Потрійний інтеграл
ПОТРІЙНИЙ ІНТЕГРАЛ
1. Поняття потрійного інтеграла. Умови його існування та властивості
Схема побудови потрійного інтеграла така сама, як і звичайного визначеного інтеграла та подвійного інтеграла.
Нехай функція
визначена в обмеженій замкненій області
.
Розіб'ємо
область
сіткою поверхонь на
частин
,
які не мають
спільних внутрішніх точок і об'єми яких
дорівнюють
.
У кожній частині
візьмемо довільну точку
і утворимо суму
,(1)
яка називається
інтегральною
сумою для функції
за областю
.
Нехай
– найбільший з діаметрів областей
.
Якщо інтегральна сума
(1) при
має скінченну границю, яка не залежить
ні від способу розбиття області
на частини
,
ні від вибору в них точок
,
то ця границя
називається потрійним
інтегралом і
позначається одним із таких символів:
або
.
Таким чином, за означенням
,(2)
де
– функція, інтегровна в області
;
– область
інтегрування;
і
–
змінні
інтегрування;
(або
)
– елемент
об'єму.
Якщо по тілу
розподілено масу з об'ємною густиною
в точці
,
то маса
цього тіла знаходиться за формулою
.
(3)
Формула (3) аналогічна
формулі (1.8) і може розглядатися як
механічний
зміст потрійного інтеграла, коли
підінтегральна функція невід'ємна в
області
.
Якщо всюди в області покласти
,
то з формули (2) випливає формула для
обчислення об'єму
тіла
:
.(4)
Потрійний інтеграл є безпосереднім узагальненням подвійного інтеграла на тривимірний простір. Теорія потрійного інтеграла аналогічна теорії подвійного інтеграла, тому в більшості випадків ми обмежимося лише формулюваннями тверджень і короткими поясненнями.
Теорема (достатня
умова інтегровності функції). Якщо
функція
неперервна в обмеженій замкненій області
,
то вона в цій області інтегрована.
Властивості потрійних інтегралів.
1. Сталий множник можна винести за знак потрійного інтеграла:
.
Потрійний інтеграл від суми кількох інтегровних функцій дорівнює сумі потрійних інтегралів від доданків:
.
3. Якщо
в області інтегрування
,
то
.
4. Якщо
функції
та
визначені в одній і тій самій області
і
,
то
.
5. (Адитивність
потрійного інтеграла.) Якщо область
інтегрування
функції
розбити на частини
і
,
які не мають спільних внутрішніх точок,
то
.
6. (Оцінка
потрійного інтеграла.) Якщо функція
неперервна в обмеженій замкненій області
,
яка має об'єм
,
то
,
де
і
відповідно найменше і найбільше значення
функції
в області
.
7. (Середнє
значення функції.) Якщо функція
неперервна в обмеженій замкненій області
,
яка має об'єм
,
то в цій області існує така точка
,
що
.
Величина
називається середнім
значенням функції
в області
.
2. Обчислення потрійного інтеграла
Обчислення потрійного інтеграла зводять до обчислення повторних, тобто до інтегрування за кожною змінній окремо.
Нехай область
обмежена знизу
і зверху поверхнями
і
,
а з боків циліндричною поверхнею, твірні
якої паралельні осі
.
Позначимо
проекцію області
на площину
через
(рис. 1) і вважатимемо, що функції
і
неперервні в
.
Рисунок 1 – Область
Якщо при цьому область
є правильною,
то область
називається
правильною у напрямі осі
.
Припустимо,
що кожна пряма, яка проходить через
кожну внутрішню точку
паралельно осі
,
перетинає межу
області
у точках
і
.
Точку
назвемо точкою
входу в область
,
а точку
– точкою виходу з області
,
а їхні аплікати позначимо відповідно
через
і
.
Тоді
,
і для будь-якої неперервної в області
функції
має місце
формула
.(5)
Зміст формули (5) такий.
Щоб обчислити потрійний інтеграл,
потрібно спочатку обчислити інтеграл
за змінною
,
вважаючи
та
сталими. Нижньою
межею цього інтеграла є апліката точки
входу
,
а верхньою –
апліката
точки
виходу
.
Внаслідок
інтегрування отримаємо функцію
від змінних
та
.
Якщо область
,
наприклад,
обмежена кривими
і
,
де
і
– неперервні функції, тобто
,
то, переходячи від подвійного інтеграла
до повторного (п. 1.3), отримаємо формулу
,(6)
яка зводить обчислення
потрійного інтеграла до послідовного
обчислення трьох визначених інтегралів.
Порядок інтегрування може бути й іншим,
тобто змінні
і
у правій частині формули (6) за певних
умов можна міняти місцями.
Якщо, наприклад, область
правильна в напрямі осі
:
,
де
– неперервні
функції, то
.
Зокрема, якщо областю інтегрування є паралелепіпед:
,
то
.
(7)
У цьому разі інтегрування
виконується в будь-якому порядку,
оскільки область
правильна у напрямі всіх трьох координатних
осей
.
3. Заміна змінних в потрійному інтегралі
Заміну змінної в
потрійному інтегралі виконують за таким
правилом: якщо обмежена замкнена область
взаємно
однозначно відображується на область
за допомогою неперервно диференційовних
функцій
,
,
,
якобіан
в області
не дорівнює нулю:
і
– неперервна в
,
то справедлива формула
.
(8)
На практиці найуживанішими
є циліндричні та сферичні координати.
При переході від прямокутних координат
до циліндричних
(рис.4, а), пов'язаних з
співвідношеннями
;
,
якобіан перетворення
.
З формули (8) отримуємо потрійний інтеграл у циліндричних координатах:
.(9)
Назва «циліндричні
координати» пов'язана з тим, що координатна
поверхня
є циліндром, прямолінійні твірні якого
паралельні осі
.
При переході від
прямокутних координат
до сферичних
(рис. 4, б), які пов'язані
з
формулами
Рисунок 4 – Координати: а) циліндричні; б) сферичні
;
,
якобіан перетворення
.
З формули (8) знаходимо потрійний інтеграл у сферичних координатах:
.
(10)
Назва «сферичні
координати» пов'язана з тим, що координатна
поверхня
є сферою. При обчисленні потрійного
інтеграла в циліндричних чи сферичних
координатах область
,
як правило, не будують, а межі інтегрування
знаходять безпосередньо за областю
,
користуючись
геометричним змістом нових координат.
При цьому рівняння поверхонь
та
,
які обмежують область
,
записують у нових координатах.
Зокрема, якщо область
обмежена
циліндричною поверхнею
та площинами
,
то всі межі інтегрування в циліндричній
системі координат сталі:
і не змінюються при
зміні порядку інтегрування. Те саме
буде у сферичних координатах у випадку,
коли
– куля:
або кульове кільце. Наприклад, якщо
– кульове кільце з внутрішньою сферою
,
то рівняння
цієї сфери в сферичних координатах має
вигляд
або
,
звідки
.
Аналогічно
– рівняння зовнішньої сфери, тому
.
У випадку, коли
– куля
,
у цій формулі слід покласти
.
Інших будь-яких загальних рекомендацій,
коли необхідно переходити до тієї чи
іншої системи координат, дати неможливо.
Це залежить і від області інтегрування,
і від підінтегральної функції. Іноді
потрібно написати інтеграл у різних
системах координат і лише після цього
вирішити, в якій з них обчислення буде
найпростішим.
Приклад
1. Обчислити інтеграл
,
якщо область
обмежена поверхнями
і
.
Розв’язання
Область
є конусом (рис. 5).
Рисунок 5
– Область
Рівняння конічної
поверхні, яка обмежує область
,
можна записати у вигляді
,
а саму область
подати таким чином:
,
де
– круг радіуса
з центром
.
Тому даний потрійний інтеграл можна
звести до послідовного обчислення трьох
визначених інтегралів у прямокутних
координатах:
.
Проте зручніше перейти
до циліндричних координат
.
Тоді прообраз круга
є прямокутник
,
прообраз конічної поверхні – плоска
поверхня
,
а прообраз області
– область
.
Якобіан переходу до циліндричних
координат дорівнює
,
підінтегральна функція в циліндричних
координатах дорівнює
.
Зводячи потрійний інтеграл за областю
до послідовного обчислення трьох
визначних інтегралів, отримаємо
Зазначимо, що розставлення
меж інтегрування в циліндричних
координатах, як правило, виконують,
розглядаючи не область
,
а зміну циліндричних координат в області
.
Наочно видно, що в області
змінна
змінюється від
до
,
при кожному значенні
змінна
змінюється від
до
,
а для кожної точки
області
змінна
змінюється в області
від
(значення
в області
)
до
(значення
на конічній поверхні).
4. Деякі застосування потрійного інтеграла
інтеграл потрійний обчислення змінний
1. Обчислення об'ємів. Якщо деяке тіло є обмеженою і замкненою
областю
,
що має об'єм
,
то згідно з
формулою
(4)
.(11)
Застосування у механіці.
Нехай
– обмежена замкнена область простору
,
яку займає деяке матеріальне тіло з
густиною
,
де
–
неперервна функція в області
,
тоді:
а)маса цього тіла
;(12)
б)моменти інерції
тіла відносно координатних осей
відповідно дорівнюють
.
(13)
Моменти інерції
тіла відносно координатних площин
обчислюються
за формулами
.(14)
Момент інерції тіла відносно початку координат
(15)
в) статичні моменти
тіла
відносно координатних площин
обчислюються за формулами
;(16)
г) координати
центра маси тіла визначаються за
формулами
.
(17)
Доведення формули (11), як уже зазначалося, випливає з означення потрійного інтеграла:
.