руб.

Задача №4

Метод динамического программирования для выбора оптимального профиля пути.

Задание:

Требуется найти оптимальную трассу участка железнодорожного пути между пунктами А и В, из которых второй лежит к северо-востоку от первого. Местность, по которой пройдет магистраль, является пересеченной и включает лесистые зоны, холмы, болота, реку. Поэтому стоимость строительства равных по длине участков пути может быть различной. Требуется так провести дорогу из А в В, чтобы суммарные затраты на сооружение участка были минимальны.

План прокладки пути разобьем на ряд возможных шагов, на каждом из которых стоимость строительства известна. Каждый шаг строительства является прокладкой пути между двумя рядом расположенными узлами. Все узлы пронумерованы, и в соответствии с номером варианта дана стоимость сооружения элемента пути между узлами.

Исходные данные – (вариант 67).

Решение:

Задачу решаем методом динамического программирования, последовательно двигаясь от конца трассы к ее началу, при этом на каждом шаге процесса выбирая то направление трассы, которое дает меньшую стоимость ее строительства от рассматриваемого пункта до пункта В (рис. 2).

Рис. 2

Ответ: Минимальные затраты на сооружение участка А – В составят W = 131 ден.ед.

Задача №5

Задача оптимального распределения ресурсов.

Задание (вариант 67):

Предприятие имеет свободных К млрд. руб. средств, которые оно может вложить в пять различных производственных программ. При этом прибыль от каждой из программ зависит от объема инвестиций. Эти зависимости f>i> известны и имеют следующий вид:

f(х) = bx – ax2

и конкретно:

f>1>(х>1>) = 0,18x>1> – 0,05x>1>2;

f>2>(х>2>) = 0,16x>2> – 0,04x>2>2;

f>3>(х>3>) = 0,14x>3> – 0,02x>3>2;

f>4>(х>4>) = 0,12x>4> – 0,02x>4>2;

f>5>(х>5>) = 0,1x>5> – 0,01x>5>2 млрд.руб.

где х>1>, х>2>, х>3>, х>4>, х>5> – инвестиции в программы, млрд.руб. Их общий объем равен К = 8,5 млрд.руб.

Требуется найти неотрицательные объемы инвестиций х>1>, х>2>, х>3>, х>4>, х>5> соответствующие наибольшей общей прибыли

П = f>1>(х>1>) + f>2>(х>2>) + f>3>(х>3>) + f>4>(х>4>) + f>5>(х>5>).

Решение:

Возможны следующие варианты:

  1. Все средства передаются первой программе;

  2. Средства распределяются между первой и второй программами;

  3. Средства распределяются между первой, второй и третьей программами;

  4. Средства распределяются между первой, второй, третьей и четвертой программами;

  5. Средства распределяются между первой, второй, третьей, четвертой и пятой программами.

Рассмотрим все 5 вариантов.

  1. К>1 >= х>1> = 8,5

П>1> = f>1>(х>1>) = 0,18 8,5 – 0,05 8,52 = – 2,08 млрд.руб. < 0, следов–но убыток.

  1. К>2 >= х>1> + х>2>

П>2> = f>1>(х>1>) + f>2>(х>2>)

0,18 – 2 0,05х>1> = 0,16 – 2 0,04х>2>

х>1> + х>2> = 8,5

0,1х>1> – 0,08х>2> = 0,02

х>1> = 8,5 – х>2>

0,1 (8,5 – х>2>) – 0,08х>2> = 0,02

0,85 – 0,1х>2> – 0,08х>2> = 0,02

0,85 – 0,18х>2> = 0,02

0,18х>2> = 0,83

х>2> = 4,61

х>1> = 8,5 – 4,61 = 3,89

П>2> = 0,18 · 3,89 – 0,05 3,892 + 0,16 4,61 – 0,04 4,612 = 0,7 – 0,757 + 0,738 – 0,85 = – 0,169 млрд.руб. < 0, следов–но убыток.

  1. К>3 >= х>1> + х>2> + х>3>

П>3> = f>1>(х>1>) + f>2>(х>2>) + f>3>(х>3>)

0,18 – 0,1х>1> = 0,16 – 0,08х>2>

0,16 – 0,08х>2> = 0,14 – 2 · 0,02х>3>

х>1> + х>2> + х>3> = 8,5

0,18 – 0,1х>1> = 0,16 – 0,08х>2>

0,16 – 0,08х>2> = 0,14 – 0,04х>3>

х>1> + х>2> + х>3> = 8,5

0,1х>1> – 0,08х>2 >= 0,18 – 0,16 · 50

0,08х>2> – 0,04х>3 >= 0,16 – 0,14

х>1> + х>2> + х>3> = 8,5

5х>1> – 4х>2> = 1 (1)

4х>2> – 2х>3> = 1 (2)

х>1> + х>2> + х>3> = 8,5 (3)

Из 2 – го ур – ия: х>3> = 2х>2> – 0,5

5х>1> – 4х>2> = 1

х>1> + х>2> + 2х>2> – 0,5 = 8,5

5х>1> – 4х>2> = 1 (1)

х>1> + 3х>2> = 9 (2)

Из 2 – го ур – ия: х>1> = 9 – 3х>2>

5 (9 – 3х>2>) – 4х>2> = 1

45 – 15х>2> – 4х>2> = 1

19х>2> = 44

х>1> = 9 – 3 · 2,316 = 2,052

х>3> = 2 · 2,316 – 0,5 = 4,132

П>3> = 0,18 · 2,052 – 0,05 · 2,0522 + 0,16 · 2,316 – 0,04 · 2,3162 + 0,14 · 4,132 – 0,02 · 4,1322 = 0,369 – 0,21 + 0,37 – 0,215 + 0,578 – 0,34 = 0,552 млрд.руб.

  1. К>4 >= х>1> + х>2> + х>3> + х>4>

П>4> = f>1>(х>1>) + f>2>(х>2>) + f>3>(х>3>) + f>4>(х>4>)

0,18 – 0,1х>1> = 0,16 – 0,08х>2>

0,16 – 0,08х>2> = 0,14 – 0,04х>3>

0,14 – 0,04х>3> = 0,12 – 0,04х>4>

х>1> + х>2> + х>3> + х>4 >= 8,5

0,1х>1> – 0,08х>2 >= 0,18 – 0,16

0,08х>2> – 0,04х>3 >= 0,16 – 0,14 · 50

0,04х>3> – 0,04х>4 >= 0,14 – 0,12

х>1> + х>2> + х>3> + х>4 >= 8,5

5х>1> – 4х>2> = 1 (1)

4х>2> – 2х>3> = 1 (2)

2х>3> – 2х>4> = 1 (3)

х>1> + х>2> + х>3> +х>4 >= 8,5 (4)

Из 3 – го ур – ия: х>4> = х>3> – 0,5

5х>1> – 4х>2> = 1

4х>2> – 2х>3> = 1

х>1> + х>2> + х>3> + х>3> – 0,5 = 8,5

5х>1> – 4х>2> = 1 (1)

4х>2> – 2х>3> = 1 (2)

х>1> + х>2> + 2х>3> = 9 (3)

Из 2 – го ур – ия: х>3> = 2х>2> – 1

5х>1> – 4х>2> = 1

х>1> + х>2> + 2 (2х>2> – 1) = 9

5х>1> – 4х>2> = 1

х>1> + х>2> + 4х>2> – 2 = 9

5х>1> – 4х>2> = 1 (1)

х>1> + 5х>2> = 11 (2)

Из 2 – го ур – ия: х>1> = 11 – 5х>2>

5 (11 – 5х>2>) – 4х>2> = 1

55 – 25х>2> – 4х>2> =1

29х>2> = 54

х>2> = 1,862

х>1> = 11 – 5 1,862 = 1,69

х>3> = 2 · 1,862 – 1 = 2,724

х>4> = 2,724 – 0,5 = 2,224

П>4> = 0,18 1,69 – 0,05 1,692 + 0,16 1,862 – 0,04 1,8622 + 0,14 2,724 – 0,02·2,7242 + 0,12 2,224 – 0,02 2,2242 = 0,3 – 0,143 + 0,298 – 0,139 + 0,381 – 0,148 + 0,267 – 0,1 = 0,716 млрд.руб.

  1. К>5 >= х>1> + х>2> + х>3> + х>4> +х>5>

П>5> = f>1>(х>1>) + f>2>(х>2>) + f>3>(х>3>) + f>4>(х>4>) + f>5>(х>5>)

0,18 – 0,1х>1> = 0,16 – 0,08х>2>

0,16 – 0,08х>2> = 0,14 – 0,04х>3>

0,14 – 0,04х>3> = 0,12 – 0,04х>4>

0,12 – 0,04х>4> = 0,1 – 0,02х>5>

х>1> + х>2> + х>3> + х>4 >+ х>5 >= 8,5

0,1х>1> – 0,08х>2 >= 0,18 – 0,16

0,08х>2> – 0,04х>3 >= 0,16 – 0,14

0,04х>3> – 0,04х>4 >= 0,14 – 0,12

0,04х>4> – 0,02х>5 >= 0,12 – 0,1

х>1> + х>2> + х>3> + х>4 >+ х>5 >= 8,5

0,1х>1> – 0,08х>2 >= 0,02

0,08х>2> – 0,04х>3 >= 0,02 50

0,04х>3> – 0,04х>4 >= 0,02

0,04х>4> – 0,02х>5 >= 0,02

х>1> + х>2> + х>3> + х>4 >+ х>5 >= 8,5

5х>1> – 4х>2> = 1 (1)

4х>2> – 2х>3> = 1 (2)

2х>3> – 2х>4> = 1 (3)

2х>4> – х>5> = 1 (4)

х>1> + х>2> + х>3> +х>4 >+ х>5 >= 8,5 (5)

Из 4 – го ур – ия: х>5 >= 2х>4> – 1

5х>1> – 4х>2> = 1

4х>2> – 2х>3> = 1

2х>3> – 2х>4> = 1

х>1> + х>2> + х>3> +х>4 >+ 2х>4> – 1> >= 8,5

5х>1> – 4х>2> = 1 (1)

4х>2> – 2х>3> = 1 (2)

2х>3> – 2х>4> = 1 (3)

х>1> + х>2> + х>3> + 3х>4 >= 9,5 (4)

Из 3 – го ур – ия: х>4> = х>3> – 0,5

5х>1> – 4х>2> = 1

4х>2> – 2х>3> = 1

х>1> + х>2> + х>3> + 3 (х>3> – 0,5) = 9,5

5х>1> – 4х>2> = 1

4х>2> – 2х>3> = 1

х>1> + х>2> + 4х>3> – 1,5 = 9,5

5х>1> – 4х>2> = 1 (1)

4х>2> – 2х>3> = 1 (2)

х>1> + х>2> + 4х>3> = 11 (3)

Из 2 – го ур – ия: х>3> = 2х>2> – 0,5

5х>1> – 4х>2> = 1

х>1> + х>2> + 4 (2х>2> – 0,5) = 11

5х>1> – 4х>2> = 1

х>1> + х>2> + 8х>2> – 2 = 11

5х>1> – 4х>2> = 1 (1)

х>1> + 9х>2> = 13 (2)

Из 2 – го ур – ия: х>1> = 13 – 9х>2>

5 (13 – 9х>2>) – 4х>2> = 1

65 – 45х>2> – 4х>2> = 1

49х>2> = 64

х>2> = 1,306

х>1> = 13 – 9 1,306 = 1,246

х>3> = 2 1,306 – 0,5 = 2,112

х>4> = 2,112 – 0,5 = 1,612

х>5 >= 2 · 1,612 – 1 = 2,224

П>5> = 0,18 1,246 – 0,05 1,2462 + 0,16 1,306 – 0,04 1,3062 + 0,14 2,112 – 0,02 2,1122 + 0,12 1,612 – 0,02 1,6122 + 0,1 2,224 – 0,01 2,2242 = 0,224 – 0,078 + 0,209 – 0,068 + 0,296 – 0,089 + 0,193 – 0,052 + 0,222 – 0,049 = 0,808 млрд.руб.

Ответ: Максимальное значение прибыли П>5> = 0,808 млрд. руб.

Распределение инвестиций: х>1> = 1,246 млрд. руб.

х>2> = 1,306 млрд. руб.

х>3> = 2,112 млрд. руб.

х>4> = 1,612 млрд. руб.

х>5 >= 2,224 млрд. руб.

Задача №6

Метод экспертных оценок для отбора кандидата из кадрового резерва на должность руководителя.

Задание:

Требуется методом экспертного ранжирования из группы кадрового, включающего в себя семь кандидатов, отобрать наиболее достойного, по мнению коллектива, из 10 экспертов.

После коллективного ранжирования экспертами степени подготовленности и личностных свойств всех представителей группы кадрового резерва и выбора лучшего из них определить степень согласованности мнений группы экспертов.

Исходные данные (вариант 67):

Каждый Э>j> эксперт оценивает степень подготовленности каждого члена группы кадрового резерва, сопоставив ему целое число – его ранг k>ij>, т.е. номер члена группы в порядке убывания оценки степени подготовленности. Первый ранг имеет тот, кто, по мнению эксперта, подготовлен лучше других, второй – менее подготовлен, но лучший из оставшихся.

Принято, что эксперты отличаются уровнем компетентности, которую можно оценить вероятностью получения экспертом достоверной оценки. Тогда каждый эксперт получает весовой коэффициент, значение которого лежит в пределах 0 < а>j> ≤ 1 для Э – го эксперта.

Решение:

Для решения задачи составим матрицу мнений экспертов в виде таблицы 1.

В таблице 1 по каждому Э>j> столбцу х>i> числу из группы резерва присваивается k>ij> ранг – целое число от 1 до n.

Получаем матрицу мнений экспертов размерностью N·n, в которой сумма элементов любого столбца равна

Наиболее подготовленного кандидата из группы на основе коллективной оценки выбирают после расчета среднего ранга для каждого из кандидатов:

,

На первом месте будет кандидат, имеющий минимальный ранг, что будет соответствовать усредненному мнению коллектива из N экспертов.

Если мнения экспертов сильно расходятся, то необходимо ввести процент достоверности, т.е. согласованности экспертов. Согласованность экспертов определяется степенью рассеянности средних рангов .

Степень рассеяния определяется с помощью дисперсии средних рангов:

,

;

М(k) – математическое ожидание среднего ранга.

В таблице для краткости обозначений принято:

Таблица 1 - Расчет коэффициента согласованности

Номер члена группы

Оценка эксперта

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

4

3

4

4

2

5

4

1

3

7

3,72

3,70

0,09

2

7

7

5

7

1

6

7

7

4

5

5,59

5,60

2,56

3

5

4

3

3

5

3

3

3

7

2

3,78

3,80

0,04

4

3

6

7

6

3

7

6

6

6

3

5,21

5,30

1,69

5

6

1

2

1

4

2

2

2

1

4

2,63

2,50

2,25

6

2

3

6

5

6

4

5

5

5

1

4,06

4,20

0,04

7

1

2

1

2

7

1

1

4

2

6

2,81

2,70

1,69

Уровень компетентности а>i>

0,9

0,8

0,7

0,6

0,8

0,9

0,6

0,9

0,7

0,9

7,8

 

8,36

При полном совпадении мнений экспертов дисперсия имеет максимальное значение:

Критерий согласованности экспертов представляется в виде отношения:

,

Ответ: Выбран кандидат №5, имеющий минимальный ранг.

Мнение экспертов согласовано не очень хорошо (лишь на 30%).

Задача №7

Метод экстраполяции динамического ряда.

Задание:

Установить параметры линейной однофакторной модели расчета потребности в трудовых ресурсах, которые потребуются при росте использования оборудования за установленный период времени до 90% его мощности.

Исходные данные (вариант 7):

Временной ряд роста численности обслуживающего персонала установленного оборудования:

t>1> = 2

t>9> = 25

t>2> = 6

t>10> = 27

t>3> = 10

t>11> = 29

t>4> = 12

t>12> = 30

t>5> = 13

t>13> = 34

t>6> = 17

t>14> = 35

t>7> = 21

t>15> = 38

t>8> = 22

Решение:

Экстраполяция динамического ряда производится по уравнению прямой:

y = a + bt,

где y – необходимое количество рабочих;

t – порядковый номер динамического ряда;

a, b – параметры уравнения.

Задача состоит в определении уровня динамического ряда за пределами взятого базисного периода через определение значений параметров уравнения (a, b). Базисный период принимается по исходным данным, t>баз >= 15.

Параметры модели определяются из соотношений:

; ;

;

,

где N – число мест базисного периода, N = 15.

Таблица 1 - Характеристики для расчета параметров линейной модели прогноза численности трудовых ресурсов

t>i>

y>i>

 

y>i>·t>i>

1

2

1

2

2

6

4

12

3

10

9

30

4

12

16

48

5

13

25

65

6

17

36

102

7

21

49

147

8

22

64

176

9

25

81

225

10

27

100

270

11

29

121

319

12

30

144

360

13

34

169

442

14

35

196

490

15

38

225

570

120

321

1240

3258

;

а = 21,4 – 2,464 8 = 1,688

Тогда

y = 1,688 + 2,464 t

Для N + 1 года y>N+>>1> = 41,112.

Ответ: y = 1,688 + 2,464 t

Список использованной литературы

    1. Экономико-математическое моделирование. Учеб. для ВУЗов / Под ред. А.Д. Дрогобыцкого. – М.: Экзамен, 2004.

    2. Карпелович Ф.И., Садовский Л.Е. Элементы линейной алгебры и линейного программирования. – М.: Физматгиз, 1963.

    3. Нестеров Е.П. Транспортные задачи линейного программирования. – М.: Транспорт, 1971.