Определение дуальных и двойных чисел
Введение
В настоящее время различные виды комплексных чисел изучаются довольно интенсивно. С учением о комплексных числах связаны важные, не решённые до сегодняшнего дня задачи, над которыми работают учёные во многих странах.
Все системы самых общих комплексных чисел фактически сводятся к следующим трём различным системам: обыкновенные комплексные числа, дуальные числа, двойные числа.
Обыкновенные комплексные числа тесно связаны с вопросом о решении уравнений второй и высших степеней, они играют основную роль в алгебре и во многих разделах математического анализа. Дуальные же и двойные числа не имеют никакого отношения к теории квадратных уравнений с вещественными коэффициентами и вообще сравнительно мало связаны с алгеброй. Основные применения эти числа находят в геометрии (некоторые применения эти системы комплексных чисел находят также в теории чисел).
Основные применения двойных чисел относятся к неевклидовой геометрии Лобачевского и к некоторым другим геометриям, отличным от привычной геометрии Евклида (например, к так называемой псевдоевклидовой геометрии, играющей фундаментальную роль в физической теории относительности).
В нашей работе исследуются дуальные и двойные числа, а также применение этих чисел в геометрии Евклида и в геометрии Лобачевского.
Глава I. Определение дуальных и двойных чисел
1.1 Дуальные числа
Сложение, вычитание и умножение дуальных чисел определяется формулами:
(1)
Последняя из этих формул
показывает, что произведение дуального
числа
на другое число
будет вещественным лишь в том случае,
когда
;
если
,
то последнее равенство можно записать
в виде
.
Вещественным, в частности, является
произведение чисел
и
:
(2)
Число
называют сопряжённым числу
(и обратно,
сопряжено
);
корень квадратный
из произведения
(совпадающий с полусуммой
сопряжённых чисел
и
)
называют модулем дуального числа
и обозначают через
(отметим, что модуль дуального числа
может быть и отрицательным). Сумма
двух сопряжённых чисел является
вещественной; разность
является числом чисто мнимым (т.е.
отличается от
лишь вещественным множителем). Заметим
ещё, что, в полной аналогии с обыкновенными
комплексными числами, дуальное число
тогда и только тогда совпадает со своим
сопряжённым
,
когда оно является вещественным. Также
и справедливые для комплексных чисел
формулы (3)
,
,
,
(3)
полностью остаются в силе для дуальных чисел.
Правило деления на дуальное
число
мы теперь можем записать так:
.
(4)
Отсюда видно, что для возможности
деления на дуальное число
необходимо, чтобы модуль
этого числа был отличен от нуля; при
этом, в противоположность обыкновенным
комплексным числам, дуальное число
нулевого модуля само может быть отличным
от нуля. В тех случаях, когда невозможность
деления на числа нулевого модуля явится
для нас затруднением, мы будем считать,
что частные
и
являются числами новой природы, которые
условимся обозначать через
и
;
введём также в рассмотрение всевозможные
числа вида
,
где
вещественно. Тогда любое дуальное число
будет иметь обратное:
при
;
.
Правила действий над символом
определяются следующими формулами:
,
,
,
,
,
(5)
здесь
-
произвольное число, причём в среднем
равенстве
,
а во втором и в двух последних
(
в этих формулах может быть и числом вида
);
правила действий над числами
определяются так:
(6)
Положим ещё
,
;
(6а)
тогда для расширенного (введением
чисел
,
)
множества дуальных чисел сохраняет
силу равенство
и все правила (3).
Число
нулевого модуля можно характеризовать
тем, что существует отличное от нуля
дуальное число
,
равное
,
произведение которого на число
равняется нулю:
.
(7)
Поэтому эти числа называют делителями нуля.
Дуальные числа ненулевого модуля
можно также записать в форме, близкой
к тригонометрической форме комплексного
числа:
.
(8)
Здесь
есть модуль числа
,
а отношение
называется аргументом этого числа и
обозначается через Arg
z
(r
может быть произвольным
вещественным числом, отличным от нуля;
-
произвольным вещественным числом).
Очевидно, что вещественные числа
характеризуются равенством нулю их
аргумента; сопряжённые дуальные числа
и
имеют одинаковый модуль r
и противоположные аргументы
и
.
Форма (8) записи дуальных чисел очень удобна в тех случаях, когда эти числа приходится перемножать или делить. Действительно,
;
(9)
следовательно, модуль произведения двух дуальных чисел равен произведению модулей сомножителей1, а аргумент произведения - сумме аргументов. Отсюда вытекает, что модуль частного двух дуальных чисел равен частному модулей этих чисел, а аргумент частного – разности соответствующих аргументов:
.
(10)
Наконец, из этих правил выводятся также и законы, позволяющие возвышать дуальное число в любую степень и извлекать из него корень:
(11)
(из
последней формулы вытекает, что корень
нечётной степени из дуального числа
при
определяется однозначно; корень же
чётной степени не существует, если r<0,
и имеет два значения, если
r>02).
1.2 Двойные числа
В
полной аналогии со всем изложенным выше
назовём двойные числа
и
сопряжёнными, если они имеют вид
и
.
Сумма
и произведение
сопряжённых двойных чисел вещественны;
корень квадратный из числа
,
знак которого совпадает со знаком
большего по абсолютной величине из
вещественных чисел a
и b,
называется модулем числа
и обозначается через
.
Легко проверить, что для двойных чисел
остаются в силе все формулы (3); кроме
того, ясно, что равенство
характеризует вещественные числа
,
а равенство
- чисто мнимые числа
.
Сложение, вычитание, умножение и деление двойных чисел определяются формулами
(12)
Отсюда
следует, что и здесь деление на
возможно лишь в тех случаях, когда
.
Двойные числа
,
модуль которых равен нулю, называются
делителями нуля (заметим, что
).
В некоторых случаях оказывается удобным
считать частные
,
и
числами новой природы; при этом оказывается
необходимым ещё расширить понятие
двойного числа, введя дополнительно
произведения
и
новых чисел
и
на всевозможные вещественные числа c
и частные
и
.
Правила действия над символами
,
,
,
и
определяются формулами (5) и рядом
соотношений, родственных (6), например:
(13)
и т. д. Естественно также положить
,
,
,
,
(13а)
что
обеспечит выполнение для расширенного
указанным образом множества двойных
чисел равенства
и всех соотношений (3).
Двойные
числа ненулевого модуля можно также
записать в форме, аналогичной форме (8)
записи дуальных чисел. Пусть
- модуль
двойного числа; далее
.
Из
определения модуля следует, что
и что большая (по абсолютной величине)
из дробей
и
положительна. Отсюда вытекает, что
,
или
,
,
(14)
где
есть некоторое число (определённое
формулами (14)), а
и
– гиперболический косинус и гиперболический
синус аргумента
.
Таким образом, имеем
или
.
(15)
величина
называется аргументом двойного числа
z
и обозначается через Arg
z3.
Форма (15) записи двойных чисел очень удобна в тех случаях, когда приходится перемножать два или несколько двойных чисел. Действительно, из формул сложения гиперболических функций следует, что
(16)
Таким образом, модуль произведения двух двойных чисел равен произведению модулей сомножителей, а аргумент произведения – сумме аргументов; при этом произведение имеет первую или вторую из форм (15) в зависимости от того, имеют ли сомножители одну и ту же или разные формы. Из формул (16) сразу вытекают правила деления двойных чисел:
;
.
(17)
Из формул (16) получаются также правила, позволяющие возводить двойное число в любую целую положительную степень n и извлекать из него корень степени n:
,
при
n нечётном,
при n чётном;
Глава II.
2.1 Дуальные числа как ориентированные прямые плоскости.
Две ориентированные прямые будем называть параллельными лишь в том случае, если они параллельны в обычном смысле и направления этих прямых совпадают (рис. 1, а); параллельные прямые противоположных направлений будем называть противопараллельными (рис. 1, б).
а б
Рис. 1
Под расстоянием от прямой a до не пересекающей её прямой b будем понимать ориентированное расстояние {a,b} от a до b, т.е. ориентированное расстояние от произвольной точки прямой a до прямой b; очевидно, что {a,b}=-{b,a}, если a и b параллельны, и {a,b}={b,a}, если a и b противопараллельны.
Полярные
координаты точек плоскости определяются
заданием некоторой точки O
(полюса системы координат) и проходящей
через O
ориентированной прямой o
(полярной оси); координатами точки M
служат расстояние r=OM
этой точки от полюса и угол
={o,m},
образованный с o
ориентированной прямой
m,
соединяющей O
и M.
Аналогично этому можно
определить полярные координаты
ориентированных прямых плоскости, для
задания которых надо также указать
некоторую ориентированную прямую o
(полярную ось) и лежащую на o
точку O
(полюс); координатами прямой l
служат угол
={o,l},
образованный l
с полярной осью o,
и ориентированное расстояние s={O,L}
от O
до точки L
пересечения l
и o
(рис. 2,а). Очевидно, что координата
s
ориентированной прямой l
может иметь любое значение,
заключённое между
и
;
координата
– любое значение, заключённое между 0
и 2
.
Естественно считать, что
=0
для прямых, параллельных полярной оси
o,
и
=
для прямых, противопараллельных o;
если прямая не пересекает оси o,
то координаты s
она не имеет (можно считать,
что в этом случае
).
Условимся
сопоставлять ориентированной прямой
l
с полярными координатами
и s
дуальное число
,
,
(19)
(рис.
2). При этом параллельным o
прямым, для которых
=0,
естественно относить числа нулевого
модуля, т.е. делители нуля
.
Чтобы установить точное соответствие
между параллельными o
прямыми и делителями нуля, заметим, что
расстояние d={O,l}
не параллельной o
прямой l
от полюса O
равно
(20)
(рис. 2, а). Чтобы формула (20) сохранила силу и для параллельной o прямой m, отстоящей от o на расстоянии {o,m}=d, то этой прямой нужно сопоставить число
(т.е.
,
где u=0
и
).
Двум
пересекающим o
прямым l
и l
,
отличающимся только направлением и,
следовательно, имеющим полярные
координаты (
)
и (
),
отвечают дуальные числа
и
.
Считая,
что это соотношение сохраняет силу и
для прямых, не пересекающих o,
условимся относить противопараллельной
o
прямой m,
отстоящей от o
на расстоянии {o,m}=d,
число
(заметим,
что если расстояние {o,m}
от o
до параллельной o
прямой m,
совпадающей по положению на плоскости
с прямой m,
равно d,
то d=-d).
Прямой o,
отличающейся только направлением от
полярной оси o
(противооси), мы сопоставим число
.
Тем
самым мы устанавливаем полное соответствие
между ориентированными прямыми плоскости
и дуальными числами, включая сюда также
и числа вида w,
где w
0
вещественно, и число
.
Очевидно,
что вещественным числам
отвечают проходящие через полюс O
прямые; числам модуля 1 – перпендикулярные
o
прямые; чисто мнимым числам v
(числам нулевого модуля) и числам
бесконечного модуля w
отвечают параллельные и противопараллельные
оси o
прямые. Сопряжённым числам
и
отвечают прямые симметричные относительно
полюса O;
противоположным числам
и
– прямые, симметричные относительно
полярной оси o
(т.е. прямые, пересекающие o
в одной и той же точке L
и образующие с o
равные углы
{o,z}={-z,o};
см. рис. 2, б); числам z
и
отвечают прямые, отличающиеся только
направлением. Таким образом, равенства
(а),
(б),
(в)
(21)
можно понимать как записи определённых преобразований в множестве ориентированных прямых плоскости: симметрии относительно точки O, симметрии относительно прямой o и переориентации (изменения направления всех прямых плоскости на противоположное).
Выясним теперь, как записываются с помощью дуальных чисел произвольные движения (к числу которых отнесём и переориентацию, также не меняющую расстояний между точками плоскости).
Параллельный перенос вдоль o на расстояние t переводит прямую, которой отвечает дуальное число
,
в прямую, которой отвечает число
(рис. 3, а). Отсюда вытекает, что этот параллельный перенос можно записать так:
,
где
,
(22)
(т.к.
).
Параллельный
перенос на расстояние t
в направлении, перпендикулярном o,
переводит прямую
в прямую
(рис. 3, б). Но
.
Последнюю формулу можно записать в более изящном виде. Заметим, что
;
таким образом, рассматриваемый параллельный перенос записывается формулой
,
где
,
.
(22, а)
Отсюда
вытекает, что произвольный параллельный
перенос, т.е. перенос на расстояние t
в направлении o
и на расстояние t
в направлении l
o,
записывается формулой
,
,
,
или,
если ввести обозначение
(т.е.
)
и воспользоваться тем, что
,
,
,
формулой
,
(23)
где
,
,
,
.
Перейдём
теперь к вращениям плоскости. Очевидно,
что поворот вокруг O
на угол
переводит прямую
в прямую
,
где
(рис. 4). Таким образом,
(24)
(здесь
используется то, что если z
и z
–
дуальные числа, то
,
и
).
Далее, если d
и d′
– расстояния прямых z
и z′
от полюса , то
поэтому
.
С
другой стороны, поскольку
,
то
.
(24а)
Из (24) и (24а) следует, что наше вращение записывается формулой
,
(25)
где
,
.
Наконец,
самое общее движение представляет собой
поворот (25) вокруг O
на некоторый угол
,
причём это вращение может сопровождаться
ещё параллельным переносом (33):
.
В другом виде это преобразование можно записать так:
,
(26а)
где
,
.
Возможно, также, что исходное движение представляет собой симметрию (21б) относительно прямой o, сопровождаемую преобразованием (36а) (вращением вокруг O и параллельным переносом):
.
(26б)
Наконец, движение может представлять собой переориентацию (21в), сопровождаемую одним из преобразований (36а) или (36б):
,
(26в)
где
,
,
или
,
(26г)
где
,
.
Очевидно,
что ориентированный угол
{
}
между прямыми
и
равен
(рис. 5, а)
Это можно записать так:
.
Полученный результат можно также представить в следующей симметричной форме:
.
(27)
Найдём
теперь ориентированное расстояние
d={[
],[
]}
между точками []
и []
пересечения определённой прямой
с двумя другими прямыми
и
(рис. 5, б). Очевидно, что расстояние d
между точками пересечения
прямой o
с прямыми
и
равно
.
Пример
движения, переводящего данную прямую
в прямую o,
даётся формулой
;
это
движение переводит прямые
и
в прямые
и
.
Отсюда получаем
.(28)
Условием
того, что прямые
,
и
пересекаются в одной точке, является
равенство нулю расстояния между точками
пересечения
и
с
,
т.е., в силу формулы (28), вещественность
отношения
.
Это условие можно переписать ещё так:
.
(29)
Следовательно,
“уравнение точки”, т.е. условие, которому
удовлетворяют прямые
,
проходящие через одну точку [
],
имеет вид
,
или
,
A
– чисто мнимое (30)
(здесь
,
).
Найдём
теперь условие того, что четыре
ориентированные точки
,
,
и
принадлежат одной ориентированной
окружности. При этом под ориентированной
окружностью мы здесь понимаем совокупность
всех ориентированных прямых l,
ориентированное расстояние {O,l}
которых от данной точки O
(центра окружности) имеет фиксированное
значение r.
Число r
называется радиусом окружности; таким
образом, радиус ориентированной
окружности может быть как положительным,
так и отрицательным. Из определения
ориентированного расстояния {O,l}
от точки O
до прямой l
следует, что радиус ориентированной
окружности будет положительным, если
направление обхода противоположно
направлению вращения часовой стрелки,
и отрицательным в противном случае.
Можно
показать, что четыре ориентированные
прямые
,
,
и
в том и только в том случае принадлежат
одной ориентированной окружности или
проходят через одну точку, если
{[],[]}
{[],[]}={[],[]}{[],[]}.
(31)
Чтобы
убедиться в этом, рассмотрим рис. 33, на
котором изображены четыре ориентированные
касательные
,
,
и
ориентированной окружности S,
касающиеся S
соответственно в точках M,
N,
P
и Q;
точки [],
[],
[]
и []
обозначены через A,
B,
C
и D.
При этом, очевидно, имеем
{A,B}{C,D}={A,P}{P,B}{C,Q}{Q,D}
и
{D,A}{B,C}={D,M}{M,A}{B,N}{N,C}
В силу известного свойства касательных к окружности
{A,P}={M,A}, {P,B}={B,N}, {C,Q}={N,C}, {Q,D}={D,M},
значит, во всех случаях выполняется условие (31)
{A,B}{C,D}={D,A}{B,C}.
Нетрудно
убедиться и в том, что если равенство
(31) имеет место, то четыре прямые
,
,
и
принадлежат одной ориентированной
окружности или проходят через одну
точку.
Воспользовавшись теперь формулой (28), мы можем переписать условие (31) следующим образом:
,
или, несколько упростив левую часть последнего равенства и преобразовав правую,
.
Но
и
(т.к.
и
)
Таким образом, равенство (31) можно переписать в следующей простой форме:
.
(32)
Дуальное
число
естественно называть двойным отношением
четырёх прямых
,
,
и
;
обозначать его будем символом W(,,,).
Таким образом, условием того, что четыре
прямые
,
,
и
принадлежат одной ориентированной
окружности (ненулевого радиуса или
окружности радиуса нуль – точке),
является вещественность двойного
отношения W(,,,)=
этих четырёх прямых.
Последнему условию можно придать вид:
=
,
(33)
откуда
вытекает, что уравнение ориентированной
окружности (которая в частном случае
может оказаться и точкой), определяемой
тремя данными прямыми
,
,
и
,
имеет вид
=
.
(34)
Таким образом, уравнение каждой ориентированной окружности (или точки) можно записать в форме (35):
,
A
и C
– чисто мнимые. (35)
Нетрудно проверить, что и, обратно, уравнение (35) всегда выражает окружность (или точку).
Прямую уравнение (35) выражает при
.
(36)
2.2 Двойные числа как ориентированные прямые плоскости Лобачевского
В
полной аналогии с пунктом 2.1 ориентированным
прямым плоскости Лобачевского можно
сопоставить двойные числа. А именно,
введём, как в пункте 2.1, полярную систему
координат для прямых и отнесём каждой
пересекающей полярную ось o
ориентированной прямой l,
имеющей полярные координаты
,
s,
двойное число
,
(37)
а расходящейся с o прямой m, направленной в ту же сторону, что и o от их общего перпендикуляра PQ, – число
,
(37а)
где d={m,o}={P,Q} – кратчайшее ориентированное расстояние между прямыми m и o, т.е. ориентированное расстояние от o проекции P на прямую m общего перпендикуляра прямых m и o, s’={O,Q} – ориентированное расстояние от полюса O системы координат до проекции Q общего перпендикуляра на o (рис. 6).
Далее,
так как из формулы (37) вытекает, что двум
пересекающим o
прямым l
и l,
отличающимся только направлением,
соответствуют двойные числа
и
,
то
прямой m,
отличающейся только направлением от
отвечающей числу (37а)
расходящейся с o
прямой m,
сопоставим число
.
(37б)
Прямые,
параллельные оси o,
можно рассматривать как предельный
случай пересекающих o
прямых, отвечающий равенству нулю угла
,
или как предельный случай расходящихся
с o
прямых, отвечающий равенству нулю
расстояний d.
Так как из формул (37) и (37а) следует, что
,
соответственно
,
то естественно отнести параллельным o
прямым, направленным в ту же сторону,
что и o,
делители нуля, т.е. числа вида
.
При этом прямым, параллельным o
в положительном или отрицательном
направлении, отвечают числа
,
для которых
или
,
т.к. из (37) и (37а) вытекает, что соотношение
равносильно равенству
или
,
а соотношение
– равенству
или
.
Из формул неевклидовой тригонометрии
следует, что ориентированное расстояние
p={O,l}
от полюса O
до пересекающей o
прямой l
(рис. 6), отвечающей двойному числу
,
находится из соотношения
.
(38)
Поэтому
двум параллельным o
прямым n
и n',
удалённым от O
на расстояние {O,
n}={O,
n'}=p,
надо отнести числа
(где
),
для которых
,
т.е. числа
и
.
Наконец,
исходя из соотношения
,
связывающего двойные числа z
и z,
отвечающие пересекающим ось o
или расходящимся с o
прямым, отличающимся одна от другой
лишь направлением, сопоставим
противопараллельным o
прямым n
и n
(т.е. прямым, параллельным
o
и противоположно направленным), удалённым
от O
на расстояние {O,
n}={O,
n}=p,
числа
и
,
где
и
– числа, обратные делителям нуля:
,
(если n
и n
– две прямые, отличающиеся
только направлением, то p={O,
n}=–{O,
n}=–p).
Полярной оси o
и противооси o
(т.е. прямой, отличающейся от o
только направлением) сопоставим числа
0 и ∞.
Пока
у нас не отвечают никаким прямым такие
двойные числа z,
что
(т.к.
и
ни при каком d).
Чтобы
распространить соответствие между
прямыми плоскости Лобачевского и
двойными числами на все числа, введём
в рассмотрение бесконечно удалённые
прямые плоскости Лобачевского, которые
можно представить, как касательные к
абсолюту
модели Клейна (рис. 7). Эти прямые не имеют
ориентации.
Такая
прямая k,
не параллельная o
(т.е. отличная от касательных к
в точках пересечения
с o),
характеризуется тем, что d={k,o}=
;
при этом следует считать, что d=,
если отвечающая k
бесконечно удалённая точка S
плоскости Лобачевского расположена
справа от o,
и d=–
в противном случае. Общим перпендикуляром
k
и o
естественно считать прямую SQ,
перпендикулярную o;
при этом величина s'={O,Q}
может принимать любое значение и
соответственно этому каждому двойному
числу
,
такому, что
,
можно сопоставить определённую бесконечно
удалённую прямую k.
Бесконечно удалённым прямым i
и i,
параллельным o
(рис. 7), сопоставим числа
и
.
Таким
образом, установлено взаимно однозначное
соответствие между множеством
ориентированных и бесконечно удалённых
прямых плоскости Лобачевского и
множеством двойных чисел (дополненным
числами
,
,
,
и
).
При этом прямые l,
пересекающие полярную ось o,
отвечают двойным числам
,
для которых
,
т.е. числам, изображаемым на (u,v) плоскости
точками области, помеченной на рис. 8
цифрой I.
Прямые m,
расходящиеся с o
и направленные в ту же сторону, что и o,
от общего перпендикуляра o
и m,
отвечают числам z,
для которых
,
т.е. числам, изображаемым на рис. 8 точками
области II.
Расходящиеся с o
прямые m,
направленные в противоположную по
сравнению с o
сторону от общего перпендикуляра m
и o,
отвечают числам z,
для которых
,
т.е. числам, изображаемым точками области
III.
Наконец, параллельные o
прямые n
отвечают числам нулевого модуля,
изображаемым двумя прямыми
,
а противопараллельные o
прямые n
отвечают числам
,
(эти числа не имеют изображений на
(u,v) плоскости);
бесконечно удалённые прямые k
отвечают таким числам z,
что
>,
т.е. числам, изображаемым точками
гиперболы >
>,
и ещё двум числам >
,
.
Очевидно, что как и в случае евклидовой плоскости, соотношения
(а),
(б),
(в)
(21)
выражают симметрию относительно точки O, симметрию относительно прямой o и переориентацию (изменение направлений всех прямых на обратное). Произвольные движения, как можно показать, выражаются здесь теми же формулами, что и в евклидовом случае:
,
или
,
или
,
или
;
только
в качестве переменных z',
z
и коэффициентов P,
Q
здесь фигурируют не дуальные, а двойные
числа, в связи с чем следует дополнительно
потребовать, чтобы выражение
было положительно (если P
и Q
– дуальные числа, то последнее условие
выполняется автоматически, т.к.
произведения
и
не могут быть отрицательны). Также и
ориентированный угол
{z,
z}
между прямыми z
и z
и ориентированное расстояние d={[
z
z],[
z
z]}
между точками пересечения прямых z
и z
с прямой z
определяются формулами (27) и (28):
,
(27)
.
(28)
Из
(28) следует, что условием того, что три
прямые z,
z
и z
пересекаются в одной точке, является
вещественность отношения
.
Отсюда вытекает, что уравнение точки
неевклидовой геометрии Лобачевского
имеет вид
,
A
– чисто мнимое. (30)
Циклом множества ориентированных и бесконечно удалённых прямых плоскости Лобачевского следует называть:
а)–в) совокупность прямых, касающихся ориентированного цикла, т.е. окружности, предельной линии или эквидистанты;
г) пучок равного наклона, т.е. пучок всех ориентированных прямых, образующих постоянный ориентированный угол с фиксированной осью пучка;
д) параллельный пучок, т.е. пучок всех прямых, параллельных в обоих направлениях фиксированной оси пучка;
е)
неориентированную бесконечно удалённую
окружность
.
При
таком понимании термина цикл мы получаем,
что необходимым и достаточным условием
того, что четыре ориентированные прямые
z,
z,
z
и z
плоскости Лобачевского принадлежат
одному циклу, является вещественность
двойного отношения
этих четырёх прямых. Отсюда снова
вытекает, что уравнение каждого цикла
можно записать в форме:
,
A
и C
– чисто мнимые. (35)
Чтобы
решить, является ли цикл (35) окружностью,
предельной линией, эквидистантой,
параллельным пучком или пучком постоянного
наклона, надо выяснить, сколько общих
прямых имеет этот цикл с бесконечно
удалённой окружностью (абсолютом)
(т.е. сколько решений имеет система
,
)
и будет ли вещественным или мнимым угол
(27) между двумя соседними прямыми цикла.
Воспользовавшись этим, получаем:
цикл (35) является окружностью, если
,
(39а)
цикл (35) является предельной линией, если
,
,
(39б)
является эквидистантой, если
,
(39в)
параллельным пучком, если
(39г)
пучком равного наклона, если
(39д)
цикл
(35) представляет собой абсолют
,
если
,
(39е)
Точку (обыкновенную, бесконечно удалённую или идеальную) уравнение (35) выражает в том случае, если имеет место соотношение:
.
(36)
Заключение
дуальное число модуль сопряженный
В нашей работе мы определили операции сложения, вычитания и умножения для дуальных чисел, дали определение модуля и сопряжённого числа, вывели правило деления на дуальное число, расширив множество дуальных чисел, ввели определение делителя нуля, представили запись дуального числа в форме, близкой к тригонометрической форме комплексного числа, и вывели законы, позволяющие возводить дуальное число в любую целую положительную степень n и извлекать из него корень степени n. Аналогичным образом определили двойные числа и действия над ними. Введя на плоскости полярную систему координат, установили полное соответствие между ориентированными прямыми плоскости и дуальными числами, с помощью дуальных чисел записали все виды движений, нашли условие того, что четыре ориентированные точки принадлежат одной ориентированной окружности, и, пользуясь этим условием, вывели уравнение ориентированной окружности. В полной аналогии с изложенным выше установили взаимно однозначное соответствие между множеством ориентированных и бесконечно удалённых прямых плоскости Лобачевского и множеством двойных чисел и вывели формулы для записи движений. Также мы дали определение цикла множества ориентированных и бесконечно удалённых прямых плоскости Лобачевского и получили необходимое и достаточное условие принадлежности одному циклу четырёх прямых плоскости Лобачевского.
Эти результаты могут быть приложены к доказательству многих теорем евклидовой геометрии и неевклидовой геометрии Лобачевского. При этом использование дуальных и двойных чисел во многом упрощает доказательство различных теорем.
Литература
Яглом И. М. Комплексные числа и их применение в геометрии. – М.: Физматгиз, 1963
Маркушевич А. И. Комплексные числа и конформные отображения. – М.: Наука, 1979
1
Это утверждение остаётся в силе и в том
случае, когда модуль одного или обоих
сомножителей равен нулю (т. к. если
,
то и
;
так, например,
).
2
Нетрудно видеть, что корень целой
степени n>1 из
дуального числа
,
модуль
которого равен нулю (из числа, являющегося
делителем нуля), извлечь нельзя.
3 В некоторых случаях удобно считать, что аргумент двойных чисел, имеющих вторую из форм (15), является обыкновенным комплексным числом
Arg{r(sh+ech)}=i
.
Это соглашение удобно тем, что в таком случае всегда
z|z|[ch(Arg z)+esh(Arg z)]