Теорія і практика обчислення визначників

ТЕОРІЯ І ПРАКТИКА ОБЧИСЛЕННЯ ВИЗНАЧНИКІВ

1. Основні поняття і теореми

Def. Нехай задано квадратну матрицю А n-го порядку з елементами a_>ij>, де i визначає номер рядка, j – номер стовпця і при цьому через х_>j> позначені стовпці матриці А, тобто

і .

Визначником (det A) квадратної матриці А зі стовпцями х_>j> називається функціонал (х_>1>, х_>2>, … , х_>n>) щодо стовпців цієї матриці, який:

а) лінійний за кожним з аргументів (полілінійний):

теорема обчислення визначник сума

(х_>1>, …, х_>i1> + х_>i2>, … , х_>n>) = (х_>1>, … , х_>i1>, … , х_>n>) + (х_>1>, … , х_>i2>, … , х_>n>);

б) абсолютно антисиметричний (антисиметричний по будь-якій парі аргументів): (х_>1>, … , х_>i>, … , х_>j>, … , х_>n>) = –(х_>1>, … , х_>j>, … , х_>i>, … , х_>n>);

в) підкоряється умові нормування:

.

Тоді, з огляду на загальний вигляд полілінійного антисиметричного функціонала, маємо:

а б

Рис. 1

, (1)

де N(j_>1> j_>2> … j_>n>) – кількість безладів у перестановці .

Говорять, що в перестановці мається безлад, якщо j_>k> > j_>m> і k < m.

З формули (1) для визначника другого порядку одержуємо .

Визначник третього порядку дорівнює сумі шести (3! = 6) доданків. Для побудови цих доданків зручно скористатися правилом трикутників. Добуток елементів, що розташовані на головній діагоналі, а також добутки елементів, що є вершинами двох трикутників на рис. 1а, беруться з множником +1, а добуток елементів, що розташовані на побічній діагоналі, а також добутки елементів, що є вершинами двох трикутників на мал. 1б, беруться з множником –1, тобто

Властивості визначників:

1. det A = det A^T. З цієї властивості випливає, що рядки і стовпці визначника рівноправні. У силу цього всі властивості, сформульовані для стовпців, можуть бути сформульовані і для рядків визначника.

2. Якщо один зі стовпців визначника складається з нульових елементів, то визначник дорівнює нулю.

3. Загальний множник у стовпці визначника можна виносити за знак визначника.

4. Якщо у визначнику поміняти два стовпці місцями, то визначник змінить знак.

5. Визначник, що має два рівних стовпці, дорівнює нулю.

6. Якщо стовпці визначника лінійно залежні, то визначник дорівнює нулю.

7. .

8. Визначник не зміниться, якщо до стовпця визначника додати лінійну комбінацію інших стовпців.

9. Визначник добутку двох квадратних матриць n-го порядку дорівнює добуткові визначників цих матриць.

Def. Якщо в матриці А порядку n викреслити i-й рядок та j-й стовпець, то елементи, що залишилися, утворять матрицю (n – 1)-го порядку. Її визначник називається мінором (n – 1)-го порядку, додатковим до елемента a_>ij> матриці А, і позначається М_>ij>, а величина А_>ij >= (–1) ^{i + j} М_>ij> називається алгебраїчним доповненням до елемента a_>ij> матриці А.

10. (Розкриття визначника за елементами j-го стовпця та за елементами i-го рядка).

11.

12. (Теорема Лапласа).

.

Тут – мінор, складений з елементів матриці А, що розташовані на перетині рядків i_>1>, i_>2>, …, i_>k> і стовпців j_>1>, j_>2>, …, j_>k>, а – алгебраїчне доповнення до цього мінора.

13. (Про зміну елементів визначника).

Якщо , а , то .

3. Приклади розв’язування задач

Задача 1. Обчислити визначник: .

Розв’язання. I спосіб. Обчислимо визначник розкладанням за елементами (наприклад) третього рядка (властивість 10º):

.

Визначники третього порядку, що входять до останнього виразу, обчислені за правилом трикутників.

II спосіб. Обчислимо визначник розкладанням за мінорами 2-го порядку (наприклад тими, що розташовані в 1-му і 2-му рядках вихідного визначника, властивість 12º). Усього таких мінорів буде шість (1-й, 2-й стовпці; 1-й, 3-й стовпці; 1-й, 4-й стовпці; 2-й, 3-й стовпці; 2-й, 4-й стовпці; 3-й, 4-й стовпці). Одержимо:

.

III спосіб. Обчислимо визначник методом приведення визначника до трикутного вигляду. Для цього скористаємося властивістю 8.

а) 1-й рядок додамо до 3-го рядка;

б) 1-й рядок, помножений на (–2), додамо до 4-го рядка.

При цьому визначник не зміниться.

Далі: в) від 1-го рядка віднімемо 2-й рядок;

г) 2-й рядок, помножений на 3, додамо до 4-го рядка, помноженого на 2. При цьому визначник збільшиться вдвічі за рахунок множення 4-го рядка на 2.

;

д) в останньому визначнику 3-ій рядок помножимо на 2 і додамо до 4-го рядка. Визначник не зміниться. Одержимо:

.

Визначник матриці трикутного вигляду обчислюється як добуток діагональних елементів. Доходимо висновку, що вихідний визначник дорівнює –3.

Задача 2. Обчислити визначник: .

Рішення. Для обчислення визначника скористаємося методом виділення лінійних множників. Насамперед відзначимо, що вихідний визначник є багаточленом 4-го степеня відносно х. Крім того, при х = 2 перший і другий рядки співпадають, тобто визначник дорівнює нулеві. Отже, х = 2 є коренем багаточлена. Далі зауважуємо, що при х = 6, х = 12, х = 20 перший рядок співпадає з третім, четвертим і п’ятим рядком відповідно. Виходить, ми встановили всі чотири корені полінома, тобто

det А= C(x – 2)(x – 6)(x – 12)(x – 20).

Для знаходження C відзначимо, що у визначник множник х⁴ входить з коефіцієнтом, який дорівнює 1/24, а в багаточлен, що стоїть в правій частині, – з коефіцієнтом який дорівнює 1. Тоді C = 1/24. У такий спосіб:

det А = (x – 2)(x – 6)(x – 12)(x – 20).

Задача 3. Обчислити визначник: .

Рішення. Зрозуміло, що вихідний визначник можна одержати, якщо до всіх елементів визначника додати х = 4. Тоді скористаємося методом зміни елементів визначника (властивість 13). Одержуємо:

.

Визначник діагонального вигляду дорівнює добуткові діагональних елементів (5! = 120). Алгебраїчні доповнення дорівнюють: А_>11> = 5! = 120;

А_>22> = 3^.4^.5 = 60; А_>33> = 2^.4^.5 = 40; А_>44> = 2^.3^.5 = 30 і А_>55> = 2^.3^.4 = 24.

Решта А_>ij >= 0. Одержуємо: det А = 120 + 4(120 + 60 + 40 + 30 + 24) = 120 + 4^.274 = 1216.

Задача 4. Обчислити визначник n-го порядку .

Рішення. Розкриємо визначник за елементами 1-го рядка:

,

а останній визначник розкриємо за елементами 1-го стовпця. Одержуємо:

_>n> = 5_{>n – 1}> – 4_{>n – 2}>. (*)

Записане співвідношення називається рекурентним співвідношенням і дозволяє виразити _>n >через такі ж визначники більш низького порядку.

З (*) одержуємо:

_>n> – _{>n – 1} >= 4(_{>n – 1}> – _{>n – 2}>) = 4²(_{>n – 2}> – _{>n – 3}>) = … = 4^{n – 2} (_>2> – _>1>) =

= 4^{n – 2} (21 – 5) = 4ⁿ .

_>n> – 4_{>n – 1}> = _{>n– 1}> – 4_{>n – 2} >= _{>n– 2}> – 4_{>n – 3}> = … = _>2> – 4_>1> = 21 – 4^.5 = 1.

Маємо систему рівнянь: . Віднімаючи з 1-го рівняння 2-е, одержуємо: 3_{>n – 1}> = 4ⁿ – 1. У такий спосіб: .

4. Задачі і вправи для самостійного розв’язування

Визначити число безладів у перестановках (за вихідне розташування завжди, якщо немає особливих вказівок, приймається розташування 1, 2, 3, ... у зростаючому порядку):

а) 2, 1, 5, 4, 3; б) 6, 3, 2, 5, 1, 4; в) 7, 5, 6, 4, 1, 3, 2;

г) 2, 1, 7, 9, 8, 6, 3, 5, 4; д) 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.

 а) 4; б) 10; в) 18; г) 18; д) 36. ▲

З'ясувати, які з наведених нижче добутків входять у визначники відповідних порядків і, якщо входять, то з яким знаком:

а) а_>43>а_>21>а_>35>а_>12>а_>54>; б) а_>13>а_>24>а_>23>а_>41>а_>55>;

в) а_>61>а_>23>а_>45>а_>36>а_>12>а_>54>; г) а_>32>а_>43>а_>14>а_>51>а_>66>а_>25>;

д) а_>27>а_>36>а_>51>а_>74>а_>25>а_>43>а_>62>; е) а_>33>а_>16>а_>72>а_>27>а_>55>а_>61>а_>44>;

ж) а_>12>а_>23>а_>34 >…а_{>n–1 n} >а_>25>а_>kk> (1  k  n); з) а_>12>а_>23>а_>34 >…а_>n-1n>а_>n1n>.

 а) –; б) не входить у визначник; в) +; г) +; д) не входить у визначник; е) +; ж) не входить у визначник; з) (–1)ⁿ. ▲

Вибрати значення i і k так, щоб наступні добутки входили у визначники відповідного порядку із зазначеним знаком:

а) а_>1i>а_>32>а_>4k>а_>25>а_>53 >з « + »; б) а_>62>а_>i5>а_>33>а_>k4>а_>46>а_>21 >з « – »;

в) а_>47>а_>63>а_>1i>а_>55>а_>7k>а_>24>а_>31 >з « + ».

 а) i = 1, k = 4; б) i = 5, k = 1; в) i = 6, k = 2. ▲

Користуючись тільки визначенням, знайти члени визначників, які мають у собі множники х⁴ і х³:

а) ; б) .

 а) 2х⁴, –х³; б) 10х⁴, –5х³. ▲

Знайти члени визначника 4-го порядку а) що містять елемент а_>32> і входять у визначник зі знаком « + »; б) що містять елемент а_>23 >і входять у визначник зі знаком « – ».

 а) а_>11>а_>24>а_>32>а_>43>, а_>13>а_>21>а_>32>а_>44>, а_>14>а_>23>а_>32>а_>41>; б) а_>11>а_>23>а_>32>а_>44>, а_>12>а_>23>а_>34>а_>41>, а_>14>а_>23>а_>31>а_>42>. ▲

Виписати всі члени визначника 5-го порядку, що мають вигляд . Що вийде, якщо з їхньої суми винести а_>14>а_>23> за дужки?

 . ▲

Як зміниться визначник n-го порядку, якщо всі його стовпці записати в зворотному порядку?  Визначник помножиться на (–1)^(n(n–1))/2. ▲

Не розкриваючи визначників, довести, що:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ; д) .

 а) властивості 7, 3; б) властивості 7, 3, 5; в) властивості 7, 3, 5; г) властивість 5;

д) властивість 5. ▲

Знайти мінори елементів а_>13>, а_>24>, а_>43 >визначника .

 М_>13> = 24; М_>24> = – 126; М_>43> = 52. ▲

Знайти алгебраїчне доповнення елементів а_>14>, а_>23>, а_>42> визначника

.

 А_>14> = 8; А_>23> = 0; А_>42> = – 12. ▲

Обчислити визначник, розкриваючи його по 3-му рядку .

 8a + 15b + 12c – 19d. ▲

Обчислити визначник, розкриваючи його по 2-му стовпцю: .

 5a – 5b – 5c + 5d. ▲

Обчислити наступні визначники, знижуючи їхній порядок за допомогою розкладання за елементами деякого рядка або стовпця:

а) ; б) ; в) .

 а) abcd; б) abcd; в) xyzuv. ▲

Обчислити наступні визначники 3-го порядку:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

 а) 0; б) 6; в) 0; г) –2; д) –27; е) –27. ▲

Обчислити наступні визначники 3-го порядку:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

 а) –7; б) 0; в) –1; г) 4; д) 40; е) –3. ▲

Обчислити наступні визначники 3-го порядку:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

 а) 100; б) –5; в) 1; г) 2; д) 4; е) –8. ▲

Обчислити наступні визначники 3^-го порядку:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

е) .

 а) (1 – ³)²; б) abc + x(ab + bc + ac); в) 0; г) –2(x³ + y³); д) 0; е) 0. ▲

Обчислити наступні визначники 4-го порядку:

а) ; б) ; в) ; г) .

 а) –7; б) 0; в) –1; г) –18. ▲

Обчислити наступні визначники 4-го порядку:

а) ; б) ; в) ; г) .

 а) 1; б) –5; в) 0; г) –3. ▲

Обчислити наступні визначники 4-го порядку:

а) ; б) ;

в) ; г) .

 а) 1; б) 48; в) 1; г) . ▲

Обчислити визначники 4-го порядку:

а) ; б) ; в) ; г) .

 а) –8; б) –9; в) –6; г) –10. ▲

Обчислити визначники 5-го порядку:

а) ; б) .  а) 52; б) 5. ▲

Зведенням до трикутного вигляду обчислити визначники:

а) ; б) ;

в) ; г) .

 а) n!; б) 2n + 1; в) хⁿ(а_>0> + а_>1> + … + а_>n>); г) . ▲

Обчислити визначники методом виділення лінійних множників:

а) ; б) ;

в) ; г) .

 а) (х – 1)(х – 2)…(х – n +1); б) (x – a – b – c)(x – a + b + c)(x + a – b + c)(x + a + b – c);

в) (х² – 1)(х² – 4); г) x²z², вказівка: визначник не зміниться, якщо 1-й стовпець поміняти місцями з 2-м стовпцем і одночасно 1-й рядок із 2-м рядком; при х = 0 визначник дорівнює 0, аналогічно по z. ▲

Розв’язати рівняння:

а) ; б) ;

в) ; г) (х  R).

 а) х_>i >= a_>i>, i = 1, 2, … , n – 1; б) х_>i >= a_>i>, i = 1, 2, … , n; в) х = 0, 1, 2, … , n – 1; г) x = 1. ▲

Використовуючи метод рекурентних співвідношень, обчислити визначники: а) ; б) ; в) .

 а) ; б) 2^{n + 1} – 1; в) . ▲

Обчислити визначники методом представлення їх у вигляді суми визначників:

а) ; б) .

∆ а) хⁿ + (а_>1> + а_>2> + ^… + а_>n>)х^{n – 1}; б) вказівка: x_>i>  (x_>i> – a_>i> + a_>i>),

. ▲

Обчислити визначники методом зміни елементів визначника:

а) ; б) .

∆ а) ; б) . ▲

Обчислити визначники n-го порядку:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

∆ а) 1; б) 3ⁿ; в) 1; г) хⁿ; д) 1 – n; е) (–2)^{n –1}(5n – 2). ▲

Обчислити визначники n-го порядку:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

∆ а) (–2)^{n –2}(1 – n); б) n + 1; в) (–1)^{n –1}(n – 1); г) 1; д) (1 – (–1)ⁿ)/2, вказівка:

_>n> = 1– _{>n –1}>; е) 0, якщо n = 2k +1; (–1)^n/2, якщо n = 2k, k Z; вказівка: _>n> = – _{>n – 2}>. ▲

Обчислити визначники n-го порядку:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

∆ а) (b_>1 >– а_>1>)_> >(b_>2 >– а_>2>) … (b_>n >– а_>n>); б) (n – 1)!; в) (–1)^{n – 1.} n!; г) 0;

д) (–1)^{(n(n –1))/2}n^n–1(n + 1)/2; е) ▲