15. Неравенства

Демонстрационный вариант Единый государственный экзамен ЕГЭ 2017 г.  – задание №15. Решите неравенство.

Решите неравенство

Подсказки и ответы

Решение: 

Пусть t = 3^x , тогда неравенство примет вид:

откуда t≤3 ; 5 < t < 9 .

При t ≤ 3 получим: 3^x≤ 3, откуда x ≤1.
При 5 < t < 9 получим: 5 < 3^x< 9 , откуда log₃ 5 < x < 2 .
Решение исходного неравенства: x ≤1; log₃ 5 < x < 2 .
Ответ: (−∞;1]; (log₃ 5; 2)

---

Демонстрационный вариант Единый государственный экзамен ЕГЭ 2015 г.  – задание №15

Решите неравенство  

Подсказки и ответы

Решение: 

Левая часть неравенства определена при  2-x>0; x>0;x=1

При 0<x<1 получаем log₁₅x<log₂₅x, log₉(2-x)>log₁₅(2-x),поэтому левая часть неравенства отрицательна и не превосходит log₂₅9.

При 1<x<2 получаем log₁₅x>log₂₅x, log₉(2-x)<log₁₅(2-x),поэтому левая часть неравенства отрицательна и не превосходит log₂₅9.

Таким образом, решение исходного неравенства (0;1) и (1;2)

Ответ: (0;1) ; (1;2)

---

Решите неравенство 6x ≥ |2x+6| + |3-2x|

Подсказки и ответы

Решение: 

6x ≥ |2x+6| + |3-2x|

6x ≥ |2(x+3)| + |-2(x-)|

1) x<3

6x ≥ -(2x+6) + 3-2x

10x ≥ -3 => x ≥ -0,3 (не подходит)

2) -3 ≤ x ≤ 3/2

6x ≥ 2x+6 + 3-2x

6x ≥ 9 => x ≥ 0,5 (не подходит)

3) x ≥ 3/2

6x ≥ 2x+6 – (3-2x)

6x ≥ 2x+6-3+2x

2x ≥ 3 x ≥ 0,5 (подходит)

Ответ: x ∈ [3/2;+∞)

---

Решите неравенство 

Подсказки и ответы

Решение: 

1) 

x²+17x-18 ≥ 0

x²+17x-18 = 0

Δ=289-4.(-18)=361=19²

x₁=(-17+19)/2=1

x₂=(-17-19)/2=-18

_____+______-18_____–_____1______+______

x∈(-∞;-18] ∪ [1;+∞ ]

2) 

x²-13x+22 ≥ 0

x²-13x+22 = 0

Δ=169-4.22=169-88=81=9²

x₁=(13+9)/2=11

x₂=(13-9)/2=2

_____+______2_____–_____11______+______

x∈(-∞;2] ∪ [11;+∞ ]

Ответ: x∈(-∞;-18] ∪ [1;2] ∪ [11;+∞ ]

---

Решите неравенство 

Подсказки и ответы

Решение: 

Пусть t=log₂x

-2(t²-2t+1)-t+1 ≤ 0

-2t²+4t-2-t+1 ≤ 0

-2t²+3t-1 ≤ 0

2t²-3t+1 ≥ 0

(2t-1)(t-1) ≥ 0

2t-1=0 => t=1/2

t-1=0 => t=1

t ≤ 1/2 или t ≥ 1

Обратная замена:

log₂x ≤ 1/2 => 0 < x ≤ √2

log₂x ≥ 1 => x ≥ 2

Ответ: [0; √2], [2; +∞]

---

Решите систему неравенств

Подсказки и ответы

Решение: 

1) 

2^x=t

2t²-17t+8 ≤ 0

2t²-17t+8 = 0

Δ=289-4.8.2 = 225 = 15²

t₁=(17+15)/4=8

t₂=(17-15)/4=1/2

2^x=8 => x=3

2^x=1/2 => x=-1

____+____-1_____–______3_____+______

x ∈ [-1;3]

2)

2x²-9x+10=1

2x²-9x+9=0

Δ=81-4.9.2=9=3²

x₁=(9+3)/4=3 (подходит по ОДЗ)

x₂=(9-3)/4=3/2 (не подходит по ОДЗ)

ОДЗ:

1) 3x-5>0 => x>5/3

2) 3x-5 ≠ 1 => x≠2

3) 2x²-9x+10 > 0

2x²-9x+10 = 0

Δ=81-80=1

x₁=(9+1)/4=5/2

x₂=(9-1)/4=2

___-___5/3____ОДЗ_____2____-____5/2___ОДЗ____

x ∈ (5/3;2), x≥3

Ответ: (5/3;2), 3

---

Решите неравенство: 

Подсказки и ответы

Решение: 

Пусть , , тогда

   и  

Делаем обратную замену:

   и   

             и  

                        и         

По определению логарифма ОДЗ (  =>   ):

 (разность квадратов)

    и     

С учетом ОДЗ получаем ответ:

Ответ: 

---