Досрочный вариант Единый государственный экзамен ЕГЭ 14 апреля 2017 по математике профильный уровень

Досрочный вариант Единый государственный экзамен ЕГЭ 14 апреля 2017 по математике профильный уровень

13. a) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Ответ:

б)

Корни из пункта а на единичной окружности лежат так

Приведем их к виду, входящему в заданный отрезок

Запишем все корни в ответ:

14. Длина диагонали куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равна 3. На луче A₁C отмечена точка P так, что A₁P=4
А) Докажите, что грань PBDC₁ ‐ правильный тетраэдр
Б) Найдите длину отрезка AP

A₁C=3, A₁P=4,CP=1

H – точка пересечения A₁C и плоскости DBC₁

ΔDBC₁– равностор.

О – точка пересечения диагоналей основания куба

C₁O и A₁C пересекаются в точке Н.

H – … опис.окр. и DC1BP – правильное пирамида

⇒ DC_1BP – правильный тетраэдр

Б) Ответ:

по теореме косинусов

15. Решите неравенство:

Ответ: 0;[2;∞]

9^x-2.3^x=t

t²-62t-63 ≥ 0

(t+1)(t-63) ≥ 0

9^x-2.3^x ≤ -1

3^2x-2.3^x+1 ≤ 0

(3^x-1)² ≤ 0

3^x=1

x=0

9^x-2.3^x ≥ 63

(3^x)² – 2.3^x – 63 ≥ 0

Δ=4+4.63 = 64.4

3^x=(2-16)/2 = -7

3^x=(2+16)/2 = 9

3^x> 0

3^x≥ 9

x ≥ 2

Ответ: 0;[2;∞]

16. Точка М – середина гипотенузы АВ треугольника АВС. Серединныйперпендикуляр к гипотенузе пересекает катет ВС в точке N.
а) Докажите, что ∠CAN=∠CMN
б) Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников ANB и CBM, если

Ответ:

а)

∠CAN = ∠CMN
α = ∠CBM = ∠NAB (т.к. NAM=NBM)
2α + β = 90°
CM = AM = MB (медиана из ⊥ угла)
тогда ∠MCB = ∠MBC = α
∠CMN = 180-90-2α = β
∠CAN = β

б)

17. В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млнрублей, где S – целое число. Условия его возврата таковы:
‐ каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года
‐ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга
‐ в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей

Месяц и год	Июль 2026	Июль 2027	Июль 2028	Июль 2029
Долг (в млн рублей)	S	0,8S	0,4S	0

Найдите наибольшее значение S, при котором каждая из выплат будет меньше 5 млн рублей.

Очевидно, что выплат 2028 и 2029 больше, чем первая. Поэтому будет достаточно сравнить их и найти наибольшую.

2027-2028)

1,2.08S-x₁ = 0,4S

x₁=0,56S

2028-2029)

1,2.0,4S=x₂=0,48

Берем 2027-28 год.

x₁=0,56S<5

S≤8

Ответ: 8

18. Найдите все значения параметра a , при каждом из которых система неравенств

имеет хотя бы одно решение на отрезке [- 1;0]

Ответ:

Это паробола

Приравняем ее и нижнюю границу ромба = -x-4

эта точка лежит правее вершины параболы, она нам и нужна
Чтобы узнать значение а подставим

(это нижняя удовлетворяющая условиям граница)

Верхняя будет в точке a=4 так как выше уже решений не будет.

Ответ:

19. На доске написано несколько (более одного) различных натуральных чисел, причем любые два из них отличаются не более чем в три раза

а) Может ли на доске быть 5 чисел, сумма которых равна 47?
б) Может ли на доске быть 10 чисел, сумма которых равна 94?
в)Сколько может быть чисел на доске, если их произведение равно 8000?

Ответ: а) да; б) нет; в) 2 или 3

а) да

a<b<c<d<e

e ≤ 3a

Пусть a=5, e=15

b+c+d=27

7+9+11=27

да, может.

б) Мы не можем взять 4, как наименьшее число так как 4.3=12, а между 4 и 12 не 10ти чисел. Посмотрим 5:1 0 чисел от 5 до 14

, нельзя.

в) 8000=2⁶.5³
Можно разложить на 2⁶ и 5³
или 5² и 5.2² и 2⁴
Попробуем разллжить на большее количество чисел. Если наименьшее число 5, то наибольшее ≤ 15, но между ними можно разместить 5, 8 и 10. Если наименьшее 2³, то наибольшее ≤ 24 между ними нельзя использовать 5 три раза (только 10 и 20). Получается, что число 2⁴ наименьшее в разложении и разложить больше, чем на три множителя, невозможно.

Публикуется ПОСЛЕ окончания экзамена в ознакомительных целях