Поверхневі інтеграли

ПОВЕРХНЕВІ ІНТЕГРАЛИ

1. Поверхневі інтеграли першого роду

Поверхневі інтеграли першого роду є узагальненням подвійних інтегралів.

Нехай у точках деякої кусково-гладкої поверхні визначена обмежена функція . (Поверхня називається гладкою, якщо в кожній її точці існує дотична площина і при переході від точки до точки положення цієї дотичної площини змінюється неперервно. Поверхня, яка складається із скінченного числа неперервно з’єднаних гладких поверхонь, називається кусково-гладкою.) Розіб'ємо поверхню на довільних частин без спільних внутрішніх точок (рис. 1); нехай – площа, а – діаметр частини поверхні . У кожній частині виберемо довільну точку і складемо суму

.(1)

Рисунок 1 – Поверхня

Цю суму називають інтегральною сумою для функції по поверхні .

Якщо при інтегральні суми (1) мають скінченну межу, яка не залежить ні від способу розбиття поверхні , ні від вибору точок , цю границю називають поверхневим інтегралом першого роду від функції по поверхні і позначають .

Таким чином, за означенням

.(2)

У цьому разі функція називається інтегровною по поверхні , а поверхня – областю інтегрування.

Якщо функція неперервна на поверхні , то вона інтегровна по .

Обчислення поверхневого інтеграла першого роду зводиться до обчислення подвійного інтеграла.

Нехай гладка поверхня , задана рівнянням , проектується на площину в область . Припустимо, що функція неперервна на поверхні , а функції неперервні в області .

Внаслідок розбиття поверхні на частини область розіб'ється на частини , які є відповідними проекціями частин на площину (рис. 2).

Рисунок 2 – Розбиття поверхні на частини

Якщо – площа області , – площа поверхні , то

,

тому інтегральну суму (1) можна записати у вигляді

.(3)

Права частина цієї рівності є інтегральною сумою для функції

,

тому з рівностей (2) і (3) випливає, що

.(4)

Формула (4) виражає поверхневий інтеграл першого роду через подвійний інтеграл по проекції поверхні на площину .

Аналогічно можна отримати формули, що виражають інтеграл по поверхні через подвійні інтеграли по її проекціях на площини та . Якщо поверхня задається рівнянням або , то

,

де та – проекції поверхні на координатні площини та відповідно.

Якщо у формулі (2) покласти на поверхні , то отримаємо

,(5)

де – площа поверхні , тобто за допомогою поверхневого інтеграла першого роду можна обчислювати площі поверхонь.

Крім того, поверхневі інтеграли першого роду застосовують при обчисленні маси, координат центра маси, моменту інерції матеріальної поверхні з відомою поверхневою густиною розподілу маси. Виведення відповідних формул по суті не відрізняється від виводу аналогічних формул для матеріальної пластинки.

Якщо на кусково-гладкій поверхні розподілено масу з поверхневою густиною , то:

а) маса матеріальної поверхні

;

б) координати центра маси поверхні:

,

де – статичні моменти поверхні відносно осей ;

в) моменти інерції поверхні відносно осей координат і початку координат:

2. Поверхневі інтеграли другого роду

Введемо поняття сторони поверхні. Візьмемо на гладкій поверхні довільну точку , проведемо в ній нормаль певного напряму і розглянемо на поверхні довільний замкнений контур, який виходить з точки і повертається в точку , не перетинаючи при цьому межі поверхні . Переміщатимемо точку по замкненому контуру разом з вектором так, щоб вектор весь час залишався нормальним до . При обході заданого контуру ми можемо повернутися в точку з тим самим або з протилежним напрямом нормалі.

Якщо у довільну точку поверхні після обходу довільного замкненого контуру, розміщеного на поверхні , який не перетинає її межу, ми повертаємося з початковим напрямом нормалі , то поверхню називають двосторонньою.

Якщо при обході деякого контуру напрям нормалі змінюється на протилежний, то поверхню називають односторонньою.

Прикладами двосторонніх поверхонь є площина, сфера, довільна замкнена поверхня без самоперетинів, довільна поверхня, задана рівнянням , де – функції, неперервні в деякій області площини .

Прикладом односторонньої поверхні є так званий лист Мебіуса (рис. 3).

Рисунок 3 – Лист Мебіуса

Модель цієї поверхні можна отримати, якщо прямокутну полоску паперу, перекрутивши один раз, склеїти так, щоб точка збігалася з , а точка – з .

Двосторонню поверхню називають орієнтовною, а вибір певної її сторони орієнтацією поверхні. Направивши в кожній точці замкненої поверхні нормаль всередину об'єму, обмеженого поверхнею, отримаємо внутрішню сторону поверхні, а направивши нормаль зовні поверхні-зовнішню її сторону. Надалі розглядатимемо двосторонні поверхні. Односторонні поверхні неорієнтовні.

Нехай – орієнтовна (сторона уже обрана) поверхня, обмежена контуром , який не має точок самоперетину. Вважатимемо за додатний той напрям обходу контуру , при якому спостерігач, розміщений так, що напрям нормалі збігається з напрямом від ніг до голови при русі, залишає поверхню зліва від себе (рис. 4).

Рисунок 4 – Орієнтовна поверхня

Протилежний напрям обходу називається від'ємним. Якщо змінити орієнтацію поверхні на протилежну, то додатний і від'ємний напрями обходу контуру поміняються місцями.

З'ясуємо тепер поняття поверхневого інтеграла другого роду.

Нехай – гладка поверхня, задана рівнянням і – обмежена функція, визначена в точках поверхні . Зорієнтуємо поверхню . Розіб'ємо її довільно на частин. Позначимо через проекцію -ї частини поверхні на площину , а через – площу , взяту із знаком плюс, якщо обрана зовнішня сторона поверхні , та із знаком мінус, якщо обрана внутрішня сторона поверхні . Виберемо в кожній частині довільну точку і складемо суму

.(6)

Вираз (6) називається інтегральною сумою. Нехай – максимальний діаметр поверхонь .

Якщо при інтегральні суми (6) мають скінченну границю, яка не залежить ні від способу розбиття поверхні , ні від вибору точок , то цю границю називають поверхневим інтегралом другого роду і позначають так: . Отже, за означенням

.(7)

З означення поверхневого інтеграла другого роду випливає, що при зміні сторони поверхні на протилежну інтеграл змінює знак, бо змінює знак .

Поверхню можна також проектувати на координатні площини та . Тоді матимемо ще два поверхневі інтеграли , де – функції, визначені в точках поверхні .

Оскільки (рис. 5),

Рисунок 5 – Проекція поверхні на координатну площину

де – елемент площі поверхні – кути між нормаллю до поверхні та осями відповідно, то справедливі такі формули:

На практиці найпоширенішими є поверхневі інтеграли, які об'єднують усі названі, тобто

.(8)

Якщо, наприклад, вектор є швидкістю рідини, то кількість рідини, яка протікає через поверхню за одиницю часу, називається потоком вектора через поверхню і знаходиться за формулою:

.

У цьому полягає фізичний зміст поверхневого інтеграла другого роду. Зрозуміло, коли вектор має іншу природу, поверхневий інтеграл має інший фізичний зміст.

Формула (8) виражає загальний поверхневий інтеграл другого роду через поверхневий інтеграл першого роду.

Поверхневі інтеграли другого роду обчислюються за допомогою подвійних інтегралів.

Нехай функція неперервна в усіх точках гладкої поверхні , яка задана рівнянням , де область – проекція поверхні на площину . Виберемо верхню сторону поверхні , де нормаль до поверхні утворює з віссю гострий кут, тоді . Оскільки , то суму (6) можна записати у вигляді

. (9)

У правій частині рівності (9) міститься інтегральна сума для функції . Ця функція неперервна в області , тому інтегрована в ній.

Перейшовши в рівності (9) до границі при , отримаємо формулу

,

яка виражає поверхневий інтеграл другого роду по змінних і через подвійний. Якщо вибрати нижню сторону поверхні (нормаль до поверхні утворює з віссю тупий кут), то одержаний подвійний інтеграл беруть із знаком «мінус», тому

.(10)

Аналогічно

;(11)

.(12)

У формулі (11) гладку поверхню задано рівнянням , а у формулі (12) – рівнянням . Знак «плюс» беремо у цих формулах тоді, коли нормаль до поверхні утворює відповідно з віссю , з віссю гострий кут, а знак «мінус» – коли тупий кут; , – проекції поверхні на площини та відповідно.

Для обчислення загального інтеграла (8) використовують формули (10) – (12), проектуючи поверхню на всі три координатні площини. Таким чином,

Правильність вибору знаків перед подвійними інтегралами можна перевірити за допомогою формули

,

яка визначає одиничний нормальний вектор до поверхні . Подвійний знак у цій формулі відповідає двом сторонам поверхні . З формули (8) випливає, що знак перед подвійним інтегралом збігається із знаком відповідного напрямного косинуса нормалі :

.

Якщо поверхня неоднозначно проектується на будь-яку координатну площину, то цю поверхню розбивають на частини, а інтеграл (8) – на суму інтегралів по одержаних частинах поверхні .

3. Формула Остроградського-Гаусса

Формула Остроградського-Гаусса встановлює зв'язок між поверхневим інтегралом по замкненій поверхні і потрійним інтегралом по просторовій області, обмеженій цією поверхнею. Ця формула є аналогом формули Гріна, яка, як відомо, встановлює зв'язок криволінійного інтеграла по замкненому контуру з подвійним інтегралом по плоскій області, обмеженій цим контуром.

Нехай замкнена область обмежена замкненою поверхнею , причому знизу та зверху обмежена гладкими поверхнями та , рівняння яких та (рис. 7).

Рисунок 7 – Замкнена область

Припустимо, що проекцією області на площину є область . Нехай в області визначено неперервну функцію , яка в цій області має неперервну похідну .

Розглянемо потрійний інтеграл

.

У правій частині цієї рівності перший подвійний інтеграл запишемо за допомогою поверхневого інтеграла по зовнішній стороні поверхні , а другий подвійний інтеграл – по зовнішній стороні поверхні . Враховуючи кути між нормаллю та віссю , отримуємо

.(13)

Аналогічно, припустивши, що функції , неперервні в області , можна отримати формули

,(14)

.(15)

Додавши почленно рівності (13), (14) і (15), отримаємо формулу

,(16)

яку називають формулою Остроградського-Гаусса. Ця формула справедлива і для довільної області , яку можна розбити на скінченне число областей, для яких виконуються рівності (13) – (15).

За допомогою формули Остроградського-Гаусса зручно обчислювати поверхневі інтеграли по замкнених поверхнях.

4. Формула Стокса

Формула Стокса встановлює зв'язок між поверхневим і криволінійним інтегралами. Нехай – поверхня, задана рівнянням , причому функції – неперервні в області – проекції поверхні на площину ; – контур, який обмежує , а – проекція контуру на площину , тобто – межа області .

Виберемо верхню сторону поверхні (рис. 8).

Рисунок 8 – Поверхня

Якщо функція неперервна разом із своїми частинними похідними першого порядку на поверхні , то справедлива формула

.(17)

поверхневий інтеграл формула стокс

Доведення

Перетворимо криволінійний інтеграл, який міститься у лівій частині рівності (17). Оскільки контур лежить на поверхні , то координати його точок задовольняють рівняння , і тому значення функції у точках контуру дорівнюють значенням функції у відповідних точках контуру . Звідси випливає, що

.

Застосовуючи до знайденого інтеграла формулу Гріна, отримаємо

.

Тут підінтегральна функція дорівнює частинній похідній по від складеної функції .

Оскільки – верхня сторона поверхні, тобто ( – гострий кут між нормаллю до поверхні і віссю ), то нормаль має проекції . Але напрямні косинуси нормалі пропорційні відповідним проекціям, тому

,

Тоді

Отже,

.

Аналогічно можна довести, що при відповідних умовах справедливі формули:

;(18)

.(19)

Додаючи почленно рівності (17), (18) і (19), отримуємо формулу

,

яка називається формулою Стокса. За допомогою формули (8), яка пов'язує поверхневі інтеграли першого та другого роду, цю формулу можна записати так:

(20)

Формула Стокса дає змогу обчислювати криволінійні інтеграли по замкнутих контурах за допомогою поверхневих інтегралів.

З формули Стокса випливає, що коли виконуються рівності

,(21)

то криволінійний інтеграл по довільному просторовому замкненому контуру дорівнює нулю:

.(22)

А це означає, що в даному випадку криволінійний інтеграл не залежить від форми контура інтегрування.