14. Стереометрическая задача

Ваш браузер не поддерживает фреймы

Демонстрационный вариант Единый государственный экзамен ЕГЭ 2017 г. – задание №14. Угол между плоскостями. Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ имеют длину 6. Точки M и N— середины рёбер AA₁ и соответственно.

а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB₁ .

Подсказки и ответы

Решение:

а) Пусть точка H — середина AC . Тогда BN² = BH² + NH² = (3√3)² + 6² = 63.
Вместе с тем, BM² + MN² = (3² + 6²) + (3² + 3²) = 63, а тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник BMN является прямоугольным с прямым углом M .

б) Проведём перпендикуляр NP к прямой 1 1 A B .
Тогда NP ⊥ A₁B₁ и NP ⊥ A₁A. Следовательно, NP ⊥ ABB₁ . Поэтому MP — проекция MN на плоскость 1 ABB₁ .
Прямая BM перпендикулярна MN , тогда по теореме о трёх перпендикулярах BM ⊥ MP . Следовательно, угол NMP — линейный угол искомого угла.
Длина NP равна половине высоты треугольника A₁B₁C₁ , то есть

. Поэтому

Следовательно,

Ответ: б)

Точка М – середина ребра C₁D₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 2. Найдите угол между прямыми АМ и ВА₁.

Подсказки и ответы

Решение:

Найдем координаты точек:

A(2;0;0), M(0;1;2), B(2;2;0), A₁(2;0;2)

Строим вектора через данные точки:

Находим cosα между векторами, где α – искомый угол:

Ответ:

У правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ сторона основания равна AB=6, боковое ребро AA₁=8. Найдите синус угла между прямой BC₁ и плоскостью BCA₁.

Подсказки и ответы

Решение:

Найдем координаты точек:

B(0;3;0), C₁(0;-3;8), C(0;-3;0), A₁(3√3;0;0)

Строим вектора через данные точки:

Находим перпендикулярный вектор (нормальный вектор) плоскости BCA₁ через уравнение плоскости:

Находим sinα, где α – искомый угол:

Ответ:

Высота SO правильной треугольной пирамиды SABC составляет от высоты SM боковой грани SAB. Найдите угол между плоскостью основания пирамиды и её боковым ребром.