17. Окружность и круг

Основнóй госудáрственный экзáмен ОГЭ Математика задание №17 Демонстрационный вариант 2018-2017 Найдите длину хорды окружности радиусом 13 см, если расстояние от центра окружности до хорды равно 5 см. Ответ дайте в см.

Решение:

АВ – хорда, О – центр окружности, ОН – расстояние от центра до хорды.
Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, провененного из этой точки на прямую, значит ОН – высота треугольника АОВ.

 

 

 

 

 

 

 

Треугольник АОВ равнобедренный, АО = ОВ как радиусы окружности, АВ – основание. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой, значит АН = ВН.
Так как ВН – высота, то треугольник АНО прямоугольный. По теореме пифагора найдем катет АН:

132 = 52 + x2

x+x = 12+12 = 24

Ответ: 24

Демонстрационный вариант Основнóй госудáрственный экзáмен ОГЭ 2016 г.  – задание №10 Модуль «Геометрия»

На окружности по разные стороны от диаметра  взяты точки  и . Известно, что  . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Решение:

Дуга ANB равна дуге AMB, и обе равны 180°, т.к. AB – диаметр. /NBA является вписанным в окружность углом, следовательно (по теореме о вписанном угле) дуга AN равна 63°*2=126°. Тогда дуга NB равна 180°-126°=54° /NMB – тоже вписанный в окружность, следовательно он равен 54°/2=27° Ответ: /NMB=27°

Ответ: 27

Демонстрационный вариант Основнóй госудáрственный экзáмен ОГЭ 2015 г.  – задание №10

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 132°, угол CAD равен 80°. Найдите угол ABD.

Решение:

Угол CAD и угол CBD — вписанные углы, опираю­щие­ся на одну дугу, а значит, они равны 80°. Следовательно:

∠ABD=∠ABC-∠CBD=132°-80°=52°

Ответ: 52

Источник: Основнóй госудáрственный экзáмен ОГЭ-2017. Математика. 30 вар.ред. Ященко И.В.

1) Радиус вписанной в квадрат окружности равен 4. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Решение: Так как это квадрат , то радиус описанной окружности будет определяться :

R=√(4√2)2 +(4√2)2=√16×2+16×2= √64=8.

Ответ: 8.

2) Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 12. Найдите высоту этого треугольника.

Решение: В силу того, что в равностороннем треугольнике медианы и высоты совпадают и делятся в точке пресечения в отношении 2:1, считая от вершины, радиус вписанной в него окружности в 3 раза меньше его высоты. Потому искомая высота в три раза больше радиуса: 12*3 = 36.

Ответ: 36.

3) Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник,

Равен 14. Найдите высоту этого треугольника.

Решение: Высота равностороннего треугольника – она же медиана. Медиана в точке пересечения медиан (центр окр.) делится в отношении 2:1.
На радиус впис. окр. приходится 1 часть , а на всё остальное (радиус описанной окр.) приходится 2 части.
Вся высота (медиана) равна 3*14=42.

Ответ: 42.

4) Площадь круга равна 90. Найдите площадь сектора этого круга, центральный угол которого равен 60.

Решение: 360:60=6 (раз)
90:6= 15 (площадь сектора)

Ответ: 15.

5) Площадь круга равна 112. Найдите площадь сектора этого круга, центральный угол которого равен 45.

Решение: 360 : 45 = 8 ( раз )
112 : 8 = 14 ( площадь сектора )

Ответ: 14.

6) Радиус вписанной в квадрат окружности равен 2. Найдите радиус окружности описанной около этого квадрата.

Решение: R=а/2. а=4.Радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата 8:2=4

Ответ: 4.

7) Угол А четырехугольника АВСD, вписанного в окружность, равен 48. Найдите угол С этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение: сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180 градусов отсюда следует угол С равен 180-48=132.

Ответ: 132.

8) Окружность с центром в точке О описана около равнобедренного треугольника АВС, в котором АВ=ВС, АВС=107. Найдите величину угла ВОС. Ответ дайте в градусах.

Решение: Угол ВОС опирается на дугу ВС, и угол ВАС опирается на дугу ВС. Угол ВАС является углом при основании равнобедренного треугольника АВС и может быть вычислен (180 – 107) : 2 = 73 : 2 = 36,5 (градуса). Угол ВОС является центральным, а значит он равен двум вписанным углам опирающимся на ту же дугу. Значит, угол ВОС равен 73 градуса.

Ответ: 73.

9) Окружность с центром в точке О описана около равнобедренного треугольника АВС, в котором АВ=ВС, ∠АВС=177. Найдите величину угла ВОС. Ответ дайте в градусах.

Решение: Центр описанной окружности располагается на пересечении серединных перпендикуляров треугольника. Так как треугольник равнобедренный, то биссектриса и серединный перпендикуляр, проведенные к основанию, совпадают. Следовательно, BO – биссектриса угла ABC. Тогда: ∠CBO=∠ABC/2=177°/2=88,5° Треугольник OBC – равнобедренный, так как OB и OC – радиусы окружности и следовательно равны. По свойству равнобедренного треугольника: ∠CBO=∠BCO=88,5° По теореме о сумме углов треугольника: 180°=∠CBO+∠BCO+∠BOC 180°=88,5°+88,5°+∠BOC ∠BOC=3°

Ответ: 3.

10) Угол А четырехугольника АВСD, вписанного в окружность, равен 82. Найдите угол С этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение: сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180 градусов отсюда следует угол С равен 180-82=98.

Ответ: 98.