23. Логические уравнения
Демонстрационный вариант Единый государственный экзамен ЕГЭ 2017 г. – задание №23 – Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, … x6, y1, y2, … y6, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
(x1 → (x2 /\ y1)) /\ (y1 → y2) = 1
(x2 → (x3 /\ y2)) /\ (y2 → y3) = 1
…
(x5 → (x6 /\ y5)) /\ (y5 → y6) = 1
x6 → y6 = 1
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, … x6, y1, y2, … y6, при которых выполнена данная система равенств.
В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.
Решение:
Системы логических уравнений Метод отображения
(x1 → (x2 /\ y1)) /\ (y1 → y2) = 1
(¬x1 + (x2.y1)) . (¬y1 + y2) = 1
| x1 | y1 | x2 | y2 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | |||
| 1 | 0 | ||
| 1 | |||
| 1 | 0 | 1 | |
| 1 | 1 | ||
| 1 | 0 | ||
| 1 | 1 | 1 |
| x1y1 | x2y2 | x3y3 | x4y4 | x5y5 | x6y6 | |
| 00 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 01 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 10 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 11 | 1 | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 |
1 + 6 + 0 + 21 = 28
Ответ: 28
Демонстрационный вариант Единый государственный экзамен ЕГЭ 2016 г. – задание №23
Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, … x9, y1, y2, … y9, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
(¬ (x1 ≡ y1)) ≡ (x2 ≡ y2)
(¬ (x2 ≡ y2)) ≡ (x3 ≡ y3)
…
(¬ (x8 ≡ y8)) ≡ (x9 ≡ y9)
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, … x9, y1, y2, … y9, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.
Ответ:
Решение:
(¬ (x1 ≡ y1)) ≡ (x2 ≡ y2)
(x1 != y1)) = (x2 = y2)
| x1 | y1 | x2 | y2 |
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | |||
| 1 | 0 | ||
| 0 | |||
| 1 | 0 | 0 | |
| 1 | 1 | ||
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | ||
| 1 | 0 | 1 | |
| 1 | 0 |
| x1y1 | x2y2 | x3y3 | x4y4 | x5y5 | x6y6 | x7y7 | x8y8 | x9y9 | |
| 00 | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 |
| 01 | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 |
| 10 | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 |
| 11 | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 |
256+256+256+256=1024
Ответ: 1024
Каково наибольшее целое положительное число X, при котором истинно высказывание:
((X – 1) < X) → (40 > X·X)
Решение:
((X – 1) < X) → (40 > X·X)
¬((X – 1) < X) ∨ (40 > X·X)
((X – 1) ≥ X) ∨ (40 > X·X)
((X – 1) ≥ X) ⇒ Это ложно для всех положительных чисел.
(40 > X·X) ⇒ Это должно быть истинно.
40 > 6.6
40 > 36
Ответ: 6
Укажите значения переменных K, L, M, N, при которых логическое выражение
(¬(M ∨ L) ∧ K) → ((¬K ∧ ¬M) ∨ N)
ложно. Ответ запишите в виде строки из четырех символов: значений переменных K, L, M и N (в указанном порядке). Так, например, строка 1101 соответствует тому, что K=1, L=1, M=0, N=1.
Решение:
(¬(M ∨ L) ∧ K) → ((¬K ∧ ¬M) ∨ N) = 0
1 → 0 = 0 логическое выражение ложно.
(¬(M ∨ L) ∧ K) = 1 при M=0, L=0, K=1 ⇒ (¬(0 ∨ 0) ∧ 1) = 1
((¬K ∧ ¬M) ∨ N) = 0 при N=0 ⇒ ((¬1 ∧ ¬0) ∨ 0) = 0
K, L, M и N = 1000
Ответ: 1000
Известно, что для чисел X, Y и Z истинно высказывание
(Z < X ∨ Z < Y) ∧ ¬(Z+1 < X) ∧ ¬(Z+1 < Y)
Чему равно Z, если X=25 и Y=48?
Решение:
(Z < X ∨ Z < Y) ∧ ¬(Z+1 < X) ∧ ¬(Z+1 < Y) = 1 истинно высказывание
(Z < 25 ∨ Z < 48) = 1
¬(Z+1 < 25) = 1 ⇒ (Z+1 ≥ 25) = 1
¬(Z+1 < 48) = 1 ⇒ (Z+1 ≥ 48) = 1
Z < 48 и Z+1 ≥ 48) = 1
Z=47
Ответ: 47
Сколько различных решений имеет уравнение
(K ∧ L ∧ M) → (¬M ∧ N) = 1
где K, L, M, N – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа вам нужно указать только количество таких наборов.
Решение:
K, L, M, N: Каждый может иметь два значения: 0 и 1. Итого: 2.2.2.2 = 16
(K ∧ L ∧ M) → (¬M ∧ N) = 0 при 1 → 0 = 0
(K ∧ L ∧ M) = 1 и (¬M ∧ N) = 0
K=1, L=1, M=1 и
(¬M ∧ N) = 0 ⇒ (¬1 ∧ N) = 0: N может иметь 2 значения (1 или 0).
16-2=14
Ответ: 14
Сколько различных решений имеет уравнение
((K → L) ∧ (M → ¬N) → K) ∧ ¬(L → M) = 1
где K, L, M, N – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа вам нужно указать только количество таких наборов.
Решение:
((K → L) ∧ (M → ¬N) → K) ∧ ¬(L → M) = 1
K → L = 1
K → L ⇒ 0 → 0=1;
при L=0, ¬(L → M) ⇒ ¬(0 → M)=0 не подходит
K → L:0 → 1=1;
при L=1, ¬(L → M):¬(1 → 0) ⇒ M=0 и ((K → L) ∧ (M → ¬N) → K) ⇒ 1. (0 → ¬N) → 0 ⇒ 1→0=0 не подходит
K → L ⇒ 1 → 1=1;
((K → L) ∧ (M → ¬N) → K) ∧ ¬(L → M) = 1
((1 → 1) ∧ (0 → ¬0) → 1) ∧ ¬(1 → 0) = 1
((1 → 1) ∧ (0 → ¬1) → 1) ∧ ¬(1 → 0) = 1
Ответ: 2
Сколько различных решений имеет система уравнений?
((((x1 → x2) → x3) → x4) → x5) = 1
((((y1 → y2) → y3) → y4) → y5) = 0
где x1,x2,…,x5, у1,у2,…,у5 – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.
Решение:
21 ⇒ ((((x1 → x2) → x3) → x4) → x5) = 1
5 ⇒ 0 → 0 = 1 ⇒ (((x1 → x2) → x3) → x4)=0 ⇒ ((x1 → x2) → x3)=1 и x4=0 ⇒ (x1 → x2) → x3=1
⇒ x1=1→ x2=0 (1)
⇒ x1=0→ x2=0 или x1=0→ x2=1 илиx1=1→ x2=0 (3)
5 ⇒ 0 → 1 = 1
11 ⇒ 1 → 1 = 1
—
11 ⇒ ((((y1 → y2) → y3) → y4) → y5) = 0
3 ⇒ 0 → 0 = 1
3 ⇒ 0 → 1 = 1
5 ⇒ 1 → 1 = 1
21.11 = 231
Ответ: 231
Сколько различных решений имеет система уравнений?
((((x1 → x2) → x3) → x4) → x5) = 1
((((y1 → y2) → y3) → y4) → y5) = 0
x1 → y5 = 1
где x1,x2,…,x5, у1,у2,…,у5 – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.
Решение:
Этот вопрос то же самое с предыдущим, за исключением последней строки. Последняя строка соединяет первую и вторую строки.
x1 → y5 = 1
x1=0, y5=0 или x1=0, y5=1 или x1=1, y5=1
y5 всегда равно нулю, поэтому мы берем только x1=0, y5=0. Выбираем из первой строки, где x равно нулю.
10 ⇒ ((((x1 → x2) → x3) → x4) → x5) = 1
2 ⇒ 0 → 0 = 1 ⇒ (((x1 → x2) → x3) → x4)=0 ⇒ ((x1 → x2) → x3)=1 и x4=0 ⇒ (x1 → x2) → x3=1
⇒ x1=1→ x2=0 (1)
⇒ x1=0→ x2=0 или x1=0→ x2=1 илиx1=1→ x2=0 (3)
2 ⇒ 0 → 1 = 1
6 ⇒ 1 → 1 = 1
10.11=110
Ответ: 110
Сколько различных решений имеет система уравнений?
(x1 → x2) ∧ (x2 → x3) ∧ (x3 → x4) ∧ (x4 → x5) = 1
(у5 → у4) ∧ (у4 → у3) ∧ (у3 → у2) ∧ (у2 → у1) = 1
x1 → у1 = 1
где x1,x2,…,x5, у1,у2,…,у5 – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.
Решение:
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | ||||
| 1 | 1 | |||
| 1 | 1 | 1 | ||
| 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| y1 | y2 | y3 | y4 | y5 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | ||||
| 1 | 1 | |||
| 1 | 1 | 1 | ||
| 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
6.6 = 36
x1 → у1 = 1
1 → 0 = 0 (исключаем этот)
36-1=35
Ответ: 35