Властивості лінійних операторів та їх застосування при розв’язанні задач. Матриця лінійного оператора

КУРСОВА РОБОТА

"Властивості лінійних операторів та їх застосування при розв’язанні задач. Матриця лінійного оператора"

Запоріжжя 2010

Поняття лінійного оператора. Алгебраїчні операції над операторами

Нехай і два різних лінійних простору над полем комплексних чисел. Відображення , яке ставляє у відповідність кожному вектору простору деякий вектор простору , будемо називати оператором , діючий із в . Якщо є образом вектора , то пишуть .

Оператор називається лінійним, якщо виконуються дві умови:

1. (властивість адитивності);

2. (властивість однорідності);

Тут довільно взяті вектори простору , довільно комплексне число.

Позначимо через множина всіх лінійних операторів, діючих із в . Два лінійних оператора і будемо вважати рівними, якщо для будь – якого вектору простору . Визначимо тепер операцію додавання із множини і операцію множення оператора на число. Під сумою двох лінійних операторів і розуміють оператор такий, що для будь – якого вектора простору

Під добутком лінійного оператора на комплексне число розуміють оператор такий, що для любого вектора простору

Неважко переконатися в тому, що оператори і лінійні.

Оператор називається нульовим, якщо для будь – якого вектору простору .

Щоб переконатися, що оператор лінійний і, як наслідок, належності множині , потрібно показати, що для довільно взятих векторів простору мають місце рівності і . Так як будь – якому вектору простору оператор ставить у відповідність вектор , то . Як наслідок, - лінійний оператор.

Введемо поняття оператора, протилежному лінійному оператору . Оператор – називається протилежним оператором , якщо . Неважко перевірити, що для довільно взятого оператору із і що лінійний оператор.

Введені на множині лінійні операції над її елементами (операторами) мають такі властивості:

1.,

2. ,

3. існує один лінійний оператор такий, що для будь – якого лінійного оператора із

4. для кожного оператора існує єдиний оператор – такий, що .

Із перелічених властивостей лінійних операцій над елементами множини випливає, що множина по відношенню до операції суми операторів є адитивною абелевою групою. Операція множення на число має такі властивості .

Всі перелічені властивості лінійних операцій над елементами множини дозволяє стверджувати, що множина є лінійним простором над полем комплексних чисел. Звідси випливає, що можна ставити питання про розмірність цього простору, про його базиси, підпросторів.

Лінійні перетворення (оператори) із простору V в V

В подальшому будемо розглядати лінійні оператори, діючі із лінійного простору в той самий простір. Ці оператори називають також перетвореннями із в .

Назвемо тотожнім (одиничним) оператор такий, що для любого вектора простору . Очевидно, , , для любих . З цього випливає, оператор – лінійний і, тому, . Неважко упевнитися в тому, що оператор – єдиний. Дійсно, якщо припустити що, крім тотожного оператора з , існує ще один тотожний оператор , тоді для будь-якого будемо мати , , очевидно, , тобто .

Введемо операцію множення операторів. Нехай та – два будь-яких лінійних оператора з , а – довільний вектор простору . Очевидно вектор , тому цей вектор можна привести за допомогою оператора . В результаті вектор буде перетворений до вектору . Оператор, який приводить довільний вектор простору у вектор , називається добутком операторів та і позначається так: . За означенням добутку операторів і для будь-якого вектору . Легко перевірити, що , , де – довільно вибране комплексне число. З цього слідує, що добуток лінійних операторів є лінійним оператором, тобто . Зауважимо, що .

Операції додавання та множення лінійних операторів мають наступні властивості

1) , 3) ,

2) , 4) .

Для ілюстрації способу доведення цих властивостей доведемо властивість . Нехай – довільний вектор простору . Для довільного вектору простору за означенням добутку і суми операторів має

Таким чином, , тобто .

Якщо для оператору можна вказати такий лінійний оператор , що , то оператор називають оберненим для оператору . Можна показати, що оператор – єдиний.

Покажемо, що оператор , що має обернений, перетворює ненульовий вектор в ненульовий, тобто якщо , то й . Спочатку доведемо, що . Дійсно, так як – лінійний оператор, то для будь-якого . Доведене твердження справедливе для будь-якого лінійного оператора, в тому числі і для оператора, що має обернений, і для оператора . Нехай і . Так як оператор має обернений, то , тобто . Якщо припустити, що деякому відповідає вектор , тоді на основі установлених рівностей і виходило б, що . А це заперечує початковому фактові, що . З цього випливає, що припущення про те, що для деякого , невірно, тому для будь – якого .

Доведемо ще одну властивість оператора , що має обернений. Такий оператор два різних вектора та перетворює у два різні вектори і . Дійсно, якщо припустити противне, що існують такі нерівні один одному і , для яких , тоді для таких і або, що те саме . За умовою оператор має обернений. За доведеною вище властивістю такого оператора із рівності випливає, що , тобто . Ми прийшли до протиріччя з тим фактом, що за умовою . З цього випливає, що будь – яким двом різним векторам і відповідають різні образи і .

Оператор називають взаємно – однозначним, якщо два будь – які різні вектори і він перетворює у різні вектори і . Із наведеного вище випливає, що оператор , що має обернений, є взаємно – однозначним. Для взаємно – однозначного оператора неважко довести таку властивість: якщо , то і . Покажемо, що взаємно – однозначний оператор лінійно незалежні вектори , , …, перетворює в лінійно незалежні вектори , , …, . Для доведення цього твердження скористаємося методом «від противного». Припустимо противне, що вектори , …, – лінійно незалежні. Тоді можна знайти такі не рівню нулю числа, що . Так як оператор – лінійний, то .

Звідси за властивістю взаємно-однозначного оператора , тобто вектори , , …, виявляються лінійно залежними. Протиріччя з умовою ствердження означає, що вектори , , …, лінійно незалежні.

Із доведеного випливає, що будь-який вектор простору має єдиний прообраз такий, що . Доведемо тільки єдність прообразу вектора . Дійсно, якщо припустити, що вектор має декілька різноманітних прообразів, наприклад, і , то виявиться, що . Звідси , маємо , так як оператор взаємно-однозначний. Отже, якщо оператор – взаємно-однозначний, то кожному вектору простору він ставить у відповідність один і тільки один вектор . Звідси випливає, що взаємно-однозначний оператор має обернений.

Підводячи підсумок сказаному вище про властивості оберненого і взаємно-однозначного операторів, сформулюємо наступне твердження.

Теорема 2.1. Для того, щоб лінійний оператор мав обернений необхідно і достатньо, щоб він був взаємно-однозначним.

Введемо поняття ядра й образу оператора. Ядром лінійного оператора називають таку множину векторів простору , що для любого . Відомо, що будь-який лінійний оператор приводить вектор в , тобто , тому ядро довільного лінійного оператора не є пустою множиною, так як воно завжди містить оператор .

Теорема 2.2. Якщо містить єдиний вектор , то оператор є взаємно-однозначним.

Доведення. Нехай - два довільно взятих вектора лінійного простору. Якщо показати, що , то це буде означати, що оператор є взаємно-однозначним. Припустимо противне, що знайдуться два вектора і , такі, що , а . Тоді для цих векторів . За умовою теореми складається із єдиного вектора , тобто для вектора і тільки для нього . В силу цього чи . Ми прийшли до протиріччя з припущенням про те, що . Тому для будь-яких не рівних один одному векторів і простору . Отже, твердження теореми вірне.

Теорема 2.3. Для того, щоб оператор мав обернений, необхідно і достатньо, щоб .

Доведення цієї теореми основується на теоремах 2.1 і 2.2 про обернений оператор і ядро взаємно-однозначного оператора.

Образом оператора називається множина всіх векторів простору , кожний з яких має прообраз, тобто якщо , то існує такий вектор , що . Легко побачити, що якщо містить тільки нульовий вектор, то є весь лінійний простір : . Дійсно, якщо , то оператор є взаємно-однозначним. За доведеною вище властивістю взаємно-однозначного оператора кожний вектор простору має єдиний прообраз : , так що .

Покажемо тепер, що множина для довільного лінійного простору є підпростором лінійного простору . Нехай і – два довільно взятих вектори множини . Так як , то . Нехай – довільне число. Так як , то . Таким чином, лінійні операції над будь-якими векторами множини дають вектори тієї ж множини, тобто – підпростір простору .

Аналогічним способом доводиться, що множина також є підпростором простору .

Розмірність підпростору називається дефектом оператора. Розмірність підпростору називається рангом оператора . Для рангу оператора використовується одне з позначень або , для позначення дефекту оператора використовується символ .

Теорема 2.4. Для будь-якого лінійного оператора із сума розмінностей його ядра і образу дорівнює розмірності простору , тобто або .

Теорема 2.5. Нехай і - два яких-небудь підпростори - мірного простору , причому . Тоді існує такий лінійний оператор , що , а .

Доведення. Нехай - розмірність підпростору , тобто , а – розмірність підпростору . За умовою теореми . Виберемо базис - мірного простору так, щоб векторів було базисом підпростору . В підпросторі візьмемо який-небудь базис . Розглянемо лінійний оператор , який перетворює вектори простору у вектори , а кожний з векторів у нульовий вектор, тобто .

Оператор довільний вектор простору приводить у вектор , який належить підпростору простора . Звідси випливає, що , тобто підпростір містить образ оператора . Щоб довести, що , треба за означенням множини показати, що будь-який вектор підпростору , має прообраз у просторі . Розглянутий лінійний оператор перетворює вектори простору у вектори , тому довільно взятий вектор підпростору можна представити у вигляді . В силу лінійності оператора и також того, що , вектор можна представити також і в такій формі: , де – довільно вибрані комплексні числа. Останній вираз для довільного вектору означає, що він є образом вектора простору . Таким чином, .

Покажемо тепер, що підпростір є ядром оператора . Нехай який-небудь вектор підпростору . Так як , то це означає, що вектор входить в ядро оператора . Звідси випливає, що підпростір . Для доведення того, що треба показати, що будь-який вектор простору , що не належить підпростору , не може бути елементом ядра оператора . Нехай - вектор простору , який не належить підпростору . Зрозуміло, що хоча б одна із координат цього вектору не рівна нулю, так як в протилежному випадку . Розглянемо . Так як лінійно незалежні вектори, а серед чисел є відмінні від нуля, то . Це означає, що будь-який вектор, що не належить підпростору , не належить і ядру оператора . Отже, .

Теорема 2.6. Нехай і – два яких-небудь лінійних оператора із множини , тоді , .

Доведення. Нехай – довільний вектор простору . Зрозуміло, що . Будь-який вектор множини за означенням добутку операторів це вектор . Останній є вектором множини . З цього слідує, що має місце включення . А це означає, що , тобто . Перше твердження теореми доведено.

Доведемо справедливість другого. Нехай – довільний вектор ядра оператора , тоді , і, тому, . Це означає, що якщо , то , тобто . Звідси випливає нерівність . Позначимо через розмірність простору . Згідно теореми 2.4 , . Так як , то , тобто .

Теорема 2.7. Нехай – розмірність простору , і – лінійні оператори із , тоді .

Матриця лінійного оператора

Нехай - деякий базис лінійного простору , а – який-небудь лінійний оператор, діючий із в . Вектор оператор перетворює в вектор . Вектори простору розкладемо по векторах базису цього простору. Побудуємо матрицю порядку , стовпці якої складені із координат векторів ,

, , .

Матриця називається матрицею оператора в базисі .

Приклад. Записати матрицю тотожного і нульового операторів у базисі простору .

Розв’язок. Тотожний оператор будь-який вектор простору приводить в той же самий оператор. Тому . А це означає, що матриця тотожного оператора буде одиничною в будь-якому базисі простору . Нульовий оператор будь-який вектор простору перетворює в нульовий вектор, тому матриця цього оператора – нульова в будь-якому базисі.

Із сказаного вище випливає, що в обраному базисі -мірного простору з кожним лінійним оператором можна зв’язати квадратну матрицю порядку . Виникає питання: чи можна кожній квадратній матриці порядку поставити у відповідність такий лінійний оператор , матриця якого в заданому базисі простору співпадає з матрицею ? Стверджувальну відповідь на це питання дає

Теорема 3.1. Нехай – деяка квадратна матриця порядку . Нехай – довільний обраний базис -мірного лінійного простору . Тоді існує єдиний лінійний оператор , який у вказаному базисі має матрицю .

Доведення. Розглянемо лінійний оператор , який вектори базису простору перетворює у вектори , . У базисі оператор , очевидно, має матрицю . Залишається довести, що є єдиним оператором з матрицею. Припустимо протилежне, що, крім оператора , існує ще лінійний оператор , маючий матрицю в базисі . Це означає, що , . Виберемо який-небудь вектор простору і розглянемо вектори і . Маємо .

Як наслідок, що для будь-якого . Звідси витікає, що . Теорему доведено.

Теорема 3.2. Нехай – матриця лінійного оператора в базисі простору . Ранг оператора дорівнює рангу його матриці: .

Доведення. В основі доведення лежать означення рангу оператора і рангу матриці: , ранг матриці дорівнює рангу системи його стовпців.

Нехай – який-небудь вектор - мірного простору . Образом вектора є вектор . Як бачимо, довільний вектор образу оператора , тобто множини , представляє собою лінійну комбінацію векторів . Отже, є лінійною оболонкою множини векторів . Відомо, що розмірність лінійної оболонки дорівнює рангові системи векторів, які вони утворюють, тому . За означенням у стовпцях матриці оператора розміщені координати векторів у базисі . Отже, на основі означення рангу матриці . Таким чином, .

Нехай і матриці операторів і в якому-небудь базисі простору , тоді із способу побудови цих матриць витікає, що матриці операторів і , де і – довільно взяті числа, рівні відповідно і . Доведемо справедливість першого твердження, як більш складного. Дійсно, стовпці матриці оператора побудовані із координат векторів у базисі простору . Визначимо елементи -го стовпця цієї матриці, тобто координати вектора . Маємо

Звідси видно, що довільний елемент матриці оператора дорівнює , тобто дорівнює сумі добутків елементів -го рядка матриці на відповідний елемент -го стовпця матриці . А це означає, що . Твердження доведено.

Із доведеного твердження і теорем 2.6, 2.7 про ранг оператора слідує справедливість таких нерівностей для двох добутків квадратних матриць і одного порядку .

, ,

Відомо, що необхідною і достатньою умовою існування оберненого оператора для оператора , є умова , де – розмірність простору . Із теореми 3.2 витікає, що остання умова еквівалентна вимозі: матриця оператора повинна бути не виродженою.

Іншими словами, щоб оператор мав обернений необхідно і достатньо, щоб його матриця в якому-небудь базисі лінійного простору виявилась не виродженою.

Перетворення матриці оператора при заміні базису

Нехай у просторі обрані два базиси і . Перший базис для зручності назвемо старим, а другий – новим. Координати векторів у старому базисі розмістимо у стовпцях матриці

Побудована матриця називається матрицею переходу від старого базису до нового. Вектори лінійно незалежні, тому і, звісно, матриця не вироджена.

Згідно сказаному

(4.1)

Ці формули зв’язку між векторами старого і нового базисів у матричному записі мають вигляд

де – транспонована матриця .

Теорема 4.1. Матриці і оператора в базисах і зв’язані співвідношеннями

де – матриця переходу від старого базису до нового .

Доведення. За означенням матриці оператора

де і – елементи матриць і . Замінимо в останній рівності вектори згідно формулам (4.1), отримаємо

(4.2)

З іншого боку

Але

Тому

(4.3)

Із двох отриманих виразів (4.2) і (4.3) для вектора виходить, що

У цій рівності вектори лінійно незалежні, тому коефіцієнти про однакових векторах у лівій і правій частинах рівності мають бути однаковими, отже,

Згідно означенню добутку двох матриць звідси витікає матричне рівність . Якщо помножити обидві частини цієї рівності на праворуч, то отримаємо , якщо помножити на злів, то будемо мати . Теорему доведено.

Матриці і одного й того ж порядку називаються подібними, якщо можна знайти таку не вироджену матрицю того ж порядку, що . Із цього означення і теореми 4.1 витікає, що матриці оператора у різних базисах виявляються побідними. Покажемо, що визначники подібних матриць і рівні. Дійсно, згадавши, що визначник добутку квадратних матриць дорівнює добутку визначників співмножників, можемо записати

Із доведеного твердження виходить, що визначник матриці оператора не змінюється при заміні базису. У зв’язку з цим доречно ввести поняття визначника оператора. Визначником оператора називають число , рівне визначнику матриці оператора в якому-небудь базисі простору.

Приклад. Лінійний оператор діє на вектори базису наступним чином: . Знайти визначник оператора .

Розв’язок. Матриця оператора у базисі має вигляд

тобто є верхньою трикутною. Визначник цієї матриці дорівнює одиниці, тому і .

Власні значення і власні вектори оператора

Число називається власним числом лінійного оператора , якщо у просторі можна знайти такий ненульовий вектор , що

(5.1)

Будь-який ненульовий вектор, задовольняючий рівності (5.1), називають власним вектором оператора , що відповідає власному значенню .

Рівність (5.1) можна записати по іншому , де – тотожний оператор. Оскільки – ненульовий вектор, то зрозуміло, що розмірність ядра оператора не менше одиниці. Нехай – розмірність простору , в якому діє оператор . Відомо, що . Звісно,

. Але тоді .

Таким чином, якщо число є власним значенням оператора , то є коренем рівняння (характеристичне рівняння або вікове рівняння оператора ).

Вияснимо, чи всі корені характеристичного рівняння будуть власними значеннями оператора . Нехай – який-небудь корінь рівняння, тоді для цього значення . Це означає, що матриця оператора буде виродженою у будь-якому базисі простору . Як наслідок, . Так як , то . А це означає, що існую по меншій мірі один ненульовий вектор , такий, що чи . Таким чином, будь-який корінь характеристичного рівняння буде власним значенням оператора , тобто вірне твердження.

Теорема 5.1. Для того, щоб комплексне число було власним значенням лінійного оператора , необхідно і достатньо, щоб це число було коренем характеристичного рівняння .

Нехай – базис простору и нехай

матриця лінійного оператора у цьому базисі. Відомо, що матриця тотожного оператора в будь-якому базисі буде одиничною, тому в розглянутому базисі простору оператор характеризується такою матрицею

Визначник цієї матриці, тобто , називається характеристичним або віковим визначником оператора . Легко побачити, що добуток елементів головної діагоналі вікового визначника буде многочленом степені , решта членів визначника будуть многочленами степені не вище . З цього видно, що віковий визначник оператора є многочленом степені . За наслідком з основної теореми алгебри такий многочлен має коренів, якщо кожний корінь рахувати стільки разів, яка його кратність. Тому число власних значень оператора , діючого в -мірному просторі, дорівнює , якщо кожне власне значення рахувати стільки разів, яка його кратність.

Відомо, що в різних базисах простору матриці оператора , взагалі-то, різні. У зв’язку з цим виникає питання про пошук такого базису простору , в якому матриця оператора має найпростіший вигляд (найбільше число нульових елементів). Припустімо, що у просторі існує базис всі вектори якого є власними векторами оператора , тобто . У цьому базисі матриця оператора буде мати діагональний вигляд

Навпаки, якщо в якому-небудь базисі простору матриця лінійного оператора має діагональний вид, то всі вектори базису є власними векторами оператора . Таким чином, доведено наступне твердження.

Теорема 5.2. Для того, щоб матриця лінійного оператора у базисі простору була діагональною, необхідно і достатньо, щоб вектори були власними векторами оператора . Теорема 5.3. Якщо власні значення лінійного оператора , діючого в -мірному просторі , різні, тоді відповідні їм власні вектори лінійно незалежні.

Наслідок. Якщо характеристичне рівняння має різних коренів, то у -мірному векторному просторі існує базис, в якому матриця оператора має діагональний вид.

Якщо оператор має кратні власні значення, то може виявитися, що максимальна лінійно незалежна сукупність власних векторів оператора не буда утворювати базис лінійного простору, в якому діє оператор . У зв’язку з цим виникає питання, якими векторами доповнити до базису простору максимальну лінійно незалежну сукупність власних векторів, щоб у цьому базисі матриця мала найпростіший вигляд. Відповідь на це питання дав французький математик Жордан.

Вектор називається приєднаним вектором оператора , що відповідає кратному власному значенню цього оператора, якщо можна вказати таке натуральне число , що . Число називається порядком приєднаного вектора . Нехай – приєднаний вектор порядку , що відповідає власному значенню . Позначимо через вектор . Тоді за означенням приєднаного вектора або . Вектор виявляється власним вектором оператора . Цю властивість приєднаного вектора можна використовувати при побудові приєднаних векторів за заданим власним вектором .

Теорема 5.4. (теорема Жордана). У -мірному векторному просторі існує базис , побудований із власних векторів і відповідних їм приєднаних векторів, такий, що

, ; , .

У цьому базисі матриця оператора має наступний вид

де - квадратна матриця порядку (клітка Жордана):

Вказана в теоремі 5.4 форма матриці оператора називається жордановою або канонічною формою матриці цього оператора.

На кінець відмітимо, що якщо – власний вектор лінійного оператора , то і вектор , де – довільно взяте відмінне від нуля число, також буде власним вектором оператора . Дійсно,

Приклад 1. З’ясувати, які з перетворень , заданих шляхом завдання координат вектора як функцій координат вектора , являються лінійними, і в випадку лінійності знайти їх матриці в тому базисі, в якому задано координати векторів і .

Розв’язання: Для того, щоб дізнатись, чи являються лінійними функції координат вектора треба перевірити, чи виконуються наступні дві аксіоми:

Аксіома адитивності: .

Для будь-яких векторів та повинно виконуватись

Аксіома адитивності виконується.

Перевіримо аксіому однорідності:

Так як властивість адитивності і однорідності виконується, тому перетворення – лінійне.

Приклад 2. З’ясувати, які з перетворень , заданих шляхом завдання координат вектора як функцій координат вектора , являються лінійними, і в випадку лінійності знайти їх матриці в тому базисі, в якому задано координати векторів і .

Аксіома адитивності: .

Для будь-яких векторів та повинно виконуватись

Так як властивість адитивності не виконується, тому перетворення – не лінійне.

Приклад 3. Показати, що множення квадратних матриць другого порядку а) зліва, б) з права на дану матрицю являються лінійними перетвореннями простору всіх матриць другого порядку, і знайти матриці їх перетворень в базисі, який складається з матриць:

, , ,

Розв’язання: За означенням матриці лінійного перетворення , . Знаходимо образи базисних векторів і обчислюємо їх координати в заданому базисі:

Розташувавши отримані координати образів за стовпчиками отримаємо матрицю лінійного перетворення:

Приклад 4. Лінійне перетворення в базисі має матрицю

Знайти матрицю цього ж перетворення в базисі: e, , , +.

Розв’язання: Формула зв’язку між векторами старого і нового базисів у матричному записі має вигляд:

Обернену матрицю знайдемо за допомогою приєднаної:

Підставляємо отримані значення в формулу, отримаємо:

Приклад 5. Знайти власні значення і власні вектори лінійного перетворення, заданому в деякому базисі матрицею: .

Розв’язання: Складаємо характеристичне рівняння і розв’язавши його знаходимо власні числа:

Розв’язуємо її методом Гауса, для цього приводимо матрицю до східчастого вигляду:

Складаємо однорідну систему рівнянь для визначення власних векторів:

Оскільки максимальна кількість лінійно незалежних власних векторів менша за вимірність простору, то власні вектори не утворюють базис простору і таким чином матриця не діагоналізуєма.

Приклад 6. З’ясувати, яку з матриць лінійних перетворень можна привести до діагонального виду шляхом переходу до нового базису. Знайти цей базис і відповідну йому матрицю:

Розв’язання: Складаємо характеристичне рівняння і розв’язавши його знаходимо власні числа:

Розв’язуємо її методом Гауса, для цього приводимо матрицю до східчастого вигляду:

Власні вектори мають вигляд: .

Формула зв’язку між векторами старого і нового базисів у матричному записі має вигляд:

Матриця діагоналізована.

Приклад 7. З’ясувати, яку з матриць лінійних перетворень можна привести до діагонального виду шляхом переходу до нового базису. Знайти цей базис і відповідну йому матрицю:

Розв’язання: Складаємо характеристичне рівняння і розв’язавши його знаходимо власні числа:

Розв’язуємо її методом Гауса, для цього приводимо матрицю до східчастого вигляду:

Матриця не може бути діагоналізованою, так як а.к.=г.к.=1.

Висновки

В даній курсовій роботі розглянуто базові властивості лінійних операторів, поняття матриці лінійного оператора та питання зв’язку матриць оператора у різних базисах. Крім того, до роботи включені питання діагоналізіруємості матриці оператора, які пов’язані з існуванням базису, що складається з власних векторів оператора. За усіма розглянутими теоретичними питаннями зроблена підборка задач, яка їх ілюструє та допомагає детально розібратися в теоретичному матеріалі.

оператор вектор лінійний матриця базис

Перелік посилань

Курош А.Г. Курс вищої алгебри. – М.: Наука, 1968. – 331 с.

Кострикін А.И., Манін Ю.И. Лінійна алгебра і геометрія. – М.: Наука, 1986. – 304 с.

Проскуряков І. В. Збірник задач з лінійної алгебри. – М.: Наука, 1974. – 384 с.