Доказательство теоремы о представлении дзета-функции Дедекинда
Содержание
Введение
Глава 1. Теорема о представлении дзета-функции Дедекинда произведением L-рядов Дирихле
Глава 2. Вывод функционального уравнения дзета-функции Дедекинда
Заключение
Список используемой литературы
Введение
В данной работе мы рассмотрим теорему о представлении дзета-функции Дедекинда в виде произведения L-функций и пример приложения этой теоремы к выводу функционального уравнения дзета-функции Дедекинда.
Определим некоторые понятия. Пусть k - конечное расширение поля Q, a - некоторый главный идеал поля k. Рассмотрим его разложение на простые идеалы
где
для почти всех p.
Через N (a) обозначим абсолютную
норму идеала a, т.е.
Определим
дзета-функцию Дедекинда
:
Кроме того каждому характеру сопоставим L-ряд
Глава 1. Теорема о представлении дзета-функции Дедекинда произведением L-рядов Дирихле
Докажем следующую теорему
Теорема. Пусть K - конечное абелево расширение поля k; тогда
где произведение справа
распространяется на все примитивные
характеры, согласованные с характерами
группы классов
где S - исключительное множество в k,
- группа всех идеалов поля k, взаимно
простых с S,
- подгруппа конечного индекса, образованная
теми элементами из
,
которые содержат нормы относительно k
идеалов из K, взаимно простых с S,
- подгруппа в подгруппе главных идеалов
в,
состоящая из таких главных идеалов
,
для которых
и
Доказательство проводится в терминах локальных множителей, причем мы рассмотрим по отдельности неразветвленный и разветвленный случаи.
Пусть p - неразветвленный простой идеал из k, т.е.
где
- различные простые идеалы в K. Согласно
теории полей классов,
где
Поэтому соответствующий локальный множитель слева равен
в то время как соответствующий локальный множитель справа равен
Ввиду того, что f - наименьшее
положительное число такое, что
для всех
,
имеет место следующее легко проверяемое
тождество
отсюда, если положить
,
следует нужное равенство.
2. Доказательство для разветвленных простых идеалов сложнее и использует функциональные уравнения, которым удовлетворяют различные L-функции. Начнем с равенства
и докажем, что функция
тождественно
равна единице.
равна
произведению конечного числа выражений
вида
соответствующих разветвленным идеалам p.
теорема дзета функция дедекинд
Если это произведение
непостоянно, оно имеет полюс или нуль
в некоторой чисто мнимой точке
,
где
.
В силу функционального уравнения
представляет
собой отношение гамма-функций и,
следовательно, имеет только вещественные
нули и полюсы. Поэтому
,
также является полюсом или нулем функции
g. Мы знаем, однако, что
не является нулем или полюсом ни для
L-рядов, ни для функций
.
Следовательно, g постоянна, а именно
равна 1.
Глава 2. Вывод функционального уравнения дзета-функции Дедекинда
Пусть k=Q,
K=Q (
),
где
- первообразный корень из 1 степени m,
.
Тогда
(1)
где
- дзета-функция Римана,
- L-функция Дирихле, произведение справа
распространяется на все неглавные
рациональные характеры по модулю m.
Выведем функциональное
уравнение
Воспользуемся функциональным
уравнением для
:
,
где
сумма
Гаусса. Воспользуемся (1), получим
,
,
используя свойство сумм Гаусса, получим
,
.
Пусть для любого вещественного
характера
,
тогда
,
.
Известно, что для каждого комплексного характера существует сопряжённый, тогда получим
,
,
,
.
Используя функциональное уравнение для дзета-функции Римана:
получим
где D - дискриминант поля K.
Таким образом мы получили
функциональное уравнение для дзета-функции
Дедекинда в случае, когда k=Q,
K=Q ().
Заключение
В данной работе мы доказали
теорему о представлении дзета-функции
Дедекинда в виде произведения L-функций
и с помощью этой теоремы вывели
функциональное уравнение дзета-функции
Дедекинда в случае k=Q,
K=Q (),
где
- первообразный корень из 1 степени m.
Список используемой литературы
Касселс Дж., Фрёлих А. Алгебраическая теория чисел. - М., "Мир", 1969, с.328 - 330