Статистические методы оценки прочности пластмасс

Введение

Тема реферата «Статистические методы оценки прочности пластмасс».

Прочность пластических масс и изделий из них определяется максимальной нагрузкой или максимальным напряжением, которые образец или изделие могут выдержать без разрушения. Прочность зависит от вида пластмассы и определяется путем специальных физико-механических испытаний. Однако в отличие от традиционных конструкционных материалов испытания пластмасс дают дополнительный разброс показателей. Он объясняется суще6ствованием двух видов погрешностей: 1) систематических и 2) случайных. Систематические погрешности можно выделить и учесть при оценке прочности, так как их существование связано с малой точностью используемых методик и приборов. Случайные погрешности учесть очень трудно, так как нельзя предусмотреть заранее, в каком месте образца или изделия появится слабое место. Случайные погрешности возникают вследствие нерегулярного строения, неоднородности, наличия ослабленных мест и дефектов в структуре. Такие ослабления вызывают неравномерность распределения напряжений, концентрацию напряжений на микродефектах, что ведет к возникновению очага разрушения и последующему разрыву.

Случайные погрешности учитываются с помощью закономерностей теории вероятности. Экспериментальные данные принимают как случайные величины, т.е. такие величины, которые могут принимать те или иные значения в зависимости от причин, не учитываемых заранее. Для оценки ряда результатов испытаний одного и того же материала используется статистическая обработка данных. Полученные статистические характеристики позволяют сделать правильное суждение о полученных данных.

1. Статистические характеристики

  1. Среднее арифметическое значение случайной величины:

x = (x>1>+x>2>+x>3>+۰۰۰+x>n>) = (Σ x>i>) / n,

где n – количество наблюдений в выборке.

    Эмпирическое среднеквадратическое отклонение:

S>n> = √ Σ(x>i> – x)2 / (n-1)

Берется только положительное значение.

    Дисперсия:

D>n> = S>n>2 = Σ(x>i> – x)2 / (n-1)

Если n > 50, то (n-1) можно заменить на n.

    Доверительный интервал:

‌ x – x ‌ ≤ S>n> / √n ∙t>α>>(>>n>>)>,

где х – среднее значение величины для бесконечно большого числа измерений (генеральной совокупности);

t>α>>(>>n>>)> – коэффициент Стьюдента, значения которого выбираются из таблиц в зависимости от числа наблюдений n и доверительной вероятности α.

    Коэффициент вариации:

ν>х> = S>n>> >/х · 100% или ν>х> = S>n>> >/х

2. Оценка прочности пластмасс с помощью вероятности разрушения по Серенсену

Основными условиями обеспечения прочности любого материала являются:

По напряжениям n = σ>раз>/σ>max>> экв> ≥ [n]

По нагрузкам n = R/Q ≥ [n],

где n – запас прочности;

σ>раз> – разрушающее напряжение;

σ>max>>экв> – максимальное эквивалентное действующее напряжение;

R – разрушающая нагрузка;

Q – действующая нагрузка;

[n] – допускаемый запас прочности.

В основе оценки лежат:

1) статистическая природа прочности пластмассы;

2) возможность вероятностного распределения действующих нагрузок и напряжений.

Это позволяет построить графики плотностей вероятности распределения Р(х) по действующему напряжению σ и пределу прочности σ>в>. При этом запас статистической прочности будет равен:

n = σ>в> / σ>max>.

Считаем, что σ>в> и σ>max> известны. В точке А кривые распределения нагружающих и разрушающих напряжений пересекаются и, если одновременно σ > σ>А> и σ>в> < σ>А>, возможно разрушение.

Вероятность разрушения по Серенсену в предположении независимости событий:

Р>раз> = Р (σ > σ>А>)·Р(σ>в> < σ>А>) = S,

где S – площадь заштрихованного участка.

Вероятность того, что случайная величина σ>А> будет меньше заданного значения σ, равна:

Р (σ > σ>А>) = ½ + Ф[(σ>А> – σ) / S>д>],

где Ф – табулированная функция Лапласа;

S>д> – среднее квадратическое отклонение действующего напряжения.

Табулированная функция Лапласа равна:

>2>

Ф[(σ>А> – σ)·/S>д>] = 1/√2π · ∫е-1/2 ξ ·dξ

где ξ = (σ>А>-σ>ср>) / S>д>; dξ = dσ>А> / S>д>

Вероятность того, что случайная величина σ>А> будет больше заданного значения σ>в>, равна:

Р(σ>в> < σ>А>) = ½ – Ф[(σ>А> – σ>в ср>) / S>в>],

где S>в> – среднее квадратическое отклонение разрушающего напряжения.

В предположении того, что закон распределения случайных величин нормальный, можно записать:

Р>раз> = {½ + Ф[(σ>А> – σ)/S>д>]}· {½ – Ф[(σ>А> – σ>в ср>)/S>в>]}

Плотность распределения при нормальном законе распределения равна:

>2> >2>

Р(х) = 1/(S·√2π)· e – (x-xср) /2S

Для точки А величина σ может быть найдена из равенства:

>2 2 2 2>

1/S>д>·e-(σА-σср) / 2Sд = 1/S>в>·e-(σА-σвср) / 2Sв

или Z>д>2 – Z>в>2 = -2 ln(S>д>/S>в>),

где Z>д> = (σ>А>-σ>ср>) / S>д>; Z>в> = (σ>А>-σ>вср>) / S>в>.

Величины Z>д> и Z>в> называются нормированными отклонениями.

Последнее уравнение решается относительно σ>А>. Затем определяется Р>раз>, представляющее условную величину. Эта величина должна сопоставляться с известными предельными значениями, которые устанавливаются экспериментально на основе опыта эксплуатации подобных конструкций.

Через Р>раз >можно найти коэффициент надежности Н:

Н = lg (1/P>раз>)

Р>раз> = 1 – Р>нер>; Р>нер> = 1 – Р>раз>

При вероятности неразрушения Р>нер,> равной 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999, соответственно Н равно 1; 2; 3; 4.

3. Статистическая оценка прочности пластмасс по нагрузкам

Тимофеев Е.И. показал, что из-за недостаточной однородности и стабильности механических свойств пластмасс расчет по средним значениям нагрузок следует вести с учетом вероятности снижения прочности вследствие релаксации и неоднородности.

Изделие считается прочным, если действующая нагрузка Q меньше разрушающей R:

R – Q > 0

Вероятность такого события определяет надежность изделия:

α = Вер [(R – Q) > 0]

Обозначим разность нагрузок через Х:

Х= R – Q

Тогда, с учетом того, что Х подчиняется нормальному закону распределения с плотностью Р(Х), среднее значение Х равно:

Х>0> = R>0> – Q>0>

Стандартное отклонение:

S>x> = √ S>R>2 + S>Q>2

Надежность:

2 2

α = Вер (Х > 0) = P(X)·dX = 1/(S·√2π)·∫e-1/2·((x-xср) / Sx ) ·dx

С учетом нормированной функции Лапласа:

α = Ф(У),

где У = X>0 >/ S>x> (У берется из таблиц в зависимости от заданной вероятности).

После подстановки уравнений и деления числителя и знаменателя на Q>0> получим:

У = (R>0>/Q>0> – 1) / √S>R>2 / Q>0>2 + S>Q>2 / Q>0>2

Введем обозначения:

n>0> = R>0> / Q>0> – средний наиболее вероятный запас прочности;

ν>R> = S>R> / R>0>; ν>Q> = S>Q> / Q>0> – коэффициенты вариации разрушающей и действующей нагрузок.

Тогда:

У = (n>0 >–1)/√ n>0>2·ν>R>2 + ν>Q>2

Для трубы при r >> h, где r – радиус, а h – толщина стенки, принимают:

ν>R>> = >√ ν>в>2 + ν>h>2

Пользуясь специальными таблицами для Ф(У), после вычисления функции У можно определить запас прочности по средним значениям нагрузок или надежность по выбранному среднему коэффициенту запаса прочности. Определение функции У позволяет также исследовать влияние на надежность величины статистического разброса разрушающих и действующих нагрузок.

Статистические методы позволяют дать оценку влияния на надежность пластмассовых изделий температур, агрессивных сред, усталости, климатических факторов и т.д.

Например, по экспериментальным данным нагрев до 60 0С приводит к снижению предела прочности при растяжении для стеклотекстолита КАСТ-В на 10%, пресс-материала АГ-4С – на 35 – 40%, пресс-материала АГ-4В – на 20%.

Если труба изготовлена из АГ-4С, и σ>в> = 9,75 МПа; σ>д> = 5,1 МПа; ν>R> = 0,095; ν>д> = 0,3, то:

n>0> = 9,75 / 5,1 = 1,91

У = (1,91 – 1) / √ 1,912·0,0952 + 0,32 = 2,5

По таблице для У = 2,5 находим α = 0,9938 или 99,38%.

При нагреве до 60 0С:

n>0> = 0,6·9,75 / 5,1 = 1,147

У = (1,147 – 1) / √ 1,1472·0,0952 + 0,32 = 0,445

По таблице для У = 0,445 находим α = 0,672 или 67,2%.

Количественная оценка надежности показывает, что такое изделие эксплуатировать нельзя.

Повышения надежности можно достичь за счет улучшения прочности материала или усовершенствования технологии изготовления изделий, приводящих к понижению коэффициента вариации ν>в>.

Из уравнения для У можно определить запас прочности:

n>0> = (1 + У·√ν>R>2 + ν>Q>2 – У2·ν>R>2·ν>Q>2) / (1 – У2·ν>R>2)

4. Оценка эксплуатационных свойств пластмасс по критерию эффективной удельной прочности

Примем за условный вес конструкции изделия вес, приходящийся на единицу длины l и единицу действующей нагрузки Q.

q´>усл >= q / (l·Q),

а за единицу прочности примем величину:

k>в> = l·R / q,

где R – разрушающая нагрузка.

Из этих уравнений выводим:

q´>усл >= n / k>в>

Условный наиболее вероятный коэффициент запаса прочности с учетом вариации поперечного сечения изделия равен:

n>0> = [1 + У·√ν>в>2 + ν>F>2 + ν>Q>2 – У2 ·ν>Q>2 ·(ν>в>2 + ν>F>2)] / [(1 – У2·(ν>в>2 + ν>F>2)]

Тогда можно записать, что средняя наиболее вероятная прочность материала равна:

k>0>>σ> = σ>в0> / γ,

где γ – удельный вес материала.

Пусть q>0усл >´= n>0> / k>0>>σ>.

После подстановок получим:

q>0>´>усл >= 1 / k>0>>σ>·[(1-У2·(ν>в>2+ν>F>2)] / [1+У·√ν>в>2+ν>F>2+ν>Q>2–У2·ν>Q>2 ·(ν>в>2+ν>F>2)]

Знаменатель этой формулы называют критерием эффективной удельной прочности материалов:


k´>0>>σ> = k>0>>σ> · [(1-У2·(ν>в>2+ν>F>2)] / [1+У·√ν>в>2+ν>F>2+ν>Q>2–У2·ν>Q>2 ·(ν>в>2+ν>F>2)]

Из уравнения видно, что k´>0>>σ> учитывает неоднородность материала (ν>в>), вариацию действующих напряжений (ν>Q>), рассеивание размеров (ν>F>) и заданную надежность α = Ф(У).

Упростив уравнение и приняв, что ν>Q> = ν>F> = 0, получим:

k´>0>>σ> = k>0>>σ> ·(1 – У· ν>в>)

Оценка конструкционных свойств пластмасс по критерию эффективной удельной прочности показывает, что пластмассы резко отличаются по степени однородности. Из реактопластов наиболее неоднородны АГ-4С, АГ-4В, из термопластов – полиамиды 6 и 66. Если же перерабатывать пластмассы при оптимальных строго регулируемых режимах, то k´>0>>σ> имеет примерно равные значения при любых степенях надежности (У = 2, 3, 4). Это свидетельствует о том, что качество изделий при этих условиях, их прочностные свойства и однородность изделий значительно улучшаются.

Заключение

В процессе написания реферата мы ознакомились со статистическими методами оценки прочности пластмасс; оценкой прочности пластмасс с помощью вероятности разрушения по Серенсену; статистической оценкой прочности пластмасс по нагрузкам и оценкой эксплуатационных свойств пластмасс по критерию эффективной удельной прочности.

Литература

    Альшиц И.Я. и др. Проектирование изделий их пластмасс. – М.: Машиностроение, 1979. – 248 с.

    Зенкин А.с. и др. Допуски и посадки в машиностроении. К.: Техніка, 1990. –320 с.

    Штейнберг Б.И. и др. Справочник молодого инженера-конструктора. – К.: Техніка, 1979. – 150 с.

    Лепетов В.А., Юрцев Л.И. Расчет и конструирование резиновых изделий. М.: Химия, 1987. – 408 с.