Расчет электрических полей при наличии диэлектриков. Поляризованность. Связанный заряд.
Расчет электрических полей при наличии диэлектриков. Поляризованность. Связанный заряд.
М.И. Векслер, Г.Г. Зегря
Уравнения Максвелла
|
(28) |
и уравнение Пуассона
|
(29) |
применимы при наличии любых диэлектриков. Следует только помнить, что ε может зависеть от координат, и его в общем случае нельзя выносить из-под знака div. Если при решении уравнения Пуассона потенциал φ найден на отдельных участках, то "сшивка" осуществляется согласно условиям
|
(30) |
Теорема Гаусса как математический закон не теряет свой силы при наличии диэлектриков, но для ее практического использования не только плотность заряда ρ, но и ε должны иметь высокосимметричное распределение. Например, в случае сферической симметрии ε, как и ρ, должен зависеть только от r.
Интегрирование закона Кулона в системах
с диэлектриками является недопустимым,
за исключением одной искусственной
ситуации. Если ε = const во всем пространстве
(кроме проводников), то в задачах для
вакуума просто заменяем ε0 на произведение
ε0ε. В частности, для точечного заряда
.
Реакция диэлектрика на электрическое поле заключается в поляризации диэлектрика - ориентации дипольных моментов его молекул по полю. Количественно этот эффект тем сильнее, чем выше диэлектрическая проницаемость и чем сильнее поле. Поляризованные молекулы сами являются источниками поля, которое накладывается на внешее поле, что осложняет ситуацию даже при простой геометрии.
|
Задача: Диэлектрический брусок внесен в поле точечного заряда. В какую сторону (качественно) изменится поле на прямой заряд-брусок в сравнении с тем, каким оно было бы при отсутствии бруска?
Решение - Диэлектрический брусок
поляризуется в поле - возникает диполь
,
ориентированный от заряда q, если q>0.
Поле этого диполя накладывается на поле
заряда. Направим ось x от заряда в сторону
диполя и введем вектор
от
диполя в точку, где оценивается поле.
Тогда
,
для
x>xd и
для
x<xd (xd - координата диполя). По формуле
получаем,
что поле диполя
в
любом месте оси x направлено в сторону
ее положительного направления. Это
означает, что при x>0 поле точечного
заряда q, существовавшее без диэлектрика,
возрастет, а при x<0 - уменьшится.
Количественные характеристики поляризации
- вектор поляризованности
и
связанный заряд ρ '.
|
ρ ' |
= |
|
Места локализации связанного заряда:
- там, где есть свободный заряд ρ
- там, где ε≠ const (диэлектрик неоднороден)
σ ' может быть отлична от 0 (т.е. ρ ' = ∞):
- там, где есть σ (например, обкладки конденсатора)
- там, где имеет место разрыв ε (стык диэлектриков).
Суммарный связанный заряд, проинтегрированный по всему объему тела, равен 0 - иначе тело оказывается изначально заряженным.
|
Задача. Найти плотность связанного заряда у границы металла с диэлектриком (ε). Заряд металла σ.
Ответ:
.
Список литературы
1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.
2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.
3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.
Для подготовки данной применялись материалы сети Интернет из общего доступа