Сопротивление материалов при нагрузке

Вариант 37

Задача 1

Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно-неподвижную опору и прикреплен к двум стержням с равным поперечным сечением. Площадь сечения стержней А = 2∙10^-4 м². Модуль упругости материала стержней Е = 210⁵ МПа, коэффициент линейного расширения  = 1210^–6 1/град. Размеры бруса: a = 0,5 м, b = 3 м, h = 1м, с = 2 м.

Требуется:

Вычислить допускаемую нагрузку [Q], приняв большее из напряжений за допускаемое [] = 160 МПа.
Вычислить допускаемую нагрузку по предельному состоянию [Q]_>пр>.
Сравнить полученные результаты.
Вычислить монтажные напряжения в обоих стержнях, если длина второго стрежня короче номинальной на величину _>2> = 2∙10^-3 м
Вычислить напряжения в обоих стержнях, если температура первого стержня увеличится на величину t_>1> = -40С.
Вычислить напряжения в обоих стержнях от совместного действия нагрузки, неточности изготовления второго стержня и изменение температуры первого стержня.

Вычислить допускаемую нагрузку [Q], приняв большее из напряжений в стержнях за допускаемое [].

Составляем расчетную схему. Под действием силы Q стержни 1 и 2 будет растягиваться. Вследствие этого появятся внутренние силы N_>1> и N_>2>. Составим уравнение моментов относительно точки О:

При неизвестных реактивных усилиях N_>1>, N_>2>, R_>ox>, R_>oy> и трех уравнений статики (плоская система сил) заданная стержневая система является статически неопределимой, и степень статической неопределимости (ССН) определяется:

ССН = m – n,

где m – количество неизвестных реакций, n – количество уравнений. Таким образом, ССН = 4 – 3 =1, то есть для решения данной задачи необходимо составить еще одно дополнительное уравнение, называемое уравнением совместности деформаций.

Составляем уравнение совместности деформаций. Из подобия треугольников АА_>1>О и СС_>1>О имеем:

Считаем, что угловые деформации малы, поэтому изменением угла  пренебрегаем.

АА_>1>=l_>2>, , KА_>1>=l_>1>. То есть:

По закону Гука имеем:

; .

Длину первого стержня определяем по теореме Пифагора:

Подставляем значения удлинений в уравнение совместности деформаций:

Тогда, . Окончательно имеем: N_>2> = 1,3N_>2>

Из этого выражения видно, что N_>1><N_>2>. Соответственно, напряжения в первом стержне _>I> меньше, чем напряжения во втором _>II>. Поэтому, максимальные напряжения по абсолютному значению будут во втором стержне: _>II>_>>= [] и кН. Значение N_>1>= 24,62 кН.

Оба стержня сжаты.

Найдем напряжения в обоих стержнях: _>II>_>>= [] = -160 МПа; _>I>_>>= -123,1 МПа. растянуты.

Подставим значения сил N_>1> и N_>2> в первое уравнение и определим значение [Q]:

кН.

Вычислить допускаемую нагрузку по предельному состоянию [Q]_>пр>.

Предельное состояние будет возникать, если напряжения в стержнях будут равны предельным, то есть пределу текучести _>т>: _>I>_>>= _>II>_>>= _>т>

Составляем уравнение предельного равновесия:

Предельные усилия в каждом из стержней:

Решаем относительно предельной нагрузки для системы:

Допускаемая нагрузка по предельному состоянию [Q]_>пр> определяется как:

где n – коэффициент запаса прочности.

С учетом, что получим [Q]_>пр> = 23,51 кН.

Сравнить полученные результаты.

Определяем погрешность между расчетами:

По условию предельного состояния допускаемую нагрузку можно не менять (погрешность  < 5%).

Вычислить монтажные напряжения в обоих стержнях, если длина второго стержня короче номинальной на величину _>2>=1,5 мм.

Составляем расчетную схему. С учетом удлинения стержня 2 точка А должна совпасть с точкой Е, если бы не было стержня 1. Сопротивление первого стержня приводит к тому, что точка А занимает положение А_>1>. В связи с этим, в стержнях появляются внутренние усилия N_>1> и N_>2>. Составим уравнение статики:

;

Из этого уравнения следует, что:

Составляем уравнение совместности деформаций. Из подобия треугольников АА_>1>О и ВВ_>1>О имеем:

;

; ;

KВ_>1>=l_>1>.

По закону Гука:

; .

Решая совместно уравнения получим:

N_>1>= 29,76 кН; N_>2>= 41,34 кН.

2 стержень сжат; 1 – растянут.

Определим напряжения:

_>I>_>>=148,8 МПа; _>II>_>>= -206,7 МПа.

5. Вычислить напряжения в обоих стержнях, если температура первого стержня уменьшится на величину t_>1>=40.

Составим расчетную схему. С учетом удлинения стержня 1 точка В должна совпасть с точкой Е, если бы не было стержня 2. Сопротивление второго стержня приводит к тому, что точка В занимает положение В_>1>. В связи с этим, в стержнях появляются внутренние усилия N_>1> и N_>2>. Составим уравнение статики:

;

Из этого уравнения следует, что:

Составляем уравнение совместности деформаций. Из подобия треугольников АА_>1>О и ВВ_>1>О имеем:

; ; ; ; ; АА_>1>=l_>2>.

По закону Гука:

; .

Решая совместно получим:

N_>1>=5,15 кН; N_>2>=7,15 кН.

2 стержень сжат; 1 – растянут.

Определим напряжения:

_>I>_>>=25,75 МПа; _>II>_>>= -35,76 МПа.

Вычислить напряжения в обоих стержнях от совместного действия нагрузки, неточности изготовления второго стержня и изменение температуры первого стержня.

Сведем данные расчетов в Таблицу

Таблица 1.

Фактор, вызывающий напряжения	Напряжения, МПа
1 стержень	2 стержень
Нагрузка [Q] = 20,96 МПа	-160	-123,1
Неточность изготовления 2-го стержня	148,8	-206,7
Изменение температуры 1-го стержня	25,75	-35,76
ИТОГО	14,55	-365,56

Из таблицы видно, что для заданной схемы для стержня 1 сочетания всех трех факторов является благоприятным фактором (напряжения значительно меньше допускаемых), а для стрежня 2 - неблагоприятным: стержень разрушится.

Задача 2

Дана двух опорная балка с приложенными к ней нагрузками М= -15кНм; F=-20 кН; q = 12 кН/м. Допускаемое напряжение [] = 160 МПа. размеры балки a = 0,8 м; b = 0,7 м; c = 0,5 м.

Требуется:

1. Подобрать для схем (а) балку круглого, прямоугольного (отношение сторон h/b=2), кольцевого (отношение диаметров с=0,5), двутаврового сечений при заданном [];

2. Сравнить площади поперечных сечений и сделать вывод о том, какая форма наиболее рациональна.

Решение

Определяем опорные реакции балки.

Проверяем правильность определения опорных реакций:

Реакции определены верно.

Запишем уравнения поперечных сил и изгибающих моментов для каждого участка балки.

Участок I. О ≤ Z_>1>≤0,8

; кН;

; ; кНм.

Строим эпюры по вычисленным значениям.

Участок

П. 0 < Z_>2> < 0,7

; кН;

; кНм; кНм.

Строим эпюры по вычисленным значениям.

Участок IП.

0 < Z_>3> < 0,5

Q(z_>3>) = -R_>В> + qz_>3>; Q(0) = 87 кH; Q(0.5) = 93 кН

M(z_>3>)= R_>В>z_>3> – qz_>3>z_>3>0.5; M(0) = 0; M(0.5)= -45 кHм

3. Опасным будет сечение, в котором изгибающий момент достигает максимального значения по абсолютной величине.

В данной задаче M_>max> = 45 кНм.

Вычисляем необходимый момент сопротивления поперечного сечения балки

см³.

3.1. Двутавровое поперечное сечение.

Этому моменту сопротивления соответствует двутавр №24, момент сопротивления и площадь поперечного сечения которого соответственно равны W_>x>=289 cм³; А= 34,8 см².

3.2. Прямоугольное сечение (h/b = 2).

см

h=15 см; b=7,5 см; А=112,5 см².

3.3. Круглое поперечное сечение:

, см

см².

3.4. Кольцевое сечение (с = 0,7).

см

см²

Сравниваем площади поперечных сечений А, подобранных профилей, сведя данные в Таблицу 2:

Таблица 2.

Тип сечения	Площадь сечения, см²
Двутавровое	38,4
Прямоугольное	112,5
Круглое	156,4
Кольцевое	95,7

Таким образом, при изгибе оптимальным является сечение двутавра.

Задача 3

Дан стержень с опорами, закрепленными по указанной схеме, сжат силой F = 90 кН. Поперечное сечение – равносторонний треугольник. Длина стержня 1 = 0,85 м. Материал стержня - чугун. Модуль упругости Е = 1,310⁵ МПа, допускаемое напряжение [σ] = 130 МПа. Коэффициент закрепления опор  = 0,7

Требуется определить:

- размеры поперечного сечения при допускаемом напряжении на сжатие [σ];

- величину критической силы F_>k>;

- коэффициент запаса устойчивости n_>у>.

Решение.

Задача решается методом приближения. В первом приближении задаемся коэффициентом уменьшения основного допускаемого напряжения _>1> = 0,5. Из условия устойчивости определяем площадь сечения: