Фрактальна розмірність

Міністерство освіти і науки України

Слов'янський державний педагогічний університет

Кафедра фізики

Реферат на тему:

ФРАКТАЛЬНІСТЬ

Підготувала:

Студентка 5 курсу групи 2 - М

Садо Юлія Андріївна

Слов'янськ, 2008

План:

Вступ.

Відкриття фрактальності.

Самоподоба.

Фрактальні властивості в природі.

Типові фрактали

Фрактальна розмірність.

Висновок.

Вступ

Світ, що оточує нас, постійно змінює свій вигляд. Аж ніяк не останній внесок у ці зміни вносить наука, породжуючи нові поняття, нові засоби опису та дослідження звичних або щойно відкритих об'єктів. Понятійний арсенал науки поповнюється часом з надзвичайною швидкістю - так, що вчора ще надійний її інструментарій виявляється застарілим. Інші нові поняття жорстко вибраковуються, і лише минулим сувору перевірку на «виживання» призначено залишити свій слід в науці. Ну а яким-то дано перейти в понятійний базис не тільки «своїй» області знань, але отримати статус міждисциплінарного.

Відкриття фрактальності

Слова «фрактал», «фрактальна розмірність», «фрактальність» з'явилися в науковій літературі порівняно недавно і не встигли ще увійти в більшість словників, довідників і енциклопедій. Придумав слово «фрактал» (від латинського «фрактус» - дробовий, нецілих) наш сучасник, математик Бенуа Мандельброт, зумів відкрити зовсім поруч з нами воістину дивовижний світ, по-новому (або, принаймні, трохи інакше) глянувши на багато, здавалося б, добре знайомі предмети і явища.

Мандельброт звернув увагу на те, що при всій своїй очевидності випадало від його попередників, хоча траплялося на кожному кроці і буквально «лежало на поверхні»: контури, поверхні і обсяги навколишніх предметів не так рівні, гладкі й досконалі, як прийнято думати. Насправді вони нерівні, шершаві, із'язвлени безліччю отворів самої вигадливої форми, пронизані тріщинами і порами, покриті мережею зморшок, подряпин і кракелюр.

В арсеналі сучасної математики Мандельброт знайшов зручну кількісну міру неідеальності об'єктів - звивистості контуру, зморшкуватості поверхні, тріщинуватості і пористості обсягу. Її запропонували два математика - Фелікс Гаусдорф (1868 - 1942) і Абрам Самойлович Безікович (1891-1970). Нині вона заслужено носить славні імена своїх творців (розмірність Хаусдорфа-Безиковича).

Стосовно до ідеальних об'єктів класичної евклідової геометрії розмірність Хаусдорфа-Безиковича давала ті ж чисельні значення, що і відома задовго до неї так звана топологічна розмірність. Але збігаючись зі старою, топологічної, розмірністю на ідеальних об'єктах, нова розмірність володіла більш тонкою чутливістю до всякого роду недосконалостей реальних об'єктів, дозволяючи розрізняти і індивідуалізувати те, що раніше було безлико і невиразно. Для того щоб особливо підкреслити здатність розмірності Хаусдорфа-Безиковича приймати дробові, нецілі, значення, Мандельброт і придумав свій неологізм, назвавши її фрактальної розмірністю. Отже, фрактальна розмірність (не тільки Хаусдорфа-Безиковича, але і будь-яка інша) - це розмірність, здатна приймати не обов'язково цілі значення, фрактал - об'єкт з фрактальної, розмірністю, а фрактальність - властивість об'єкта бути фракталом або розмірності бути фрактальної.

Самоподоба

математика фрактал сніжинка кох

Серед безлічі незвичайних об'єктів, побудованих математиками в кінці XIX - початку XX століття при перегляді основ математики, багато хто опинився фракталами, тобто об'єктами з дробової, або фрактальної, розмірністю Хаусдорфа - Безиковича. Всі вони дуже красиві і часто носять поетичні назви: канторівскої пил, крива Пеано, сніжинка фон Коха, килим Серпінського і т. д. І всі вони мають один дуже важливою властивістю, яке ріднить їх з звичайнісінької прямій. Це властивість називається самоподібністю: всі ці фігури подібні будь-якому своєму фрагменту.

Якщо ви точно так само не зможете відрізнити знімок якого-небудь об'єкта від належним чином збільшеного знімка будь-якого його фрагмента, то перед вами - самоподібних об'єкт. Всі фрактали, які мають хоча б який-небудь симетрією, самоподібних.

Самоподоба означає, що в об'єкта немає характерного масштабу: будь у нього такий масштаб, ви відразу б відрізнили збільшену копію фрагмента від вихідного знімка. Самоподібні об'єкти мають нескінченно багатьма масштабами. Зрозуміло, далеко не всі фрактали мають настільки правильною, нескінченно повторюється структурою. Багато фрактали, що зустрічаються в природі (поверхні розлому гірських порід і металів, хмари, турбулентні потоки, піна, гелі, контури частинок сажі і т. д.), позбавлені геометричної подоби, але вперто відтворюють у кожному фрагменті статистичні властивості цілого. Таке статистичне самоподібність, або самоподібність в середньому, виділяє фрактали серед безлічі природних об'єктів.

Навіть найпростіші з фракталів - геометрично самоподібні фрактали - володіють незвичними властивостями. Наприклад, сніжинка фон Коха має периметром нескінченної довжини, хоча обмежує кінцеву площу. Крім того, вона така колюча, що ні в одній точці контуру до неї не можна провести дотичну (математик сказав би, що сніжинка фон Коха ніде не диференційовна).

Фрактальні властивості в природі

Фрактальні властивості - не примха і не плід дозвільної фантазії математиків. Вивчаючи їх, ми вчимося розрізняти і передбачати важливі особливості навколишніх предметів і явищ, які раніше, якщо і не ігнорувалися повністю, то оцінювалися лише приблизно, якісно, ​​на око. Наприклад, порівнюючи фрактальні розмірності складних сигналів, енцефалограм чи шумів у серці, медики можуть діагностувати деякі тяжкі захворювання на ранній стадії, коли хворому ще можна допомогти.

Метеорологи навчилися визначати за фрактальної розмірності зображення на екрані радара швидкість висхідних потоків у хмарах, що дозволяє з великим випередженням видавати морякам і льотчикам штормові попередження.

Такого роду застосувань фракталів вже зараз існує велика кількість, і число їх усе збільшується. Про один несподіваному застосуванні і не менш несподіваному прикладі природного статистично самоподібного фрактала ми хочемо розповісти трохи докладніше, тим більше що це дає нам можливість звернути увагу на одну надзвичайно важливу обставину, яка зазвичай не беруть до уваги або замовчують, - роль спостерігача і роздільної здатності приладів при визначенні розмірності.

При розборі архіву видатного фахівця з гідродинаміки Луїса Фрая Річардсона серед його паперів були виявлені чернетки дивного дослідження. Кілька перефразовуючи слова Льюїса Керролла, можна сказати, що при переході від географії до дрібних камінцях він виявив необмежену збільшення протяжності берегової лінії. Контури доброї старої Англії вели, себе зовсім не так, як мало би бути евклідової кривої. Але якщо берегова лінія Великобританії не крива, то що це? Тепер відповідь відома: фрактал.

Публікуючи дані Річардсона, Мандельброт привів свої оцінки фрактальної розмірності Хаусдорфа - Безиковича для декількох берегових ліній. Вони коливалися від майже одиниці для порівняно гладкого (погляньте на будь-яку карту!) Південного узбережжя Африки до 1,3 - для західного узбережжя Великобританії і рекордної позначки 1,52 - для порізаного фіордами узбережжя Норвегії.

Типові фрактали

Фрактали можуть бути введені з допомогою динаміки, але це з'ясувалося не відразу. Спочатку вони були введені Бенуа Мандельброт для подання математичних об'єктів, які не мають «природного» масштабу виміру, і виглядають у різних масштабах приблизно однаково. У природі є об'єкти, практично не змінюють свій образ за зміною масштабу. Так, структура берега біля острова або материка на картах різних масштабів завжди характеризується наявністю мисів та заток, а --- рельєфу --- піків і западин. Тому протяжність берега і рельєфу функціонально залежить від масштабу карти. Ця функція називається степеневим законом. На графіку залежності довжини від масштабу карти, побудованому в подвійному логарифмічному масштабі, точки приблизно розташовуються на прямій лінії (Power Law). У цих структур немає природного масштабу, вони є фракталами. Зрозуміло, існують набагато більш складні способи математичного визначення фрактальних моделей, зокрема є випадкове фрактали, мультифракталів та ін [8]. У більш широкому сенсі, практично всі природні межі, в тому числі і фазові переходи, зберігають свою структуру в значному, але кінцевому, діапазоні масштабів. Про такі об'єкти часто говорять, що вони «самоподібних». Однак самоподібність --- занадто загальний термін. Насправді всі реальні об'єкти, що складаються з частин, самоподібних. Фрактали, звичайно, мають самоподібністю, але це математичне самоподібність правильніше називати самоафінностью. Саме присутність прихованої математичної регулярності, необхідної для їх побудови, надає їм незвичайне витонченість. У неповторному розмаїтті химерних форм інтуїтивно вгадується прихований математичний порядок, який робить фрактальні зображення воістину прекрасними [9] Проте тут поки що більше загадок, ніж ясності. Особливо це стосується так званої фрактальної розмірності.

Фрактальна розмірність

Ми вже відзначили, що фрактали визначають ті об'єкти, які не змінюють зі зміною масштабу свою форму, на відміну від звичайних геометричних фігур, таких як трикутник, квадрат, коло та ін Коло, наприклад, при цьому, перетворюється на пряму лінію. У той же час, спеціально створені на початку ХХ століття для демонстрації математичних монстрів, фігури, такі як сніжинка Хельги фон Кох, губка Менгера, або безліч Кантора, а також багато інших, зберігають свою структуру в нескінченному діапазоні масштабів. Математичні фрактали мають дивними рисами: вони мають нескінченну довжину, неперервні, здатні заповнити площину, але ні в одній точці не мають похідної. Порівняння фракталів між собою тому являє собою досить актуальну проблему [10]. Спочатку, для цієї мети Мандельброт запропонував надприродне дробове число, введене Хаусдорфа і Безікович на початку ХХ століття для демонстрації математичних монстрів. У принципі фрактальна розмірність показує ступінь грубості фрактала в порівнянні з чистою, зрозумілою топологічної розмірністю, якою володіють традиційні геометричні фігури. Так, пряма лінія має розмірність 1, а значно більше звивиста лінія морського берега від 1.15 до 1.25. Таке уявлення,, нині перетворилася на ключове властивість аттрактора, управляє різноманітними кількісними особливостями його динаміки. Разом з тим накопичилися і питання. З'ясувалося, наприклад, що існують фрактали, фрактальна розмірність яких визначається цілим числом. Фрактальна розмірність безперервно змінюється, і, в принципі, може бути будь-який, проте поки не вдалося зробити цю характеристику унікальною і використовувати її для ідентифікації фракталів. Дуже багато, зовсім різні фрактали мають однакову розмірність.

Висновок

Сьогодні фрактали з'являються в науці двома різними способами. По-перше, вони можуть виникати як первинний предмет дослідження і як описову засіб при дослідженнях нерегулярних процесів і форм. І, по-друге, вони можуть бути математичними висновками з деякою, що лежить в їх основі, хаотичної динаміки. Тим не менш, багато чого ще залишається неясним. Певною мірою, ми поки не знаємо всього розмаїття фракталів. Ми поки їх відшукуємо у природі, хоча вже існує фрактальна музика, фрактальна живопис та ін Поки ще немає загальної теорії хаосу і фракталів, неясно, як далеко простягаються моделі подібного типу, немає також ясного і загального підходу до визначення фрактальної розмірності та ін У Зокрема, тому ми не можемо з упевненістю стверджувати, чи є даний об'єкт фракталом, чи ні. Це область сучасних досліджень і узагальнень. Тут багато ще питань до математики і математикам.

Список використання літератури:

Матеріали п'ятого Всеросійського постійно діючого наукового семінару "Самоорганізація стійких целостностей в природі і суспільстві".

Данилов Ю.А. «Фрактальность».

Тішин А.І., Егембердіев Т.М. «Фрактальность людини».

Жіков В.В. «Фрактали».