Плоская задача теории упругости
Нижегородский государственный
архитектурно-строительный университет.
Кафедра сопротивления материалов и теории упругости.
Расчетно-проектировочная работа
Плоская задача теории упругости
Выполнил: Студент гр. 163 А.В.Троханов
Проверила: Т.П. Виноградова
Н.Новгород 2002 г.
Из тела находящегося в плоском напряженном состоянии, выделена пластина, толщина которой 1 см, размеры в плане 20х20 см.
Схема закрепления пластины.
Задаваясь функцией напряжений, общий вид которой
Ф (х,у)=а>1>х3у+а>2>х3+а>3>х2у+а>4>х2+а>5>ху+а>6>у2+а>7>ху2+а>8>у3+а>9>ху3
Принять два коэффициента функции согласно таблиц 1 и 2, остальные шесть коэффициентов принять равными нулю. В этих же таблицах даны значения модуля упругости Е и коэффициента Пуассона для материала пластины.
Найти общие выражения для напряжений >х>, >у>, >ху> (объемные силы не учитывать) и построить эпюры этих напряжений для контура пластины.
Определить выражения для перемещений U и V. Показать графически(на миллиметровке) перемещение пластины в результате деформирования, определив компоненты перемещений U и V в девяти точках, указанных на схеме. Для наглядности изображения для перемещений выбрать более крупный масштаб, чем масштаб длин. Значение U и V свести в таблицу.
Расчет.
Дано: а>3>=1/3, а>4>= 1
Е=0,69*106 кг/см2
=0,33
Решение:
1.Проверим, удовлетворяет ли функция напряжений бигармоническому уравнению.
Ф(х,у)=
Поскольку производные
-бигармоническое уравнение удовлетворяется.
2.Определяем компоненты по формулам Эри, принимая объемные силы равными нулю.
>х>=
>у>=
>ху>=
3.Строим эпюры напряжений для контура пластины согласно полученным аналитическим напряжениям.
4.Проверяем равновесие пластины
Уравненения равновесия:
х=0 -Т>5>+Т>6>=0 > 0=0
y=0 Т>4>+Т>3>+Т>2>-Т>1>-N>2>+N>1>=0 > 0=0
M=0 M (T>4>T>3>)=-M(T>2>T>1>) > 0=0
удовлетворяется, т.е. пластина находится в равновесии.
5.Для точки А с координатами (5,-5) найти величины главных напряжений и положение главных осей для точки А.
В этой точке напряжения в основных площадках. >х>=0, >у>=-1,33, >ху>=3,33,
Найдем главное напряжение по формуле:
=-0,6653,396
кгс/см2
>max>=>I>=2,731 МПа
>min>=>II>= -4,061 МПа
Находим направление главных осей.
>I>=39,36o
>II>=-50,64o
6.Определяем компоненты деформации
7.Находим компоненты перемещений
Интегрируем полученные выражения
(у), (х) –некоторые функции интегрирования
или
После интегрирования получим
где с>1> и с>2> – постоянные интегрирования
С учетом получения выражений для (у) и (х) компоненты перемещений имеет вид
Постоянные с>1>, с>2>, и с определяем из условий закрепления пластины:
1
)
v
=0 или
2
)
v =0 или
3)
u =0 или
Окончательные выражения для функций перемещений u и v
Покажем деформированное состояние пластины определив для этого перемещение в 9-ти точках.
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
||
|
координаты |
Х(см) |
-10 |
0 |
10 |
10 |
10 |
0 |
-10 |
-10 |
0 |
|
У(см) |
10 |
10 |
10 |
0 |
-10 |
-10 |
-10 |
0 |
0 |
|
|
V*10-4 |
3,8 |
0,77 |
0,58 |
-0,19 |
0 |
0,19 |
3,2 |
3,1 |
0 |
|
|
U*10-4 |
-3,1 |
-3,5 |
-3,9 |
-1,9 |
0 |
-0,23 |
-0,45 |
-1,8 |
-1,9 |
Масштаб
длин: в 1см – 2см
перемещений: в 1см - 1*10-4см