Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

Федеральное агентство по образованию РФ

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ)

Кафедра: «Высшая математика»

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА

Тема: «Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона»

Выполнила: студентка 23ЭУТ

Хасянова А.Ф.

Проверил: Матвеева С.В

Дата_______________

Оценка_____________

Омск-2010

Содержание

1. Введение. Исходные данные

2. Вариационный ряд

3. Интервальный вариационный ряд

4. Построение гистограммы плотности относительных частот. Выдвижение гипотезы о законе распределения генеральной совокупности Х

5. Оценки числовых характеристик и параметров выдвинутого закона

6. Теоретическая функция плотности рассматриваемого закона распределения «Построение ее на гистограмме»

7. Проверка критерия Пирсона

Вывод

1. Исходные данные варианта №20

Дана выборка из генеральной совокупности случайной величины Х. Данные представлены в таблице 1.

Таблица 1

79,02	79,70	74,68	20,47	11,70	44,64	40,75	8,59	96,42	6,17
91,75	93,29	77,57	81,25	76,59	51,84	6,17	42,79	80,87	92,81
48,04	14,70	100,64	69,83	94,56	70,42	47,93	47,48	66,79	42,12
20,27	51,36	62,51	66,86	87,99	99,29	5,96	60,38	62,53	75,50
46,55	83,53	55,65	59,26	77,05	101,10	29,93	102,21	86,11	45,92
90,93	24,30	9,76	90,25	36,72	84,96	20,50	81,99	56,29	31,75
43,61	68,70	80,47	100,66	29,98	48,88	40,37	67,46	91,46	59,11
90,75	4,64	36,53	32,39	6,99	8,41	30,85	37,30	64,44	25,60
18,00	84,27	98,88	36,39	34,64	49,49	10,53	50,97	39,40	3,59
100,39	18,57	9,27	10,89	65,91	35,62	75,45	37,86	89,74	4,57

Выборка содержит 100 наблюдаемых значений, поэтому выборка имеет объем n=100.

2. Построение вариационного ряда

Операция расположения значений случайной величины по не убыванию называется ранжированием. Последовательность элементов х(1) ≤ х(2) ≤…≤ х(k) называется вариационным рядом, элементы которого называют вариантами.

Проранжировав статистические данные, получаем вариационный ряд (табл. 2).

Таблица 2

3,59	9,76	24,30	36,53	44,64	51,84	66,68	77,05	84,96	93,29
4,57	10,53	25,60	36,72	45,92	55,65	66,79	77,75	86,11	94,56
4,64	10,89	29,93	37,30	46,55	56,29	67,46	79,02	87,99	96,42
5,96	11,70	29,98	37,86	47,48	59,11	68,78	79,70	89,74	98,88
6,17	14,70	30,85	39,40	47,93	59,26	69,83	80,47	90,25	99,29
6,17	18,00	31,75	40,37	48,04	60,38	70,42	80,87	90,75	100,39
6,99	18,57	32,39	40,75	48,88	62,51	74,68	81,25	90,93	100,46
8,41	20,27	34,64	42,12	49,49	62,53	75,45	81,99	91,46	100,66
8,59	20,47	35,62	42,79	50,97	64,44	75,50	83,53	91,75	101,10
9,27	20,50	36,39	43,61	51,36	65,71	76,59	84,27	92,81	102,21

3. Построение интервального вариационного ряда

Опытные данные объединяем в группы так, чтобы в каждой отдельной группе значения вариант будут одинаковы, и тогда можно определить число, показывающее, сколько раз встречается соответствующая варианта в определенной (соответствующей) группе.

Численность отдельной группы сгруппированного ряда опытных данных называется выборочной частотой соответствующей варианты x(i) и обозначается mi; при этом , где n – объем выборки.

Отношение выборочной частоты данной варианты к объему выборки называется относительной выборочной частотой и обозначается Pi*,

т.е. – число (частота) попаданий значений X в i-й разряд, n – объем выборки.

Т.к. согласно теореме Бернулли имеем, что т.е. выборочная относительная частота сходится по вероятности соответствующей вероятности, тогда из условия:

Интервальным вариационным рядом распределения называется упорядоченная совокупность частичных интервалов значений С.В. с соответствующими им частотами или относительными частотами.

Для построения интервального вариационного ряда выполняем следующие действия.

Находим размах выборки R = xmax – xmin. Имеем R = 102,21-3,59=98,62 .
Определяем длину частичного интервала ∆ – шаг разбиения по формуле Стерджеса: где n – объем выборки, К– число частичных интервалов . ,
∆=10
Определяем начало первого частичного интервала

После разбиения на частичные интервалы просматриваем ранжированную выборку и определяем, сколько значений признака попало в каждый частичный интервал, включая в него те значения, которые ≥ нижней границы и меньше верхней границы. Строим интервальный вариационный ряд (табл. 3).

Таблица 3

	Разряды	mi			=
1	[3.5-13.5)	14	0.14	0.014	8.5
2	[13.5-23.5)	6	0.06	0.006	18.5
3	[23.5-33.5)	7	0.07	0.007	28.5
4	[33.5-43.5)	12	0.12	0.012	38.5
5	[43.5-53.5)	12	0.12	0.012	48.5
6	[53.5-63.5)	7	0.07	0.007	58.5
7	[63.5-73.5)	8	0.08	0.008	68.5
8	[73.5-83.5)	12	0.12	0.012	78.5
9	[83.5-93.5)	13	0.13	0.013	88.5
10	[93.5-103.5)	9	0.09	0.009	98.5
Контроль		=100	=1

Где -плотность относительной частоты

-середина частичных интервалов

Построение гистограммы

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины , а высоты равны отношению – плотность частоты (или – плотность частности).

По данным таблицы 4 строим гистограмму (рис. 1).

Гистограмма частот является статистическим аналогом дифференциальной функции распределения (плотности) случайной величины Х. Площадь гистограммы равна единице.

Выдвижение гипотезы о законе распределения генеральной совокупности

По данным наблюдений статистическое среднее и выборочное среднее квадратическое отклонение у* по значению почти совпадают. Учитывая данный факт, а также вид гистограммы можно предположить, что случайная величина имеет равномерное распределение.

По виду гистограммы выдвигаем гипотезу о равномерном законе распределения генеральной совокупности Х.

Оценка числовых характеристик и параметров закона распределения

Оценками математической статистики называют приближенные значения числовых характеристик или параметров законов распределения генеральной совокупности Х вычисленные на основе выборки.

Оценка называется точечной, если она определяется числом или точкой на числовой оси.

Оценка (как точечная, так и интервальная) является случайной величиной, так как она вычисляется на основе экспериментальных данных и является функцией выборки.

При вычислении точечных оценок для удобства берут не сами элементы выборки, а середины частичных интервалов из интервального вариационного ряда (табл. 1) и применяют формулы:

где n - объем выборки, – i-й элемент выборки

Составим таблицу для нахождения и

Таблица 4

i
1		8.5*14=119
2		18.5*6=111
3		28.5*7=199.5
4		38.5*12=462
5		48.5*12=582
6		58.5*7=409.5
7		68.5*8=548
8		78.5*12=942
9		88.5*13=1150.5
10		98.5*9=886.5

6. Равномерный закон

интервальный вариационный генеральный совокупность

Выдвинута гипотеза о распределении генеральной совокупности Х по равномерному закону

найдем функцию плотности равномерного закона вычислив оценки параметров и

Т.к М(x)= , , D(x)=

Таблица 5

i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
	186

После того, как найдены значения функции плотности для каждого разряда, нанесем их прямо на гистограмму, получая тем самым кривую функции плотности

Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности по критерию Пирсона

В качестве меры расхождения между статистическим и гипотетическим (теоретическим) распределениями возьмем критерий Пирсона К = ч2.

Пирсон доказал, что значение статистического критерия не зависит от функции и от числа опытов n, а зависит от числа частичных интервалов интервального вариационного ряда. При увеличении ч2, и находится по формуле:

К = или К =

Дальнейшие вычисления, необходимые для определения расчетного значения выборочной статистики , проведем в таблице 5.

Таблица 6

i						/
1	0.14	14	0.1029	10.29		13.76/10.37=1.33
2	0.06	6	0.1	10		16/10=1.6
3	0.07	7	0.1	10		16/10=1.6
4	0.12	12	0.1	10		16/10=1.6
5	0.12	12	0.1	10		16/10=1.6
6	0.07	7	0.1	10		16/10=1.6
7	0.08	8	0.1	10		16/10=1.6
8	0.12	12	0.1	10		16/10=1.6
9	0.13	13	0.1	10		16/10=1.6
10	0.09	9	0.1149	11.49		6.3/11.49=0.548
					01.86

Чтобы найти значение надо воспользоваться табличными распределениями в которых значение сл. величины находят по заданному уровню значимости и вычисленному числу степеней свободы

R- число частичных интервалов в таблице 1 но если в некоторых из интервалов значения то надо объединить расположенные рядом интервалы так, чтобы тогда число

R-это число из необъединенных интервалов

i- число неизвестных параметров

В рассматриваемом эмпирическом распределении не имеются частоты, меньшие 5. Случайная величина ч2 (мера расхождения) независимо от вида закона распределения генеральной совокупности при (n ≥ 50) имеет распределение ч2 с числом степеней свободы

1) К =

уровень значимости б =1–=0,05

найдем по таблице значений критическое значение для б = 0,05 и =9

Имеем =16.9. Так как то предполагаемая гипотеза о показательном законе распределения генеральной совокупности не противоречит опытным данным и принимается на уровне значимости б.

2)=,

3) M(x)= ,

M(x)=

4) D(x)=

D(x.1)=

5) Таким образом, критическая область для гипотезы задается неравенством ; P()= Это означает, что нулевую гипотезу можно считать правдоподобной и гипотеза Но принимается

Вывод: В ходе расчетно-графической работы мы установили, что генеральная совокупность X распределена по равномерному закону, проверив это по критерию Пирсона. Определили параметры и числовые характеристики закона и построили для них доверительные интервалы.