19. Числа и их свойства

Демонстрационный вариант Единый государственный экзамен ЕГЭ 2017-2018 г.  – задание №19. Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -8.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Решение: 

Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому
4k −8l + 0⋅m = − 3(k + l +m).

а) Заметим, что в левой части приведённого выше равенства каждое слагаемое делится на 4, поэтому k + l + m — количество целых чисел — делится на 4.
По условию 40 < k + l + m < 48, поэтому k + l + m = 44. Таким образом, написано 44 числа.

б) Приведём равенство 4k −8l = − 3(k + l +m) к виду 5l = 7k + 3m. Так как m≥ 0, получаем, что 5l ≥ 7k , откуда l > k. Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.

в) Подставим k + l + m = 44 в правую часть равенства 4k −8l = − 3(k + l + m):
4k − 8l = −132, откуда k = 2l − 33 . Так как k + l ≤ 44 , получаем: 3l − 33 ≤ 44;
3l ≤ 77; l ≤ 25; k = 2l − 33 ≤17, то есть положительных чисел не более 17.

Приведём пример, когда положительных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз написано число 4, 25 раз написано число −8 и 2 раза написан 0. Тогда ; указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: а) 44; б) отрицательных; в) 17.

 

---