16. Планиметрическая задача

Скачайте в формате DOCX

Демонстрационный вариант Единый государственный экзамен ЕГЭ 2017 г.  – задание №16. Докажите, что прямые AD и BC параллельны. Найдите площадь треугольника.

Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке , D прямая AK пересекает вторую окружность  в точке  C.

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

Решение: 

а) Обозначим центры окружностей O1 и O2 соответственно.

Пусть общая касательная, проведённая  к окружностям в точке , K пересекает AB в точке M. По свойству касательных, проведённых из одной точки, AM=KM и KM=BM  Треугольник AKB, у которого медиана равна половине стороны,  к которой она проведена, прямоугольный.

 

Вписанный угол AKD прямой, поэтому он опирается на диаметр . AD Значит, . AD AB  Аналогично, получаем, что . BC AB  Следовательно, прямые AD и BC параллельны.

б) Пусть, для определённости, первая окружность имеет радиус 4, а вторая — радиус 1.
Треугольники BKC и AKD подобны, . Пусть SBKC = S, тогда

S AKD =16S

У треугольников AKD и AKB общая высота, следовательно, , то есть SAKB = 4S. Аналогично, SCKD = 4S. Площадь трапеции ABCD равна 25S.
Вычислим площадь трапеции ABCD. Проведём к AD перпендикуляр O2H,
равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника
O2HO1 :

Тогда

Следовательно, 25S = 20, откуда S = 0,8 и S AKB = 4S = 3,2.

Ответ: 3,2


Скачайте в формате PDF