Теорема Силова

Оглавление

Введение

Глава I. Дополнительные сведения

1.1 Вспомогательные понятия и утверждения

1.2 Смежные классы по подгруппе и теорема Лагранжа

1.3 Нормальные подгруппы. Классы сопряженных элементов

1.4 Нормализатор множества в группе. Центр группы

1.5 Теоремы о гомоморфизмах

Глава II. Теорема Силова

2.1 Первая теорема Силова

2.2 Вторая и третья теорема Силова

2.3 Описание групп порядка pq

2.4 Примеры силовских подгрупп

Заключение

Список литературы

Введение

В наши дни не без основания говорят об “алгебраизации” математики, то есть о проникновении идей и методов алгебры, как в теоретические, так и в прикладные разделы всей математики.

В соответствии с принципом “важны не математические объекты, а отношения между ними” алгебра определяется как наука об алгебраических операциях, выполняемых над элементами различных множеств. Сами алгебраические операции выросли из элементарной арифметики. В свою очередь на основе алгебраических соображений получаются наиболее естественные доказательства многих факторов из “высшей арифметики” – теории чисел. теорема силов лагранж

Одной из основных типов алгебраических систем является группа. Теория групп изучает в самой общей форме свойства алгебраических операций, наиболее часто встречающихся в математике и её приложениях. Понятие группы явилось исторически одним из первых примеров абстрактных алгебраических систем и послужило во многих отношениях образцом при перестройке других математических дисциплин на рубеже XIX-XX веков, в результате которой понятие математической системы стало основным в математике.

В ряду алгебраических дисциплин составляющих совокупности, то, что иногда называют общей алгеброй, теория групп занимает, бесспорно, первое место как наиболее развита из этих дисциплин. Кроме того, теория групп представляется как область алгебры близко соприкасающийся с рядом других алгебраических теорий.

Старейшей и интенсивно развивающей ветвью теории групп, является теория конечных групп. Теорема Силова является краеугольным камнем в теории конечных групп.

Целью данной дипломной работы является изучение силовских р-подгрупп конечной группы и их свойств.

Цель обусловила постановку и решение следующих задач.

1. Изучить основные понятия теории групп.

   Рассмотреть теорему Силова и проанализировать различные способы доказательства.

   Представить данную тему в развернутой форме, которая в последствии может быть использована при чтении спецкурсов по теории групп.

Поставленные задачи определили структуру дипломной работы, которая состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.

В первой главе собраны вспомогательные понятия и теоремы, используемые в работе, что позволило сделать изложение более доступным и замкнутым.

Во второй главе дается определение р-подгруппы, доказываются теоремы Силова, дается описание групп порядка pq и, кроме того, приводиться примеры силовских р-подгрупп.

Глава I. Дополнительные сведения

1.1 Вспомогательные понятия и утверждения

Непустое множество G с заданной на нем бинарной алгебраической операцией * называется группой, если выполнено следующие условия:

замкнутость – для любого a,bG элемент ab G;

ассоциативность – для любых a,b,c G справедливо равенство (ab)c=a (bc) ;

существование нейтрального элемента – для любого aG существует элемент eG такой, что ae = ea=a;

существование обратного элемента – для любого существует элемент a^-1G такой, что aa^-1=a^-1a=e.

Подмножество H группы G называется подгруппой, если относительно операции определенной во всей группы подмножество само является группой.

Предложение 1.1.1. Если подмножество H элементов группы G содержит вместе с двумя элементами a, b их произведение ab и вместе с каждым элементом a его обратный a^-1, то H есть подгруппа G.

Доказательство. Надо лишь показать, что H обладает единицей, но единица G равна aa^-1 при aH и, следовательно, принадлежит H согласно условиям предложения. ■

Группа <G , > называется циклической, если она состоит из всех целых степеней одного элемента aG, то есть G={aⁿ | nℤ} и обозначается G=<a> – циклическая группа, порожденная элементом a .

Теорема 1.1.2. Всякая подгруппа циклической группы сама является циклической группой.

Доказательство. Действительно, если подгруппа H группы G=<g> содержит только нулевую степень элемента g, то в H имеется только один элемент – единица e группы G (поскольку g⁰=e). В этом случае, очевидно, H=<e>.

Если же в подгруппе H содержится какая-нибудь ненулевая степень элемента g, то в ней содержится и некоторая положительная степень g, так как вместе со всяким элементом g^k в подгруппу H входит и обратный ему элемент g^–k. Пусть n – наименьшая из положительных степеней элемента g, содержащихся в H, и h=gⁿ. Покажем, что H=<h>, то есть, что H исчерпывается различными степенями элемента h:

…, h^-2, h^-1, h⁰=e, h¹, h², ….

Допустим противное, получим, что в H содержится элемент g^s и s не делиться на n. Но тогда s можно представить в виде nq+r, где 0<r<n, откуда g^s=(gⁿ)^qg^r=h^qg^r. Значит, и элемент h^–q(h^qg^r)=g^r содержится в H, а это противоречит тому, что n – наименьшая из положительных степеней элемента g, содержащихся в H. ■

Из этого рассуждения следует, в частности, что любая подгруппа аддитивной группы ℤ целых чисел является либо единичной подгруппой H={0}, состоящей из единственного элемента 0, либо подгруппой H_>n>, состоящей из чисел, кратных некоторому целому числу n≥1:

…,-2n, -n, 0, n, 2n, ….

Напомним, что две группы G и G' с операциями  и  называется изоморфными, и обозначаются G  G', если существует отображение f: G G' такое, что:

f(ab)=f(a) f(b) для любых a, bG – отображение f сохраняет выполнимость операций в G и G', то есть отображение f –гомоморфно.

f – взаимнооднозначно.

Теорема 1.1.3. 1) Любая бесконечно циклическая группа изоморфна аддитивной группе целых чисел ℤ.

2) Любая конечно циклическая группа порядка n изоморфна аддитивной группе классов вычетов по модулю n.

Доказательство. 1) Определим отображение φ: G →ℤ, где φ(aⁿ)= n, тогда:

Так как все целочисленные степени элемента a различны, то отображение φ(aⁿ)=n является биективным или взаимнооднозначным.

b) Сохраняются операции во множествах: φ(aⁿa^k) = n+k = φ(aⁿ)+φ(a^k).

Таким образом, 1) доказано.

2) G={e, a¹,…,a^n–1} – циклическая группа. Определим отображение φ таким образом: G →ℤ_>n>, где φ(a^k)= для любого a^k из группы G, где k принимает значения от 0 до n-1.

Тогда двум равным элементам из группы G соответствуют два равных элемента из ℤ_>n>: из того, что a^m = a^k  a^m-k = e  m-k : n, по определению, m=k (mod n) 

b) Сохраняется выполнимость операций в группах: (a^ka^m)=(a^k+m)= === φ(a^m)+φ(a^k). ■

Теорема 1.1.4. Пересечение любого множества подгрупп есть подгруппа.

Доказательство. Пусть A и B – подгруппы группы <G,*>. Докажем, что H=AB – подгруппа.

Замкнутость H относительно умножения.

a,bH 

2)

3) aH=A ■

Если M – произвольная часть группы G, то пересечение (M) всех подгрупп, содержащих M, называющиеся подгруппой, порожденной множеством M, а само M – порождающим множеством подгруппы (M). Иногда говорят, что элементы множества M являются порождающими элементами подгруппы (M). Группа, обладающая конечным порождающим множеством, называется конечно порожденной. ■

Теорема 1.1.5. Если M – подмножество группы G, то

(M) = .

Доказательство.

Обозначим правую часть через H, так как подгруппа (M) содержит все a_>i>_> >из M, то (M) H. С другой стороны, HHH, H^-1H, поэтому H – подгруппа, содержащая M. Отсюда H (M) и окончательно H=(M). ■

Если каждое соотношение в группе G относительно порождающего множества M является следствием из некоторого множества соотношений Ф, то Ф – называют определяющим множеством соотношений группы G относительно порождающего множества M. Группы, имеющие конечное число определяющих соотношений, называются, конечноопределенными. Именно такие группы часто возникают в приложениях теории групп к геометрии и топологии. Иногда определяющие соотношения таковы, что элементам группы удается дать некоторую каноническую запись, и умножение элементов в канонической записи не представляет труда. Рассмотрим примеры этого рода.

Пример 1. Группа задана двумя образующими a и b, связанными соотношениями a²=1 (то есть a=a^-1), b³=1 и aba=b². Очевидным следствием из этих соотношений является ab²a=b. Последние два соотношения можно записать в форме ba=ab² и b²a=ab. Эти соотношения позволяют переносить образующий a через b или b² справа налево, заменяя b на b² и b² на b. Это позволяет записать любой элемент группы в форме a^kb^m при k=0,1 и m=0,1,2. Рассматривая элементы этого вида формально, с правилами умножения, вытекающими из правила переноса a справа налево и условий a²=1 и b³=1, нетрудно проверить, что символы a^kb^m действительно образуют группу. Она конечна, её порядок равен 6. Легко видеть, что она изоморфна симметрической группе S_>3> подстановок из трех элементов. Изоморфизм дается соответствием a (1,2), b (1,2,3).

Пример 2. Группа задана двумя образующими c, a и соотношениями a²=1 и aca=c^-1. Здесь образующий c свободен, то есть порождает бесконечно циклическую группу. Очевидным следствием из этих соотношений является ac^ma=c^–m при любом целом m. Из соотношения ac^ma=c^-m следует правило переноса образующего a справа налево, именно, c^ma=ac^-m. Это правило позволяет записать любой элемент группы в виде a^kc^m при k=0,1 и любом целом m. Легко проследить, что символы a^kc^m при умножении с правилами, обусловленными соотношениями a²=1 и c^ma=ac^-m, действительно образуют группу.

1.2 Смежные классы по подгруппе и теорема Лагранжа

п.1. Пусть в группе G дана подгруппа H. Если a есть произвольный элемент из G, то произведение aH называется левым смежным классом группы G по подгруппе H, определенным элементом a. Аналогично дается определение правого смежного класса.

Представление группы G в виде объединения левых (правых) смежных классов по подгруппе H называется левосторонним (правосторонним) разложением группы G по подгруппе H.

G=.

Любые два левых (правых) смежных класса по одной и той же подгруппе либо не пересекаются, либо совпадают.

Предположим, что  докажем, тогда что .

Имеем,  следовательно, существует , такой что . Тогда, так как существует такой что, следовательно .

Пусть y произвольный элемент группы H. Тогда элементы xy и x^–1 yH. Поэтому элемент cy=(ax)y=a(xy)аH, а элемент ay=(cx^–1)y= =c(x^–1y) cH, так как каждый элемент из cH содержится в aH и наоборот, то aH=cH. Аналогично так же bH=cH и, следовательно, aH=bH.

Аналогично доказывается условие совпадения правых смежных классов: . ■

Любые два левых (правых) смежных класса по одной и той же подгруппе содержат одинаковое количество элементов.

В самом деле, докажем, что произвольный смежный класс aH содержит столько же элементов, сколько их в подгруппе H. Имеем:

,

.

Рассмотрим отображение φ: gH→H по правилу φ(gh_>i>)=h_>i> для любого h_>i>H. Заметим что

φ – отображение, то есть .

Действительно, .

отображение φ взаимно однозначно, что доказывает проведение предыдущих рассуждений в обратном порядке.

φ – отображение на H. В самом деле, прообразом произвольного элемента hH является элемент ghgH: φ(gh)=h. Итак, φ – взаимно однозначное отображение gH на H, отсюда следует, что gH и H содержат одинаковое количество элементов. ■

Если группа G состоит из конечного числа элементов, то она называется конечной группой, а число элементов в ней порядком группы.

Теорема 1.2.1. (Лагранжа) Порядок подгруппы конечной группы является делителем порядка группы.

Доказательство. Пусть H – подгруппа конечной группы G и – множество всех различных левых смежных классов группы G по подгруппе H. Тогда,

G=. (1)

Причем любые два смежных класса, входящие в это объединение, не пересекаются, как было отмечено выше. Поэтому если n – число элементов множества G и m – число элементов множества H, то есть число элементов в каждом левом смежном классе, то в силу (1), получаем или , где индекс – количество смежных классов в разложение (1). Теорема доказана. ■

Следствие 1. Порядок элемента конечной группы, является делителем порядка группы.

Доказательство. Пусть G – конечная группа, а его элемент порядка m. Тогда циклическая группа, порожденная элементом порядка m, имеет тоже порядок m, то есть . Отсюда по теореме 1.2.1. m является делителем порядка всей группы G. ■

Следствие 2. Пусть G – группа простого порядка, тогда G – циклическая группа (изоморфна ℤ_> >_>p>).

Доказательство. Действительно, группа G совпадает с циклическойподгруппой порожденной любым её отличным от е, элементом.

п.2. Покажем, что теорему Лагранжа нельзя обратить, то есть не для любого делителя m порядка группы существует подгруппа порядка m. Например, знакопеременная группа A_>4> – подстановок четной степени не содержит подгруппы порядка 6. Хотя число 6 делит её порядок равный 12. Докажем это, предварительно сформулируем утверждение.

Произвольная группа порядка 6 либо изоморфна ℤ_>6>, либо изоморфна группе S_>3>.

Доказательство. Пусть G – отличная от единичной группа,

, тогда по следствию теоремы Лагранжа, все элементы искомой группы могут иметь порядки 1, 2, 3, 6. Рассмотрим три случая.

Если элемент порядка 6, тогда данная группа циклическая, изоморфна ℤ_>6>.

Все неединичные элементы имеют порядок 2. Тогда группа G – абелева.

Пусть для любого элемента aG выполняется условие a²=e. В этом случае, если b также элемент группы G, то верно равенство:

(ab)²=e, откуда, (ab)(ab)=e и a(ba)b=e Умножим полученное равенство слева на a, справа на b, получим ba=ab. Отсюда вытекает, что группа G– абелева.

Пусть a,b элементы группы G. Несложно видеть, что множество элементов является подгруппой группы G (достаточно проверить замкнутость и условие существование обратного элемента.) Порядок этой подгруппы равен 4. Этого быть не может по теореме Лагранжа (4 не является делителем 6). Следовательно, этот случай не имеет место.

Все неединичные элементы G имеют порядок 2 или 3 и есть обязательно элемент порядка 3.

Пусть a³=e, тогда a²=b, bG и обозначим за с – четвертый элемент группы G, отличный от трех предыдущих.

Рассмотрим произведение ec, ac, a²c. Покажем, что ac=d, a²c=f –новые элементы группы G.

Если ac=e, то c=a²=b, противоречие с условием

Если ac=a, то c=e, противоречие.

Если ac=a²=b, то a²a^–1=a^–1ac, или a=c, противоречие.

Если ac=c, то a=e, противоречие.

Итак, ac=dG.

Если a²c=e, то c=a противоречие.

Если a²c=a, то c=b противоречие.

Если a²c=a², то c=e противоречие.

Если a²c=c, то a²=e противоречие с условием a³=e.

Если a²c=ac, то a=e противоречие.

Таким образом, группа G состоит из 6 элементов: G=.

Докажем, что c²=e. Действительно, очевидно, что c²≠ c, ac, a²c.

Если было бы c²=a (или c²=a²), то выполняется следующие c³=c²c=ac=d≠e, противоречие с условием, что все элементы группы G имеют либо второй или третий порядок (следовательно, c³=c²c=a²c=f≠e). Таким образом, ни c², ни c³ не равно e, что противоречит условию. Значит c²=e.

Покажем также, что d²=f²=e, то есть c произвольный элемент не входящий в подгруппу , то d²≠a, a²(f²≠a, a²). Не сложно видеть, что d²=(ac)²≠c (иначе d=ac=b), d²=(ac)²≠ac, d²=(ac)²≠a²c=f (иначе f=a²c=b). Таким образом, d²=(ac)²=e и более того, a³=c²=(ac)(ac)=e.

Известно, что симметрическую группу подстановок S_>3>,можно задать двумя образующими и тремя определяющими соотношениями. Следующим образом S_>3>= где в качестве x можно взять подстановку , а в качестве y: .

Следовательно, мы можем утверждать, что . Таким образом, если G группа и , то G изоморфна либо ℤ_>6>, либо S_>3>.

Далее выпишем все элементы группы A_>4> и построим таблицу умножения элементов.

Все 4!=24 перестановки из четырёх символов 1, 2, 3, 4 расположим в таком порядке, чтобы каждая последующая перестановка получалась от предыдущей с помощью одной транспозиции (перемены мест двух символов).

Начнём с перестановки 1, 2, 3, 4. Итак,

.

Так как всякая транспозиция меняет четность перестановки, то в полученном ряду все перестановки, взятые через одну, являются четными (они подчеркнуты).

Теперь уже легко составить все искомые четные подстановки достаточно в каждой из них в качестве первой строки записать перестановку (1234), а в качестве второй строки одну из найденных четных перестановок. Итак,

A_>4>=

.

Строим таблицу умножения.

Таблица 1

e

a>1>

a>2>

a>3>

a>4>

a>5>

a>6>

a>7>

a>8>

a>9>

a>10>

a>11>

e

e

a>1>

a>2>

a>3>

a>4>

a>5>

a>6>

a>7>

a>8>

a>9>

a>10>

a>11>

a>1>

a>1>

a>2>

e

a>4>

a>5>

a>3>

a>7>

a>8>

a>6>

a>10>

a>11>

a>9>

a>2>

a>2>

e

a>1>

a>5>

a>3>

a>4>

a>8>

a>6>

a>7>

a>11>

a>9>

a>10>

a>3>

a>3>

a>7>

a>9>

a>11>

a>8>

a>1>

a>2>

a>5>

a>10>

a>6>

a>4>

e

a>4>

a>4>

a>8>

a>10>

a>9>

a>6>

a>2>

е

a>3>

a>11>

a>7>

a>5>

a>1>

a>5>

a>5>

a>6>

a>11>

a>10>

a>7>

e

a>1>

a>4>

a>9>

a>8>

a>3>

a>2>

a>6>

a>6>

a>11>

a>5>

a>7>

e

a>10>

a>4>

a>9>

a>1>

a>3>

a>2>

a>8>

a>7>

a>7>

a>9>

a>3>

a>8>

a>1>

a>11>

a>5>

a>10>

a>2>

a>4>

e

a>6>

a>8>

a>8>

a>10>

a>4>

a>6>

a>2>

a>9>

a>3>

a>11>

e

a>5>

a>1>

a>7>

a>9>

a>9>

a>3>

a>7>

a>1>

a>11>

a>8>

a>10>

a>2>

a>5>

e

a>6>

a>4>

a>10>

a>10>

a>4>

a>8>

a>2>

a>9>

a>6>

a>11>

e

a>3>

a>1>

a>7>

a>5>

a>11>

a>11>

a>5>

a>6>

e

a>10>

a>7>

a>9>

a>1>

a>4>

a>2>

a>8>

a>3>

Из таблицы 1 видим, что элементами второго порядка будут:

и, кроме того, эти элементы попарно перестоновочны. Заметим, что в A_>4> нет элементов шестого порядка. Действительно, a_>1>=a_>1>a_>1>a_>1>=e элемент третьего порядка,

a_>2>=a_>2>a_>2>a_>2>=e элемент третьего порядка,

a_>3>=a_>3>a_>3>a_>3>=e элемент третьего порядка,

a_>4>=a_>4>a_>4>a_>4>=e элемент третьего порядка,

a_>6>=a_>6 >a_>6> a_>6>=e элемент третьего порядка,

a_>7>=a_>7>a_>7>a_>7>=e элемент третьего порядка,

a_>10>=a_>10>a_>10>a_>10>=e элемент третьего порядка,

a_>11>=a_>11>a_>11>a_>11>=e элемент третьего порядка.

Из приведенных вычислений следует, что в группе A_>4> нет элемента шестого порядка. Следовательно, искомая подгруппа A_>4> не изоморфна циклической группе ℤ_>6>.

Заметим также, что в группе подстановок S_>3> существуют элементы второго порядка, но они не перестановочны. В самом деле, выпишем все элементы симметрической группы.

S_>3>=.

Построим их таблицу умножения.

Таблица 2

	e	s>1>	s>2>	s>3>	s>4>	s>5>
е	e	s>1>	s>2>	s>3>	s>4>	s>5>
s>10>	s>1>	e	s>3>	s>2>	s>5>	s>4>
s>2>	s>2>	s>5>	s>4>	s>1>	е	s>3>
s>3>	s>3>	s>4>	s>5>	e	s>1>	s>2>
s>4>	s>4>	s>3>	e	s>5>	s>2>	s>1>
s>5>	s>5>	s>2>	s>1>	s>4>	s>3>	e

Несложно видеть, что элементы s_>1>, s_>3>, и s_>5> будут элементами второго порядка, но они как видно из таблицы 2 не перестановочны, и, следовательно, никакая подгруппа группы A_>4> не изоморфна группе S_>3>. Утверждение доказано.

1.3 Нормальные подгруппы. Классы сопряженных элементов

Если левостороннее разложение группы G по подгруппе H совпадает с правосторонним, то H называют нормальной подгруппой группы G (нормальный делитель, инвариантная подгруппа) и обозначается . Для любого элемента gG будет выполняться равенство

Hg=gH , (1)

то есть подгруппа H будет перестановочна с каждым элементом группы G.

Пусть H – нормальная подгруппа G. Определим умножение смежных классов формулой:

aH·bH=abH (2)

Ясно, что условие (1) равносильно условию g^–1Hg=H.

Говорят, что элемент, а сопряжен с элементом b посредствам элемента g, если . Часто используют степенные обозначения .

Теорема 1.3.1. Множество всех смежных классов группы G по нормальной подгруппе H относительно умножения (2) является группой, которая называется факторгруппой группы G по H и обозначается G/H.

Доказательство. 1) Ассоциативность умножения классов вытекает из ассоциативности умножение элементов группы. Пусть g_>1>, g_>2>, g_>3> G, тогда

(g_>1>Hg_>2>H)·g_>3>H = (g_>1>g_>2>)H·g_>3>H = g_>1>g_>2>g_>3>H = g_>1>(g_>2>g_>3>)H= =g_>1>H (g_>2>g_>3>)H = g_>1>H·(g_>2>H·g_>3>H).

Единицей в G/H будет смежный класс eH=H, так как HaH=eH·aH=eaH=aH. Аналогично aH·H=aH.

(aH)^–1=a^–1H, так как aH·a^–1H=(aa^–1)H=eH=H. ■

Покажем, что отношение сопряжения на множестве является отношениями эквивалентности. Очевидно, что всякий элемент a сопряжен с самим собой, так как a=e^–1ae.

Кроме того, если элемент G сопряжен с элементом a, то есть b=g^–1ag, то a=gbg^–1. Следовательно, отношение сопряженности симметрично. Наконец, если b=g_>1>^–1ag_>1>, c=g_>2>^–1bg_>2>, то c=(g_>1>g_>2>)^–1a(g_>1>g_>2>), то есть отношение сопряженности элементов транзитивно. Отсюда следует, что всякая группа G распадается на непересекающиеся множества сопряженных между собой элементов или, как говорят, на классы сопряженных элементов. ■

1.4 Нормализатор множества в группе. Центр группы

п.1. В отличие от смежных классов. Классы сопряженных элементов не все равномощны. При вычисление их мощностей решающую роль играет понятие нормализатора.

Пусть M – подмножество, H – подгруппа группы G. Нормализатором множества M в подгруппе H называется множество:

N_>H>(M)=,

которое, как легко проверить, является подгруппой в H. Если не указано, в какой подгруппе H берется нормализатор, то это означает, что он берется во всей группе G. Очевидно, подгруппа тогда и только тогда нормальна в группе, когда её нормализатор совпадает со всей группой.

Теорема 1.4.1. Если M – подмножество, H – подгруппа группы G, то мощность класса подмножеств, сопряженных с M элементами из H, равна индексу В частности,

.

Доказательство. Отобразим множества M^x, xH, на правые смежные классы группы H по подгруппе N=N_>H>(M), полагая

(M^x)^φ=Nx для xH.

Отображение φ однозначно, так как из M^x=M^y следует Nx=Ny. Отображение φ переводит разные элементы в разные , так как из Nx=Ny следует M^x=M^y. Наконец, φ – отображение на, так как каждое Nx имеет прообраз M^x. ■

Пусть M – подмножество, H – подгруппа группы G. Мы назвали нормализатором M в H совокупность тех элементов из H, которые перестановочны с множеством M в целом. Можно рассмотреть также множество тех элементов из H, которые перестановочны с M поэлементно, то есть

C_>H>(M)=.

Это множество называется централизатором множества M в подгруппе H. Если M состоит из одного элемента, то, конечно, его нормализатор и централизатор в H совпадают. Если не указано, в какой подгруппе H берется централизатор, то это означает, что он берется во всей группе G.

Централизатор всей группы G называется её центром и обозначается Z(G),

Z(G)=.

Очевидно, что группа тогда и только тогда абелева, если она совпадает со своим центром. Ясно, что единица е всегда лежит в центре. Если других центральных элементов группа не содержит, то она называется группа с тривиальным центром. Заметим ещё, что любая подгруппа центра нормальна в группе.

Теорема 1.4.2. Пусть , где p – простое число. Тогда центр Z(G) группы G нетривиальный, то есть содержит неединичные элементы.

Доказательство. Ранее было показано (см. 3), что любая группа G разбивается на не пересекающие классы сопряженных элементов. Среди классов будут одноэлементные образованные элементами центра, причем их число неравно нулю, так как единица е группы G образуют одноэлементный класс.

Пусть число элементов центра равно t. Все элементы, не принадлежащие центру Z(G), порождают классы сопряженных элементов. Обозначим , классы сопряженных элементов содержащие более одного элемента. Число элементов в каждом таком классе есть индекс централизатора любого элемента класса (по теореме 1.4.1. учитывая, что нормализатор и централизатора одного элемента совпадают):

.

Следовательно, по теореме Лагранжа , где .

Тогда , из этого равенства следует, что t делиться на p и так как , то таким образом централизатор Z(G) группы G нетривиален. ■

Далее докажем одно несложное утверждение которое понадобиться в дальнейшем.

Предложение 1.4.3. Фактор группа некоммутативной группы G по её центру Z(G) не может быть циклической.

Доказательство (от противного). Действительно, если G/Z(G) циклическая, то в смежном классе по Z являющимися образующим элементом этой циклической группы. Выберем некоторый элемент а. Подгруппа, порождающая этим элементом вместе с элементами из Z(G) совпадает со всей группой G. Из перестановочности между собой названных элементов следует коммутативность самой группы G –противоречие с условием. ■

Из доказанной выше теоремы 1.4.2 и предложения 1.4.3 вытекает следующее утверждение.

Теорема 1.4.4. Любая группа G порядка p², где p – простое число, коммутативна.

Доказательство (от противного). Пусть G – не коммутативная группа, так как G является p-группой (конечная группа P является p-группой, если ), то её центр не единичен, то есть . Рассмотрим G/Z(G). Порядок G/Z(G) равен p по теореме Лагранжа, следовательно, G/Z(G) – циклическая (см. следствие 2 теоремы Лагранжа) – противоречие с предложением 1.4.3. Таким образом G – коммутативна. ■

п.2. Рассмотрим конструкцию, позволяющую по заданным группам строить новые группы. Одна из самых простых, но важных конструкций состоит в следующем.

Пусть A, B – группы, легко проверить, что множество всех упорядоченных пар (a, b) где , с бинарной операцией является группой. Она называется прямым произведением (внешним) групп A и B. При аддитивной записи групп, естественно говорить о прямой сумме .

Теорема 1.4.5. Пусть G – группа с нормальными подгруппами A и B. Если и AB=G, то .

Доказательство. Из равенства AB=G следует, что любой элемент записывается в виде g=ab, где . Пусть ещё G=a_>1>b_>1>, . Тогда , и . Следовательно, и мы пришли к выводу, что запись однозначна.

Далее, так как то коммутатор ; так как , то , то есть, получаем и, стало быть .

Определим теперь отображение φ из . Полагая для любого . Проверим закон сохранения операции. Согласно выше сказанному:

Это отображение является сюрьективным, ибо G=AB. Более того, отображение φ является взаимно однозначным так как если ab=a_>1>b_>1> при , то, как это мы показали, выше a_>1>=a, b_>1>=b и, следовательно, таким образом φ – удовлетворяет всем свойствам изоморфного отображения групп. ■

Группу G, удовлетворяющую условиям теоремы 1.4.5 принято называть (внутренним) прямым произведением своих подгрупп A, B. Отличие от внешнего прямого произведения состоит в том, что G содержит в качестве прямых множителей сами группы A, B, а не просто их изоморфные копии , .

Последние определение прямого произведения (внутреннего). Можно заменить следующим ему эквивалентным. Группа G есть прямое произведение своих подгрупп , если

Элементы из любых двух подгрупп H_>i> и H_>j>, , перестановочны между собой.

Всякий элемент g и G однозначно записываются в виде произведения

где ,

1.5 Теоремы о гомоморфизмах

Пусть G – группа и P – другая группа. Пусть каждому элементу aG сопоставлен некоторый элемент из S, то есть, дано отображение G и S. Отображение φ называется гомоморфным или гомоморфизмом G в S, если произведение элементов из G соответствует произведение их образов, то есть

φ(a_>1>a_>2>)=φ(a_>1>)φ(a_>2>), где φ(a) – образ aG при отображение φ.

Предложение 1.5.1. Гомоморфным образом φ(G) группы G является группой. Образом единицы группы G является единица образа, и взаимно обратным элементом G соответствуют взаимно обратные образы.

Доказательство. φ(ab)=φ(a)φ(b) означает, что произведение двух элементов из φ(G)φ(G). Ассоциативность следует из ассоциативности в G и S. Равенство φ(a)=φ(1a)=φ(1)φ(a) показывает, что φ(1) есть левая единица для φ(G). А φ(а^–1)φ(а)=φ(а^–1а)=φ(1) показывает, что φ(а^–1) есть левый обратный элемент для φ(а) в φ(G). Это достаточно для заключения, что φ(G) есть группа (так как φ(а)=φ(а 1)=φ(а)φ(1) и φ(а)φ(а^–1)=φ(аа^–1)=φ(1)). ■

Гомоморфизм G в S, при котором различным элементам из G сопоставляется различные элементы в S.

Всякое изоморфное отображение группы G на себя называется автоморфизмом. Если в группе G выбран некоторый элемент а, то отображение, переводящее всякий элемент х этой группы в элемент

а^–1ха, то есть трансформирование всей группы элементов а, будет автоморфизмом группы G. Действительно, из а^–1ха=а^–1ya следует x=y, то есть отображение взаимно однозначно. Равенство х=а^–1(аха^–1)а

показывает, что при этом отображении всякий элемент группы будет образом некоторого элемента. Из соотношения a^–1xa· a^–1ya=a^–1(xy)a

следует изоморфизм рассматриваемого отображения. Такой автоморфизм группы G называется её внутренним автоморфизмом.

Пусть φ – гомоморфное отображение группы G на группу S. Множество всех элементов из G, имеющих один и тот же образ хS, называется полным прообразом элемента х и обозначается φ^–1(х). Полный прообраз единицы группы S называется ядром гомоморфизма.

Предложение 1.5.2. Ядро гомоморфизма φ группы G на группу S является нормальной подгруппой группы G.

Доказательство. Введем обозначение H для ядра. Если aH, то

a^–1H, ибо

φ(a^–1)=(φ(a))^–1=1. Если aH и bH, то abH, ибо φ(ab)=φ(a)φ(b)=1·1=1. Наконец, если aH и cG, то c^–1acH, ибо

φ(c^–1ac)=φ(c)^–1φ(a)φ(c)=φ(c)^–11φ(c)=1. ■

Предложение 1.5.3. В условиях предложения 1.5.2. полные прообразы элементов из S является классами смежности по ядру гомоморфизма.

Доказательство. Если a и b принадлежат одному классу смежности по H, то b=za при zH, тогда φ(b)=φ(z)·φ(a)=1·φ(a)=φ(a). Обратно, если φ(a)=φ(b), то φ(ab^-1)=1, так что ab^-1H, aHb и bHb. ■

Теорема 1.5.4. (первая теорема о гомоморфизме) Гомоморфный образ группы изоморфен её факторгруппе по ядру гомоморфизма.

Доказательство. Между образами при гомоморфизме и элементами факторгруппы имеется взаимно однозначное соответствие, в силу предложения 1.5.3. Оно сохраняется при умножении, ибо

φ((Ha)·(Hb))=φ(Ha)·φ(Hb).

Остается доказать любая ли нормальная подгруппа может быть принята за ядро гомоморфизма. Ответ положительный, так как отображение группы G на факторгруппу G/H по нормальной подгруппе H, заключающиеся в том, что каждому элементу группы G сопоставляется содержащий его класс смежности, есть гомоморфизм, и его ядро совпадает с H (это следует из определения умножение классов смежности как элементов факторгруппы). ■

Предложение 1.5.5. H и K подгруппы группы G и , тогда является подгруппой группы , и .

Доказательство. Пусть причем тогда рассмотрим (hk)^–1= k^-1h^-1 (по одному из основных свойств группы):

, причем , так как поэтому, таким образом, для каждого элемента существует обратный .

Пусть , причем , тогда

где и поэтому , то есть условие замкнутости выполняется, таким образом, в силу предложения 1.1.1. можем считать, что HK является подгруппой группы G.

Кроме того, так как для любого , то Hk=kH, следовательно, HK=KH. Далее для любого элемента имеем . Откуда . ■

Теорема 1.5.6 (об изоморфизме). Пусть G – группа и H и K две его подгруппы. Причём тогда и .

Доказательство. Покажем что подгруппа нормальна в K . Тогда для : , так как и , и по условию , следовательно, для любого k из K и значит . Кроме, того, по предыдущему предложению имеем HK=KH подгруппа группы G и .

Существует сюръективный гомоморфизм , сопоставленный каждому смежный класс группы по подгруппе H. Несложно видеть является ядром гомоморфизма, таким образом, по теореме 1.5.4. получаем:

. ■

Глава II. Теоремы Силова

2.1 Первая теорема Силова

Лемма 2.1.1. Пусть G конечная абелева группа порядка m и p –простое число, делящее m. Тогда G содержит подгруппу порядка p.

Для доказательства данного утверждения нам потребуется некоторые дополнительные понятия.

Пусть G – определена как и выше и a – некоторый элемент группы G натуральное число m такое, что a^m=e называется показателем элемента a. Среди показателей минимальным является порядок элемента a. ■

Лемма 2.1.2. Все показатели элемента делится на его порядок.

Доказательство. Пусть n – порядок элемента a, то есть aⁿ=e, m>0 другой показатель элемента. Тогда по теореме о деление с остатком получаем m=nq+r, 0≤r≤n-1 и a^m=a^nq+r=(aⁿ)^q∙a^r=e∙a^r=a^r, так как 0≤r≤n-1 то r может равняться только нулю и поэтому m=nq и, очевидно, m делится n. Лемма доказана. ■

Показатель группы G называется такое натуральное число m, что x^m=e для любого xG. Порядок группы принадлежит и числу его показателей.

Теперь возвратимся к доказательству Леммы 2.1.1. По условию леммы порядок группы G делиться на p. Если n делиться p, то в силу доказанного выше, в G существует элемент x такой что делиться на p. Пусть , sℤ, тогда x^s≠e x^ps=(x^s)^p=e, то есть элемент x^s имеет порядок p. И, следовательно, порожденная им циклическая подгруппа <x> тоже будет иметь порядок p. Лемма 2.1.1. доказана. ■

Теорема 2.1.3 ( первая теорема Силова). Пусть G – конечная группа порядка n, p – простое число. Тогда

a) (Существование) Для каждой степени p^α (α≥1) делящий n, в G существует подгруппа порядка p^α.

b) (Вложение) Если p^α делит порядок G, то каждая подгруппа порядка

p^α–1из G вложена в некоторую подгруппу порядка p^α из G.

Доказательство. а) Доказательство проведем индукцией по n.

При n=1 теорема очевидна (очевидна также теорема n=2, n=3).

Предположим, что теорема верна для всех групп порядков меньше n.

Далее рассмотрим два случая:

Если Z центр группы G и порядок Z делиться на p. Тогда по лемме 2.1.1. так как Z – абелева группа и его порядок, делиться на p, то в Z существует подгруппа порядка p. То есть существует zZ такое, что , но любая подгруппа центра является нормальной подгруппой, следовательно . Рассмотрим фактор группу .

По теореме 1.2.1 (Лагранжа) или

и, следовательно, порядок делиться на поэтому по индукционному предположению в существует подгруппа порядка , тогда полный прообраз подгруппы , подгруппа P в группе G, по теореме 1.2.1. (Лагранжа) будем иметь порядок : следовательно, P – искомая подгруппа. (i) – доказано.

Порядок k центра Z не делиться на p, то есть НОД(k, p)=1, тогда разобьем G на классы сопряженных элементов. Класс одноэлементен если состоит из элементов центра. Пусть , тогда , где – не одноэлементные классы сопряженных элементов обозначим . Следовательно, так как по условию и НОД(k, p)=1, то хотя бы одно из чисел также должно быть взаимно просто с p.

По теореме 1.4.1. получаем, что если ,то мощность класса сопряженных с g элементов:

,

учитывая что – взаимно просто с p по теореме Лагранжа получаем, что делиться на р^α по индукционному предложению так как порядок N_>G>(g) меньше порядка G, то в N_>G>(g) содержится подгруппа порядка p^α. Вместе с (ii) доказано и а).

b) Пусть и порядок . Обозначим Δ – класс подгрупп сопряженных с P элементами из группы G. Рассмотрим два случая.

Порядок Δ и P взаимно просты, то есть НОД(Δ,P)=1 по теореме 1.4.1. Δ= в силу теоремы Лагранжа, получаем: и, следовательно, Δотсюда следует, так как порядок G делится на , и НОД(Δ,)=1, то поэтому по пункту а): существует подгруппа группы , . Откуда получаем, что полный прообраз подгруппы подгруппа H имеет

p^α-1·p=p^α и .

Порядок Δ делиться на p.

Пусть Δ={P}Δ_>1>…Δ_>m>,_> >Δ – это разбиение на подклассы подгрупп сопряженных с P. Если порядок Δ=m+1, то

Δ=,

Δ=

(Обозначим Δ_>1 >– подклассы подгрупп сопряженных с P_>1>, Δ_>2>_> >– подклассы подгрупп сопряженных с P_>2> и т. д.). Тогда если Q_>i>Δ_>i>, то

Δ= – по теореме 1.4.1. так как по теореме Лагранжа

, то Δ_>i> =p^α, где 0≤α≤α-1.

Откуда Δ= и по условию порядок Δ делиться на p. Следовательно, должно существовать i – такое, что α_>i>=0 и Δ_>i>=1, значит, в подклассе Δ_>i> лежит только одна подгруппа. Пусть Δ_>i>={Q}, тогда для любого pP: p^–1Pp=Q то есть P нормализует Q и . Далее применяя предложение 1.5.5 получаем, что PQ подгруппа группы G, причем . Применяя теорему 1.5.6. (об изоморфизме) имеем . Отсюда по теореме Лагранжа следует . Учитывая, что Q сопряжено с P получаем: , где β >0 (так как если β=0, то и, следовательно , что неверно).

Сейчас применим к подгруппе PQ внутренний, автоморфизм группы G, который пересекает подгруппу Q в Q^g=P. Получаем, что образ подгруппы PQ при этом автоморфизме будет являться подгруппа.

,

причем P будет являться нормальной подгруппой группы P^’P. Рассмотрим фактор группу P^'P/P, , >0. Следовательно, P^'P/P существует, по пункту а) подгруппа порядка p. Тогда полный прообраз подгруппы подгруппа H и будет являться искомой подгруппой порядка . Пункт b) теоремы доказан полностью. ■

2.2 Вторая и третья теорема Силова

Максимальная по вложению p-подгруппа конечной группы G называется силовской p-подгруппой группы G. Из доказанной теоремы вытекает в частности, что силовские p-подгруппы конечной группы, это в точности подгруппы порядка p^t где p^t – максимальная степень p делящий порядок группы.

Теорема 2.2.1. (вторая теорема Силова)

(Сопряженность) Все силовские p – подгруппы группы G сопряжены.

Доказательство. Пусть P – силовская подгруппа, если , где НОД(p,m)=1, то . Пусть, Δ как и раньше класс подгрупп, сопряженных с P элементами из G. Покажем, что если Q симметрическая p – подгруппа, то QΔ. Из теоремы 1.4.1. имеем

Δ=.

По теореме Лагранжа, получаем

ΔΔΔ, НОД(Δ,p), откуда Δ и, следовательно, разобьем Δ на подклассы подгрупп сопряженных между собой элементами из Q: Δ=Δ_>1>∆_>2>…∆_>k>

Если подгруппа SΔ_>i>, то Δ, .

Следовательно, Δ.

Отсюда так как НОД(Δ, то существует i такое что и Δ_>i>={S}. Таким образом, S^q=S и, значит, . Тогда по предложению 1.5.5. подгруппа группы G, . Применяя теорему 1.5.6 (об изоморфизме) получаем: . Откуда получаем . Следовательно, по теореме Лагранжа порядок G делиться , но t – максимальная степень числа p, поэтому α=0 и . Отсюда следует и значит Q=S (так как ). И так Δ, что и требовалось доказать.

Теорема 2.2.2. (третья теорема Силова)

(Количество) Количество силовских p-подгрупп группы G сравнимо с 1 по модулю p и делит порядок G.

Доказательство. Пусть P – силовская p-подгруппа, Δ – класс всех подгрупп сопряженных с p элементами из G.

По теореме 2.2.1. (вторая теорема Силова) Δ совпадает с множеством всех силовских p-подгрупп так как

Δ, по теореме Лагранжа

Δ, то есть порядок G делиться на порядок Δ.

Разобьем Δ на подклассы подгрупп сопряженных между собой элементами из P: Δ={P}Δ_>1>…Δ_>s>, если подгруппа RΔ, то |Δ|=и, следовательно, |Δ_>i>|=, . Если Δ_>i>={R} и . В силу предложения 1.5.5. получаем что RP=PR подгруппы группы G и .

Далее по теореме 1.5.6. (об изоморфизме) получаем , следовательно, так как t – максимальная степень числа p, то n=0, отсюда следует . Противоречие с тем что , поэтому и, следовательно, имеем:

|Δ|=, таким образом, порядок |Δ |=1 (mod p). Теорема доказана. ■

Теорема 2.2.3. Справедливо следующее утверждение:

Силовская р-подгруппа Р группы G нормальна в G тогда и только тогда, когда она единственна.

Конечная группа G порядка является прямым произведением своих силовских -подгрупп в точности тогда, когда все эти подгруппы нормальны в G.

Доказательство: (i) Все силовские подгруппы, отвечающие данному простому делителю р порядка , по второй теореме Силова сопряжены. Условие единственности Р означает, что для любого элемента то есть .

(ii) Докажем вначале

Необходимость. Пусть , где – силовские подгруппы группы G. Тогда в силу теоремы 1.4.5 нормальна в G как любой прямой множитель.

Достаточность. Пусть теперь нормальна в G и , то есть каждая силовская подгруппа единственна в G. Заметим, во первых, что если , , и, следовательно, x=e. Стало быть, отсюда для любых , учитывая, что .

. С другой стороны, так как , то

, отсюда следует, то есть элементы и перестановочны.

Пусть единичный элемент записан в виде , где – элемент порядка . Обозначив и воспользовавшись перестановочностью , получим

(1)

Учитывая, что – это порядок элемента . Из последнего равенства (1) получаем , так как и взаимно просто, то . Это верно при любом j, и, значит равенство возможно лишь при .

С другой стороны каждый элемент порядка , записывается в виде,

, , . (2)

Достаточно положить , где показатели определяются условиями

, .

Предположим теперь, что х допускает другую запись в виде произведения – элементов , то есть справедливо равенство .

Домножим обе части равенства справа на , получим

В силу перестановочности и будем иметь

как было показано выше, влечет равенства , то есть

Таким образом, каждый элемент группы G записывается и притом единственным образом в виде (2), то есть смотри 4 п. 2 ■

2.3 Описание групп порядка pq

Теорема Силова часто дает весьма существенную информацию о данной конечной группе, а группы не очень большие позволяет описать полностью.

Пусть , p и q простые числа.

Рассмотрим первый случай, когда p=q, то есть порядок . Тогда по теореме 1.4.4. G – абелева.

Пусть p и q по-прежнему простые числа, но p<q.

Тогда в группе G по первой теореме Силова существует силовские подгруппы порядка p и q, которые по следствию 2. теоремы Лагранжа будут являться циклическими.

Пусть – силовские p- и q- подгруппы соответственно. По третьей теореме Силова число силовских q- подгрупп в G равно

и делит pq. Откуда следует, что и подгруппа – единственна. В силу теоремы 2.2.3. (i): . Аналогично число силовских p-подгрупп равно и делит pq. Здесь возможно два случая: и .

а) Силовская – единственна, тогда она нормальна в G. Применяя туже теорему 2.2.3., но уже пункт (ii), получаем, что . По теореме 1.1.3. , следовательно, таким образом, в этом случае . ■

в) 1+kp=q, то есть имеется q силовских p-подгрупп. Из условия 1+kp=q следует или . В силу второй теоремы силова подгруппы и сопряжены. Пусть

(1)

Если r=1, то или ba=ab. Из последнего равенства следует, что и значит, как и выше . Пусть и r>1 тогда выясним, какое может быть r удовлетворяющее равенству (1). Из равенства (1) индукцией по x получаем , откуда

, (2)

для всех целых x, y.

При x=p, y=1 из равенства (2) будем иметь вид так как , то получаем или . Известно, что если элемент х группы G имеет порядок n, то тогда и только тогда когда . Следовательно, , то есть или .

Кроме того, из равенства (2) можно получить более общую формулу умножения. Домножим равенство (2) слева на а^х: далее полученное равенство домножаем слева a^z: из полученного равенства умножаем, справа на элемент b^t получаем

(3)

Обратно покажем, что если , и r не сравнимо с 1 по (mod q) то формула (3) определяет неабелеву группу порядка pq.

Таким образом с помощью теоремы Силова мы описали все возможные типы групп порядка pq, при условии, что p<q их оказалось два – абелев и неабелев, причем второй существует только при условии .

2.4 Примеры силовских подгрупп

Пример 1. Если порядок n аддитивной группы кольца вычетов ℤ_>n> имеет каноническое разложение , то, как в 3 ℤ_>n> разлагается в прямое произведение своих силовских p-подгрупп, которые являются циклическими подгруппами , то есть

.

Пример 2. Рассмотрим обще линейную группу над конечными полями GF(q) из q элементов. Напомним, что общей линейной группой GL_>n>(q) называется группа всех обратимых матриц порядка n над полем GF(q). Унитриугольную подгруппу UT_>n>(q) группы GL_>n>(q) составляют все матрицы с нижним нулевым углом и единицами на главной диагонали.

Пусть – простое число, m, n – целые числа и . Покажем, что UT_>n>(q) – силовская р-подгруппа группы GL_>n>(q). Для этого подсчитаем порядки этих групп.

Выясним, какие последовательности из n элементов поля GF(q) могут быть первой строкой невырожденной матрицы. Очевидно, любые кроме нулевой, то есть всего таких последовательностей qⁿ–1 штук. Если первая строка выбрана, то в качестве второй строки можно

взять любую не пропорциональную первой. Таких строк qⁿ–q. Если две первые строки уже выбраны, то в качестве третьей можно взять любую строку, не зависящую линейно от первых двух, это даст qⁿ-q² возможностей и так далее. Значит

,

так как условные элементы матрицы из UT_>n>(q) пробегают независимо друг от друга все поле, а всего условных мест С²_>n>, то . Преобразуем выражение

.

Вынесем из второй скобки равенства – q, из третьей – q² и из n – q^n-1, получим

.

Учитывая, что окончательно получаем,

.

В свою очередь так как, , но .

Теперь из сравнения порядков групп GL_>n>(q) и UT_>n>(q) видем, что UT_>n>(q) силовская p-подгруппа в GL_>n>(q).

Заключение

В процессе выполнения данной дипломной работы были выполнены все поставленные задачи, тем самым цель работы достигнута.

В первой главе были собраны вспомогательные понятия и теоремы, используемые в дипломной работе.

Во второй главе доказываются теоремы Силова и дается описание групп порядка pq.

Материалы данной дипломной работы могут быть использованы при чтении спецкурсов посвященных как теории групп вообще, так и отдельным её разделам.

Список литературы

Варпаховский Ф.Л. и др. Алгебра. Группы, кольца, поля. Векторные и евклидовы пространства. Линейные отображения. – Учебное пособие. – М.: Просвещение, 1978 .

2. Каргополов М.И, Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. – М.: Наука,

1982.

3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. – Учебник для вузов. – М.: Физико-математичекая литература, 2001.

4. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры. – Учебник для вузов. – М.: Физико-математичекая литература,

2001.

5. Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. – Учебник для вузов. – М.: ФИЗМАЛИТ, 2001.

6. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. – Учеб. пособие для педагогических институтов. – М.: Высш. школа, 1979.

7. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1965.

8. Курош А.Г. Теория групп. – М.: Гостехиздат, 1953.

9. Ларин С.В. Лекции по теории групп. – Красноярск, 1994.

10. Ленг С. Алгебра. – М.: Мир, 1968.

11. Ляпин Е.С. и др. Упражнения по теории групп. – М.: Наука, 1967.

12. Нечаев В.А Задачник–практикум по алгебре. – М.: Просвещение, 1983.

13. Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. – Учебное пособие для вузов. – М.:

Наука, 1984.

14. Холл М. Теория групп. – М.: ИЛ, 1962.