18. Задача с параметром

Демонстрационный вариант Единый государственный экзамен ЕГЭ 2017-2018 г.  – задание №18. Найдите все положительные значения a , при каждом из которых система имеет единственное решение.

 

Решение: 

Если x ≥ 0, то уравнение (|x|-5)²+(y-4)² = 9 задаёт окружность ω1 с центром в точке C₁ (5; 4) радиусом 3, а если x < 0 , то оно задаёт окружность ω2 с центром в точке C2 (−5; 4) таким же радиусом (см. рисунок).

При положительных значениях a уравнение (x + 2)² + y² = a² задаёт окружность ω с центром в точке C(−2; 0) радиусом a . Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения a , при каждом из которых окружность
ω имеет единственную общую точку с объединением окружностей ω1 и ω2 .

 

 

Из точки C проведём луч CC₁ и обозначим через A₁ и B₁ точки его пересечения с окружностью ω₁, где A₁ лежит между C и C₁ . Так как

При a < CA₁ или a > CB₁ окружности ω и ω₁ не пересекаются.
При CA₁ < a < CB₁ окружности ω и ω₁ имеют две общие точки.
При a = CA₁ или a = CB₁ окружности ω и ω₁ касаются.

Из точки C проведём луч CC₂ и обозначим через A₂ и B₂ точки его пересечения с окружностью ω₂ , где A₂ лежит между C и C₂ . Так как

При a < CA₂ или a > CB₂ окружности ω и ω₂ не пересекаются.
При CA₂ < a < CB₂ окружности ω и ω₂ имеют две общие точки.
При a = CA₂ или a = CB₂ окружности ω и ω₂ касаются.

Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность ω касается ровно одной из двух окружностей ω1 и ω2 и не пересекается с другой. Так как CA₂ < CA₁ < CB₂ < CB₁ , то условию задачи удовлетворяют только числа  и .

Ответ: 

 

---