19.Числа и их свойства

Демонстрационный вариант Единый государственный экзамен ЕГЭ 2018 – 2017 г.  – задание №19 Найдите трехзначное число, сумма цифр которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение: 

Пусть   и  – цифры нашего числа, причем ни одна из них не равна  или  (иначе суммы  не получить) и должно выполняться условие .

Тогда сумма квадратов цифр запишется так:

Делимость этого числа на 3 или 9 никак не зависит от чётного множителя, на него можно сократить. Теперь будем рассматривать число

Если  и  делятся на , то, очевидно, первые  слагаемых будут делиться на , а  не делится на  и значит вся сумма не делится на . Пусть теперь только одна из цифр делится на . Тогда, с учётом , возможны следующие пары:          Среди этих вариантов достаточно попробовать первые  пар, потому что следующие будут давать уже встречавшиеся тройки цифр:

     

     ;

Ни одна подстановка не подходит.

Пусть, наконец, ни одна из цифр х и у не делится на . Пары:    Достаточно попробовать первые две.

   .

Последняя подстановка подходит, значит цифры могут быть такими:    Естественно, любой другой их порядок подходит:     

Ответ:578 

---

Демонстрационный вариант Единый государственный экзамен ЕГЭ 2016 г. (досрочный) – задание №19

Найдите четырёхзначное число, кратное , все цифры которого различны и чётны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение: 

 делится на , значит и исходное число должно делится на . Поэтому, последней цифрой четырехзначного числа может быть только  (потому что  нечетное число). Далее, оставшиеся  цифры числа должны в сумме делиться на , поскольку  делится на . Тремя чётными цифрами в сумме невозможно получить  и , остается пробовать получить в сумме .  – искомое число, например, . Подходят также    

Ответ: 4680