Функция плотности распределения
Задание
-
номер интервала
границы интервалов t
частота m
свыше
до(включительно)
1
57,997
57,999
2
2
57,999
58,001
2
3
58,001
58,003
8
4
58,003
58,005
25
5
58,005
58,007
33
6
58,007
58,009
50
7
58,009
58,011
65
8
58,011
58,013
71
9
58,013
58,015
32
10
58,015
58,017
37
11
58,017
58,019
26
12
58,019
58,021
6
13
58,021
58,023
3
Определение теоретической функции плотности распределения. Графическое изображение эмпирического и теоретического распределений
плотность распределение доверительный математический ожидание
При построении гистограмм и полигонов по оси абсцисс откладывают значения результатов измерений (середины интервалов x>i>), по оси ординат – частности появления результатов измерения в каждом i-м интервале.
Из-за ограниченности числа результатов
измерений при обработке вместо
математического ожидания и дисперсии
получают их приближенные оценки–
соответственно эмпирическое среднее
и эмпирическую дисперсию S2,
характеризующие средний результат
измерений и степень разброса измерений.
и S2 определяются
из выражений:
Значения вероятности попадания результата измерения в конкретный интервал можно определить, используя значения функции:
,
где
.
Тогда вероятность попадания результата в i-й интервал величиной h
.
Внесем все вычисления в таблицу и на основании полученных результатов построим кривую теоретического распределения, а так же гистограмму и полигон эмпирического распределения:
|
Середина интервала x>i> |
Эмпирич. частости P’>i> |
m>i>x>i> |
x>i>- |
z>i> |
m>i>x>i>2 |
φ>i>(z) |
P>i> |
|
|
57,998 |
0,006 |
115,996 |
-0,01285 |
2,874965 |
6727,536 |
0,006399 |
0,002863 |
|
|
58 |
0,006 |
116 |
-0,01085 |
2,4275 |
6728 |
0,020956 |
0,009377 |
|
|
58,002 |
0,022 |
464,016 |
-0,00885 |
1,980034 |
26913,86 |
0,056179 |
0,025138 |
|
|
58,004 |
0,069 |
1450,1 |
-0,00685 |
1,532569 |
84111,6 |
0,123277 |
0,055162 |
|
|
58,006 |
0,092 |
1914,198 |
-0,00485 |
1,085103 |
111035 |
0,221427 |
0,099081 |
|
|
58,008 |
0,139 |
2900,4 |
-0,00285 |
0,637638 |
168246,4 |
0,325553 |
0,145674 |
|
|
58,01 |
0,181 |
3770,65 |
-0,00085 |
0,190173 |
218735,4 |
0,391793 |
0,175314 |
|
|
58,012 |
0,197 |
4118,852 |
0,00115 |
0,257293 |
238942,8 |
0,385954 |
0,172701 |
|
|
58,014 |
0,089 |
1856,448 |
0,00315 |
0,704758 |
107700 |
0,311212 |
0,139257 |
|
|
58,016 |
0,103 |
2146,592 |
0,00515 |
1,152223 |
124536,7 |
0,20541 |
0,091914 |
|
|
58,018 |
0,072 |
1508,468 |
0,00715 |
1,599689 |
87518,3 |
0,110976 |
0,049658 |
|
|
58,02 |
0,017 |
348,12 |
0,00915 |
2,047154 |
20197,92 |
0,049077 |
0,02196 |
|
|
58,022 |
0,008 |
174,066 |
0,01115 |
2,494619 |
10099,66 |
0,017765 |
0,007949 |
|
|
Сумма |
20883,91 |
1211493 |
-
=58,01085
S2=
1,99775E-05
S=
0,00446962
Критерий согласия эмпирического и теоретического распределений
Считают, что эмпирическое распределение хорошо согласуется с теоретическим, если (1 - ) больше 0,1. Согласно критерию Колмогорова, сравнивают эмпирические и теоретические значения, но уже не плотности распределения, а интегральной функции. Значение максимальной (по абсолютной величине) разности между ними D>N> подставляют в выражение:
,
где N – объем выборки.
Вычисление эмпирических F’>i> и теоретических F>i> значений интегральной функции производим путем последовательного суммирования соответственно значений P’>i> и P>i>. Результаты вычислений сведены в таблицу:
-
Номер интервала
P>i>
P’>i>
F>i>
F’>i>
Fi-Fi'
1
0,002863
0,005556
0,002863
0,005556
0,002692
2
0,009377
0,005556
0,01224
0,011111
-0,00113
3
0,025138
0,022222
0,037379
0,033333
-0,00405
4
0,055162
0,069444
0,092541
0,102778
0,010237
5
0,099081
0,091667
0,191622
0,194444
0,002823
6
0,145674
0,138889
0,337295
0,333333
-0,00396
7
0,175314
0,180556
0,512609
0,513889
0,00128
8
0,172701
0,197222
0,68531
0,711111
0,025801
9
0,139257
0,088889
0,824566
0,8
-0,02457
10
0,091914
0,102778
0,91648
0,902778
-0,0137
11
0,049658
0,072222
0,966138
0,975
0,008862
12
0,02196
0,016667
0,988098
0,991667
0,003568
13
0,007949
0,008333
0,996048
1
0,003952
D>N>= F'>8 >– F >8>= 0,025801,
N=m>i>=360,
Тогда получаем:
λ= 0,48953
Для >N>=0,52 0,05 (1 – 0,05)=0,95 >0,1.
Отсюда можно сделать вывод: согласие эмпирического распределения с нормальным теоретическим можно считать хорошим.
Определение доверительных интервалов
В ряде задач, особенно при малом числе измерений, требуется не только найти эмпирическую оценку для того или иного параметра, но и определить доверительный интервал, в котором с доверительной вероятностью будет находиться теоретическое значение параметра.
Доверительный интервал для математического ожидания определяем из выражения:
интегральный доверительный интервал математический ожидание
Значения t>γ> табулированы и равняется t>γ> = 2,18 для N=13 и γ*=0,95.
58,00814756 <M< 58,01355244
Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения определяем из выражения:
Значения χ>1>2, χ>2>2 табулированы и определяется в зависимости от числа измерений N и односторонних вероятностей γ>1>, γ>2>:
Значение χ>1>2 определяем при вероятности (1- γ>1>), χ>2>2 – при γ>2>.
χ>1>2=24,1 χ>2>2=4,18
И тогда
-
0,003024897
<σ<
0,008194587
4. Определение диапазона рассеивания значений
Определение границ диапазона рассеивания значений по результатам измерений, при вероятности риска 0,0027 .
М
=58,01085
S> >=0,00446962
М-3
57.997442
М+3
58.024258
Определение границ диапазона рассеивания значений по результатам измерений, при допускаемом значении вероятности риска 2β=0,001
М±
σ
=0,4995
при этом
=3,29
(по справочнику)
М-3,29=57,996146
М+3,29=58,025554
Список использованной литературы
Зябрева Н.Н. и др. Пособие к решению задач по курсу "Взаимозаменяемость, стандартизация и технические измерения". Учеб. Пособие для вузов. М., "Высш. школа", 1977.