13. Уравнения

Демонстрационный вариант Единый государственный экзамен ЕГЭ 2017 г.  – задание №13. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку.

а) Решите уравнение cos2x=1-cos(-x)

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 

Подсказки и ответы

Решение: 

Преобразуем обе части уравнения:
1− 2sin² x =1− sin x ; 2sin² x − sin x = 0 ; sin x( 2sin x −1) = 0 ,

откуда sin x = 0 или sin x = .

Из уравнения sin x = 0 находим: x = πn , где n∈Ζ.

Из уравнения sin x =  находим:  , где k∈Ζ.

б) С помощью числовой окружности отберём корни уравнения, принадлежащие промежутку 

Получаем числа: 

Ответ: а)  , k∈Ζ.

б) .

---

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

Подсказки и ответы

Решение: 

а) Преобразуем уравнение:

Ответ: a) 

б) С помощью числовой окружности отберём корни уравнения, принадлежащие промежутку 

Ответ: б) 

---

а) Решите уравнение 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

Подсказки и ответы

Решение: 

а) Преобразуем уравнение:

Пусть 2^x = t, тогда уравнение приметвид:

t²-17.4t+9.32.4=0

Δ=16

2^x=32 => x=5

2^x=36 => log₂36 = log₂4.9 = log₂2₂+log₂9 = 2+log₂9

Ответ: а) 5;2+log₂9

б) 

5 < log₂35 => не принадлежит

log₂35 < log₂36 < 6 принадлежит

Ответ: б) 2+log₂9

---

а) Решите уравнение 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

Подсказки и ответы

Решение: 

а) Преобразуем уравнение:

(x+1)(x+3)(x-2)=0

x1=-1 (не подходит по ОДЗ) ; x2=2 (подходит по ОДЗ) ; x3=-3 (подходит по ОДЗ)

Ответ: 2;-3

ОДЗ:

1) x²+x-2>0
x²+x-2=0
Δ=1+8=9
x₁=(1-+3)/2=1
x₂=(-1-3)/2=-2
x ∈ (-∞;-2) ∪ (1;+∞)

2) x²+x-2≠1
x²+x-3≠0
Δ=1-4.(-3)=13
x_1,2≠(-1±√13)/2

3) x³-2x²-5x-5>0

б) 

-3 < log₃0,25 = log₃4^-1 = -log₃4 < -1=> не принадлежит

-1 < 2 < log₃17 принадлежит

Ответ: 2

---

а) Решите уравнение 

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащего отрезку [2; 3].

Подсказки и ответы

Решение: 

а) Преобразуем уравнение:

Пусть 

t²-7.t+12=0

(t-3).(t-4)=0 => t=3 или t=4.

При t=3,  => 

При t=4,  => 

Ответ:; 

б) отрезку [2; 3]

 =>  подходит

 =>  не подходит

Ответ:

---

а) Решите уравнение: 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

Подсказки и ответы

Решение: 

а) Преобразуем уравнение:

      ()

т.к. степени одинаковые, основания можно опустить:

Ответ: 2; 

 

б)

 

2 не входит в заданный промежуток

Ответ:  б) 

---

а) Решите уравнение: 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Подсказки и ответы

Решение: 

а)Пусть  , 

Преобразуем уравнение:

( только в том случае, если их степени равны 1)

  (), тогда

Делаем обратную замену:

 (возводим во вторую степень обе части ур-я)

Ответ: а)  ;

б) 

Ответ:  б) 3

---

Материалы down- экспертов Единый государственный экзамен ЕГЭ 2016

а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 

Подсказки и ответы

Решение: 

а) 

 или

 или 

 => 

 невозможно.

Ответ: а) 

б) принадлежащие промежутку 

Ответ: 

---

Единый государственный экзамен ЕГЭ по математике 19.06.2014. Основная волна, резервный день. Запад. Вариант 1.

а) Решите уравнение 

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

Подсказки и ответы

Решение: 

а) Пусть 

t²-3t+2=0

(t-1)(t-2)=0 => t₁=1, t₂=2

при  t₁=1, 

при  t₂=2, 

Ответ: 

б) принадлежащие отрезку 

n=-1  

Ответ: 

---

Единый государственный экзамен ЕГЭ — 2016 по математике. Основная волна 06.06.2016. Вариант 3 (C часть)

а) Решите уравнение 

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

Подсказки и ответы

Решение: 

а) 

Пусть t=log₂(2cosx)

2t²-9t+4=0

Δ=81-4.2.4=49

  

при ,  =>  невозможно

при  ,  =>  => 

Ответ: 

б) принадлежащие отрезку 

k=-1; 

Ответ: 

---