Электрон в слое (работа 1)

Министерство Образования, Молодежи и Спорта

Республики Молдова

Государственный университет Молдовы

Курсовая Работа

Тема: Электрон в слое.

Работу выполнил

студент 3-го курса:

Радченко Андрей


Кишинёв 1997 г.

Микрочастица (электрон) в слое.

Собственно говоря, одномерная задача, которая сейчас будет рассмотрена, во многих учебных руководствах довольно подробно разобрана путём введения некоторых упрощений.

Она состоит в следующем :

Микрочастица (электрон) движется вдоль оси x, и её движение полностью определяется следующим гамильтонианом :

 ћ2/(2m)2/x2  U>0> , x < a

 

H =  ћ2/(2m>0>)2/x2 , a < x < a

 ћ2/(2m)2/x2  U>0> , x > a

Где m - эффективная масса электрона в областях I , III ;

m>0> - эффективная масса электрона в области II.

Запишем уравнение Шрёдингера для каждой области :

 2>I>/x2  2m/ћ2(E  U>0>)>I> = 0 , x  a

> > 2>II>/x2  2m>0>/ћ2E>I> = 0 , a  x  a

> > 2>III>/x2  2m/ћ2(E  U>0>)>I> = 0 , x  a

Область I :

Общий вид решения уравнения Шрёдингера для 1-ой области записывается сразу :

>I>(x) = Aexp(nx) + Bexp(nx).

Используя свойство ограниченности волновой функции, мы придём к тому что B = 0. Значит,

>I>(x) = Aexp(nx).

Волновая функция для второй области тоже элементарно определяется :

>II>(x) = Cexp(ikx) + Dexp(ikx).

Функция состояния для третьей области выглядит так :

>III>(x) = Fexp(nx).

Где

k = (2m>0>E/ћ2)1/2

n = (2m(U>0>E)/ћ2)1/2.

Стратегия наших дальнейших действий будет состоять в следующем :

  • Напишем систему из 4 уравнений, удовлетворение которых эквивалентно удовлетворению функциями граничным условиям.

  • В этой системе из 4 уравнений будут фигурировать неизвестные коэффициенты A,C,D и F. Мы составим линейную однородную систему относительно них.

  • Ясно, что существование нетривиальных решений допускается только в случае когда детерминант системы равен нулю. Как выяснится чуть позже, из этого весьма полезного факта мы извлечём уравнение, корнями которого будут возможные уровни энергии.

Приступим к осуществлению первого пункта, т.е. запишем условия сшивания волновых функций :

>I>(x=a) = >II>(x=a)

>II>(x=a) = >III>(x=a)

>I>(x=a)/m = >II>(x=a)/m>0>

>II>(x=a)/m>0> = >III>(x=a)/m

А в наших определениях этих функций это выглядит так :

Aexp(na) = Cexp(ika) + Dexp(ika)

m1A nexp(na) = ik/m>0>(Cexp(ika)  Dexp(ika))

Cexp(ika) + Dexp(ika) = Fexp(na)

ik/m>0>(Cexp(ika)  Dexp(ika)) =  n/mFexp(na).

Теперь составим определитель :

|exp(na) exp(ika) exp(ika) 0 |

|m1nexp(na) 1/m>0>ikexp(ika) 1/m>0>ikexp(ika) 0 |

|0 exp(ika) exp(ika) exp(na) |

|0 1/m>0>ikexp(ika) 1/m>0>ikexp(ika) 1/mnexp(na)|

Если теперь раскрыть этот определитель по обычным правилам и приравнять его к нулю, то мы получим следующее уравнение для уровней энергии:

((n/m)2  (k/m>0>)2)Sin(2ka) + 2kn/(mm>0>)Cos(2ka) = 0.

Это уравнение решается численным методом, а именно, методом Ньютона.

Найдём неизвестные коэффициенты A, C, D, F для более полного описания волновой функции. Для этого воспользуемся некоторыми соотношениями, которые непосредственно вытекают из условий сшивания и условия нормировки.

C = Fexp(na){exp(ika) + exp(3ika) ( ik/m>0>  n/m)/(n/m + ik/m>0>)}

D = Cexp(2ika)( ik/m>0>  n/m)/(n/m + ik/m>0>)

A = exp(na)(Cexp(ika) + Dexp(ika)) .

Поскольку A, C и D линейно зависят от F, то целесообразно ввести обозначения :

A = R>A>F

C = R>C>F

D = R>D>F.

R>A>, R>C>, R>D> - известные постоянные.

Таким образом, если мы каким-то образом узнаем константу F, то мы определим остальные константы A, C, D. А сделаем мы это с помощью условия нормировки.

Действительно :

>I>(x) = FR>A>exp(nx)

>II>(x) = F( R>C>exp(ikx) + R>D>exp(ikx)).

>III>(x) = Fexp(nx).

I>1> + I>2> + I>3> = 1

Где

I>1> = F2R>A>2>>exp(2nx)dx = F2R>A>>2>(2n)1exp(2nx) =

= F2R>A>2(2n)1exp(2na)

I>2> = F2{ >>R>C>2dx + >>R>D>2dx + R>C>R>D>*>>exp(2ikx)dx +

+ R>C>*R>D>>>exp(2ikx)dx } = F2{ 2a(R>C>2 + R>D>2) +

((exp(2ika)  exp(2ika))R>C>R>D>*/(2ik) +

+ i((exp(2ika)  exp(2ika))R>C>*R>D>/(2k) }

I>3> = F2>>exp(2nx)dx = F2(2n)1exp(2na)

F2 = { R>A>2(2n)1exp(2na) + 2a(R>C>2 + R>D>2) +

((exp(2ika)  exp(2ika))R>C>R>D>*/(2ik) +

+ i((exp(2ika)  exp(2ika))R>C>*R>D>/(2k) + (2n)1exp(2na) }1.

Теперь, когда мы знаем F, нетрудно определить коэффициенты A, C, D, а значит и волновую функцию, характеризующую состояние электрона.

Электрон в слоях

Задача, которая сейчас будет описана, характеризуется тем, что потенциал обладает пространственной периодичностью. Схематически это изображается так.

То есть, это ни что иное как одномерное движение электрона в периодическом поле. Графически это можно изобразить серией потенциальных барьеров или, как говорят, серией потенциальных ступенек.

Аналитически условие периодичности потенциала записывается весьма просто:

U(x)=U(x+2a) (1)

Соотношение (1) записано в предположении, что ширина каждой потенциальной ямы равна ширине всякого потенциального барьера.

Ясно, что волновые функции, соответствующие областям I, III, удовлетворяют одному и тому же уравнению Шредингера:

2/x2  2m/ћ2(E  U>0>) = 0

следовательно эти функции отличаются только постоянным множителем, который называется фазовым множителем.

Этот фазовый множитель мы будем обозначать следующим образом:

 = exp(i 2ak)

Тогда (x+2ma) = (x)m , где m=0, 1, 2,... (2)

Оказывается, что достаточным для определения дискретного энергетического спектра (рассматривается только случай когда E<U>0>) и волновой функции является рассмотрение областей I, II, III. Действительно, пользуясь соотношением (2), мы определим волновую функцию на всей действительной оси.

Рассмотрим область I:

Уравнение Шредингера для нее записывается в виде:

2>I>/x2  2m>2>/ћ2(E  U>0>)>I> = 0 , 0 > x > a

его решение выглядит просто:

>I>(x) = Aexp(nx) + Bexp(nx).

Где n = (2m>2 >(U>0>-E) /ћ2)1/2

Рассмотрим область II:

Уравнение Шредингера для нее записывается в виде:

2>II>/x2  2m>1>/ћ2E >II> = 0 , a  x  0

его решение выглядит просто:

>II>(x) = Cexp(ipx) + Dexp(ipx).

Где p = (2m>1>E/ћ2)1/2

Рассмотрим область III:

2>III>/x2  2m>2>/ћ2(E  U>0>)>III> = 0 , 2a > x > a

его решение выглядит просто:

>III>(x) =  (Aexp(nx) + Bexp(nx)).

Запишем граничные условия:

>I>(x=0) = >II>(x=0)

>II>(x=a) = >III>(x=a)

>I>(x=0)/m = >II>(x=0)/m>0>

>II>(x=a)/m>0> = >III>(x=a)/m

Подставляя волновые функции в эту систему уравнений, мы получим некоторые связи между коэффициентами A, B, C, D:

A+B=C+D

C exp(i p a)+D exp(-i p a) = exp(i 2 a k) (A exp(n a)+B exp(-n a))

(A-B) n/m>2 >= (C-D) i p / m>1>

(C exp(i p a)-D exp(-i p a)) i p / m>1 >= exp(i 2 a k) n/m>2> (A exp(n a)-B exp(-n a))

Следуя приведённым выше соображениям, мы составим определитель :

|1 1 1 1 |

|exp(ik2ana) exp(ik2ana) exp(ipa) exp(ipa) |

|n/m>2> n/m>2> ip/m>1> ip/m>1 >|

|n/m>2>exp(ik2ana) n/m>2>exp(ik2ana)  ip/m>1>exp(ipa) ip/m>1>exp(ipa) |

и приравняем его к нулю.

Результатом раскрытия определителя будет весьма громоздкое уравнение содержащее в качестве неизвестного энергию электрона.

Рассчитанные уровни энергии для различных эффективных масс приведены ниже.

a=10; U=10; m>1>=4; m>2>=1

0.1135703312666857

0.6186359585387896

0.2019199605676639

0.3155348518478819

0.05047267055441365

1.263391478912778

0.4544326758658974

2.137353840637548

0.808172718170137

2.479933076698526

0.4544326758658974

6.168062551132728

5.611693924351967

1.820461802850339

1.529165865668653

1.023077302091622

a=10 U=10 m>1>=2 m>2>=1

0.1032788024178655

0.2324238959628721

0.41331603936642

0.6460490460448886

0.930750939555283

1.26759057783714

1.656787195799296

2.098624192369327

2.593469359607937

3.141805331837109

3.744277072860902

5.887485640841992

a=10 U=10 m>1>=1 m>2>=1

0.05408120469105441

0.2163802958297131

0.4870681554965061

0.86644533469418

1.354969224117534

1.953300729714778

2.662383817919513

4.418966218448088

7.961581805911094

a=10 U=10 m>1>=0.5 m>2>=1

0.118992095909544

4.249561710930034

1.068004282376146

0.4754473139332004

5.78216724725356

2.955345679469631

1.895012565781256

a=10 U=10 m>1>=.25 m>2>=1

0.2898665804439349

4.30026851446248

2.479039415645616

1.132264393019809